专题1.23 科学记数法与近似数（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题1.23   科学记数法与近似数（知识讲解）

【学习目标】

1.理解科学记数法的意义，并会用科学记数法表示一个较大的数；

2.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度；

3.体会近似数在生活中的实际应用.

【要点梳理】

要点一、科学记数法

把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.

特别说明：

（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；

（2）把一个数写成形式时，若这个数大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.

要点二、近似数及精确度

1. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.

特别说明：

一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.

2. 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.

特别说明：

（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.

（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米.

【典型例题】

类型一、用科学记数法表标绝对值大于1的数

1．根据联合国1995-2000年的人口资料，世界人口大致每小时增长8049人．

（1）每天世界人口大约要增长多少人？

（2）每年（365天）世界人口大约要增长多少人？（要求：结果保留整数，用科学记数法表示）

【答案】（1）人；（2）人．

【分析】（1）根据题意，每小时增加8049，一天24小时，相乘即可求解；（2）由题意，根据（1）得数乘以365，结果用科学记数法表示即可．

解：（1）（人）

答：每天增加人；

（2）（人）

答：每年大约增加人．

【点拨】本题主要考查的是科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解答本题的关键．

举一反三：

【变式1】 用科学记数法写出下列各数：

(1)  －24 000；                 (2)3 80亿．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据科学记数法的定义即可得；（2）结合1亿，根据科学记数法的定义即可得．

【详解】科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，

（1）；

（2）380亿．

【点拨】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键．

【变式2】太阳是巨大的气体星球，正以每秒400万吨的速度失去重量．太阳的直径约为140万千米，而地球的半径约为6 378 km．请将上述三个数据用科学记数法表示，然后计算：

（1）在一年内太阳要失去多少万吨重量？

（2）在太阳的直径上大约能摆放多少个地球（保留整数）？

【答案】（1）1.261 44×1010万吨（2）110个

【分析】把一个大于10的数写成科学记数法a×10n的形式时，将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为a，把整数位数减1作为n，从而确定它的科学记数法形式．

（1）一年内太阳失去：4.00×102×一年的秒数．

（2）太阳的直径上能摆放地球的个数＝太阳的直径÷地球的直径．

解：400万吨＝4×102万吨，

140万千米＝1.4×106 km，

6 378 km＝6.378×103 km．

（1）4×102×365×24×3 600＝1.261 44×1010（万吨）．

答：在一年内太阳要失去1.261 44×1010万吨重量；

（2）1.4×106÷（6.378×103×2）≈110（个）．

答：在太阳的直径上大约能摆放110个地球．

【点拨】将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．在进行运算时，a部分和10n的部分分别运算，然后再把结果整理成a×10n的形式．

类型二、将科学记数法表示的数换成原数

2．下列用科学记数法表示出来的数，原数是多少？

（1）7.2×105；    （2）2.01×106；

（3）5.2×102；    （4）－3.07×104．

【答案】（1）720 000；（2）2 010 000；（3）520；（4）-30 700

【分析】科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10−n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．依此即可求解．

解:（1）7.2×105＝720000；

（2）2.01×106＝2010000；

（3）5.2×102＝520；

（4）−3.07×104＝−30700．

【点拨】本题考查了科学记数法−原数，把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．

举一反三：

【变式1】下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数？

(1) ；(2) ；(3) .

【答案】(1)1000000；(2) 3200000；(3)-68000000.

【解析】【分析】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．

解：(1) =1000000；

(2) =3200000；

(3) =--68000000.

【点拨】本题考查了写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．

【变式2】 一颗人造地球卫星的速度是2.844×107米/时，一辆汽车的速度是100公里/时，试问这颗人造地球卫星的速度是这辆汽车的多少倍？

【答案】人造地球卫星的速度是这辆汽车的284.4倍．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解：人造地球卫星速度：2.844×107米/时＝28 440 000米/时，

汽车速度：100公里/时＝100 000米/时，

这颗人造地球卫星的速度是这辆汽车的284.4倍．

【点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

类型三、求一个数的近似数

3、下列各题中的数据，哪些是精确数？哪些是近似数？

（1）某字典共有1234页；

（2）我们班级有97人，买门票大约需要800元；

（3）小红测得数学书的长度是21.0厘米．

【答案】（1）1234是精确数；（2）97是精确数，800是近似数；（3）21.0是近似数．

【分析】根据数的精确性与近似性即可求解．

 解 :（1）某字典共有1234页，1234是精确数；

（2）我们班级有97人，买门票大约需要800元，97是精确数，800是近似数；

（3）小红测得数学书的长度是21.0厘米，21.0是近似数．

【点拨】此题主要考查精确数与近似数，解题的关键是熟知熟知精确数与近似数的定义．

举一反三：

【变式1】用四舍五入法，对下列各数按括号内的要求取近似值：

(1)  199.5(精确到个位)；

(2)  0.175(精确到百分位)；

(3)  23.149(精确到0.1)．

【答案】 (1)  200；  (2)  0.18；  (3)  23.1

【分析】（1）--（3）根据四舍五入法则即可得答案；

解：（1）199.5200，

（2）0.1750.18，

（3）23.14923.1．

【点拨】本题考查近似数，由四舍五入取近似值时，由精确的那个数位起，如果后面一位上的数字大于等于5，则向前入一个，如果后面一位上的数字小于5，则马上舍去；熟练掌握四舍五入法则是解题关键．

【变式2】某科技公司在2019年第三季度共售出约65700000部智能手机，占全球市场份额.

