2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模）

这是一份2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题必考题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A＝{x|x2−4x−50, b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|⋅|PF2|=94ab，则该双曲线的离心率为（ ）
A.43B.53C.94D.3

11. 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：
2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（ ）年．
A.己巳B.甲申C.戊寅D.丙戌

12. 三棱柱ABC−A1B1C1中，棱AB、AC、AA1两两垂直，AA1＝2，底面△ABC是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A.8B.10πC.12πD.π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

已知x，y满足约束条件，则2x−y的最大值为________．

某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c由大到小的顺序为________．

已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值________．

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝+1，则数列{an}的前16项和S16＝________．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．
（1）若，求角B；

（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．

某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y（单位：万元）的数据如表：

（1）求y关于t的线性回方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝-．

如图在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点.

(1)证明：BD⊥PF；

(2)若M是棱PB上一点，三棱锥M−PAD与三棱锥P−DEF的体积相等，求M点的位置．

已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．

设函数f(x)＝(x−a)(x−b)(x−c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数．
（1）若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；

（2）若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{−3, 1, 3}中，求f(x)的极小值；

（3）若a＝0，0a，
【答案】
9
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
84
【考点】
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．
【答案】
因为，
所以＝＝，整理可得a2+c5−b2＝ac，
可得csB＝＝＝，
因为B∈(7, π)，
可得B＝．
在△ABC中，b2＝a2+c2−2accsB，c＝4b，
所以csB＝≥，当且仅当b＝，此时B＝，
所以△ABC的面积S＝ab＝＝．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由所给数据计算得＝，
＝．
，．．
．
所求回归方程为．
由（1）知，b＝0.5>0，故2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5万元．
将2021年的年份代号t＝8代入（1）中的回归方程得．
故预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.3万元．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
（1）求出样本中心坐标，回归直线方程的系数，得到回归直线方程．
（2）将2021年的年份代号t＝8代入（1）中的回归方程求解预报值，即可．
【解答】
由所给数据计算得＝，
＝．
，．．
．
所求回归方程为．
由（1）知，b＝0.5>0，故2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5万元．
将2021年的年份代号t＝8代入（1）中的回归方程得．
故预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.3万元．
【答案】
(1)证明：连接AC，如图，
∵ △PAD为正三角形，E是AD的中点，
∴ PE⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD．
∴ PE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴ BD⊥PE．
∵ ABCD为菱形，且E，F分别为棱AD、CD的中点，
∴ EF // AC，BD⊥AC，
∴ BD⊥EF.
∵ BD⊥PE，PE∩EF=E，
PE⊂平面PEF，EF⊂平面PEF，
∴ BD⊥平面PEF.
∵ PF⊂平面PEF，
∴ BD⊥PF.
(2)连接MA，MD,
设PMMB=λ，则PMPB=λλ+1，
∴ VM−PAD=λλ+1VB−PAD=λλ+1VP−ABD.
∵ VP−DEF=14VP−ACD=14VP−ABD，VM−PAD=VP−DEF，
所以λλ+1=14，解得λ=13，
即M点在PB上靠近P点的四等分点处．
【考点】
直线与平面垂直的性质
平面与平面垂直的性质
直线与平面垂直的判定
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
（1）连接AC，证明PE⊥AD．推出PE⊥平面ABCD，然后证明BD⊥PE．证明EF // AC．结合BD⊥AC，推出BD⊥EF，BD⊥PE，即可证明BD⊥平面PEF；推出BD⊥PF．
（2）连接MA、MD，设PMMB=λ，利用VM−PAD=λλ+1VB−PAD=λλ+1VP−ABD，转化求解λ，即可得到结果．
【解答】
(1)证明：连接AC，如图，
∵ △PAD为正三角形，E是AD的中点，
∴ PE⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD．
∴ PE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴ BD⊥PE．
∵ ABCD为菱形，且E，F分别为棱AD、CD的中点，
∴ EF // AC，BD⊥AC，
∴ BD⊥EF.
∵ BD⊥PE，PE∩EF=E，
PE⊂平面PEF，EF⊂平面PEF，
∴ BD⊥平面PEF.
∵ PF⊂平面PEF，
∴ BD⊥PF.
((2)连接MA，MD,
设PMMB=λ，则PMPB=λλ+1，
∴ VM−PAD=λλ+1VB−PAD=λλ+1VP−ABD.
∵ VP−DEF=14VP−ACD=14VP−ABD，VM−PAD=VP−DEF，
所以λλ+1=14，解得λ=13，
即M点在PB上靠近P点的四等分点处．
【答案】
设椭圆C的半焦距为c，根据题意，
，解得，
所以椭圆的方程为+＝1．
证明：由（1）知A(−3, 3)，0)，0)，
设T(x6, y0)，P(x1, y3)，Q(x2, y2)，
由kTA＝kPA，得＝，
kTB＝kQB，得＝，
两式相除得＝•，
又+＝1，
故−1＝-•，
故＝-，
于是＝•＝-•，
由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，
联立椭圆的方程可得(5m3+9)y2+20my−25＝8，
所以，
所以＝-••＝-••＝，
解得x0＝，
所以点T横坐标为定值．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
∵ a＝b＝c，∴ f(x)＝(x−a)3，
∵ f(4)＝8，∴ (4−a)3＝8，
∴ 4−a＝2，解得a＝2．
a≠b，b＝c，设f(x)＝(x−a)(x−b)2．
令f(x)＝(x−a)(x−b)2＝0，解得x＝a，或x＝b．
f′(x)＝(x−b)2+2(x−a)(x−b)＝(x−b)(3x−b−2a)．
令f′(x)＝0，解得x＝b，或x=2a+b3．
∵ f(x)和f′(x)的零点均在集合A＝{−3, 1, 3}中，
若：a＝−3，b＝1，则2a+b3=−6+13=−53∉A，舍去．
a＝1，b＝−3，则2a+b3=2−33=−13∉A，舍去．
a＝−3，b＝3，则2a+b3=−6+33=−1∉A，舍去．．
a＝3，b＝1，则2a+b3=6+13=73∉A，舍去．
a＝1，b＝3，则2a+b3=53∉A，舍去．
a＝3，b＝−3，则2a+b3=6−33=1∈A，．
因此a＝3，b＝−3，2a+b3=1∈A，
可得：f(x)＝(x−3)(x+3)2．
f′(x)＝3[x−(−3)](x−1)．
可得x＝1时，函数f(x)取得极小值，f(1)＝−2×42＝−32．
证明：a＝0，0