（1）2019年第三季度全球市场共售出智能手机       部；

（2）用四舍五入法将（1）中计算得到的数据精确到10000000，并用科学记数法表示.

【答案】（1）365000000；（2）

【分析】（1）根据公司在2019年第三季度共售出约65700000部智能手机即可得出答案．（2）先利用科学记数法表示，然后把千万位上的数字6进行四舍五入即可．

解：（1）65700000=365000000（部）

∴2019年第三季度全球市场共售出智能手机365000000部；

故答案为：365000000

（2）365000000=3.65

【点拨】本题考查了科学记数法的表示方法，近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字的说法．

类型四、指数一个数的近似数精确到哪一位

4、列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？

（1）38200；（2）0.040；（3）20.05000

【答案】（1）个位；（2）千分位；（3）十万分位

【分析】根据近似数的特点即可求解．

解：（1）38 200精确到个位；

（2）0.040精确到千分位；

（3）20.05000精确到十万分位．

【点拨】此题主要考查近似数，解题的关键是熟知近似数的性质特点．

举一反三：

【变式1】已知,从地面向月球发射无线电波,无线电波到月球并返回地面用了约2.562 s,已知无线电波每秒传播3×105 km,求地球和月球之间的距离.(结果精确到千位)

【答案】3.84×105km.

【解析】试题分析：根据距离=速度时间计算.

解:3×105×2.562÷2=3.843×105≈3.84×105(km).

答:地球和月球之间的距离约为3.84×105km.

【变式2】今年某种汽车的销售目标定为772 000辆,与去年相比增长28.7%,对于772 000请按要求分别取这个数的近似数.

(1)精确到千位;(2)精确到万位;(3)精确到十万位.

【答案】(1)7.72×105.(2)7.7×105.(3)8×105.

【解析】试题分析：（1）精确到千位，看百位，（2）精确到万位，就看千位，（3）精确到十万位，就看万位.

解:(1) 772 0007.72×105.

(2) 772 0007.7×105.

(3) 772 0008×105.

 类型五、由近似数推断出原数的取值范围

5、若k的近似值为4.3，求k的取值范围．

【答案】4.25≤k＜4.35

【分析】根据四舍五入的特点即可求解．

解：∵4.3-0.05≤k＜4.3+0.05，

∴4.25≤k＜4.35．

【点拨】此题主要考查近似数，解题的关键是熟知四舍五入的性质．

举一反三：

【变式1】把一个四位数x先四舍五入到十位，所得的数为y，再将y四舍五入到百位，所得的数为z，再将z四舍五入到千位，所得的数恰好为3×103．

(1)数x的最大值和最小值分别是多少？

(2)将数x的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来

【答案】（1）最大3444，最小2445；（2）1.0×103．

【分析】（1）由于是把四位数x先四舍五入到十位，再四舍五入到百位，再四舍五入到千位，恰好是3×103，所以可据此结合四舍五入的原则求解．（2）相减后用科学记数法表示，然后取近似值即可．

【详解】（1）x先四舍五入到十位为y，所得数再四舍五入到百位为z，根据题意和四舍五入的原则可知，

①x最小值=2445，y≈2450，z≈2500，2500四舍五入约等于3000；

②x最大值=3444，y≈3440，z≈3400，3400四舍五入约等于3000．

最大3444，最小2445；

（2）因为最大3444，最小2445

所以3444-2445=999≈1.0×103．

故答案为（1）最大3444，最小2445；（2）1.0×103．

【点拨】本题考查近似数和有效数字.

【变式2】在学校组织的一次体检中，甲、乙两名同学的身高都约为1.7×102 cm，但甲却说他比乙高9 cm，你认为有这种可能吗？若有，请举例说明.

【答案】有这种可能

【解析】分析：根据近似数的取值范围得出甲、乙两名同学的最大身高和最低身高，从而得出答案．

解：有这种可能．甲、乙两名同学的身高虽然都约为1.7×102 cm，但1.7×102 cm是精确到十位的近似数，其准确数的范围是大于或等于165 cm，小于175 cm，若甲的身高为174 cm，乙的身高为165 cm，则甲比乙高9 cm，故有这种可能．

点拨：本题主要考查近似数的取值范围，属于基础题型．根据题意得出近似数的取值范围是解决这个问题的关键．