第2章函数 综合测试-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册期末复习

这是一份第2章函数 综合测试-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册期末复习，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北师大新版数学必修第一册第二章函数综合测试题一、单选题1．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）A．， B．，C．， D．，2．已知函数的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）A． B． C． D．[0，2]3．已知函数满足，则（    ）A．2 B．4 C．7 D．144．下列各组函数表示同一函数的是（    ）A． B．C． D．5．函数的定义域为（    ）A． B．C． D．6．若，则等于（    ）A．3 B． C．4 D．7．已知函数的增区间为（    ）A． B． C． D．8．已知是一次函数，且，则的解析式为（）A．或 B．或C．或 D．或9．已知函数，若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．10．函数的值域是（    ）A． B． C． D．11．已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．12．已知函数，下列说法不正确的是（    ）A．若对于，都有（为常数），则的图象关于直线对称B．若对于，都有（为常数），则的图象关于点对称C．若对于，都有，则是奇函数D．若对于，都有，且，则是奇函数  二、填空题13．给定映射，在映射f下象的原象是__________．14．已知函数为奇函数，且当时，，则_________.15．已知函数的最大值与最小值的和为6，__________．16．已知函数满足对任意的实致，都有，则a的取值范围是______________. 三、解答题17．已知函数满足.（1）求实数的值并判断函数的奇偶性；（2）判断函数在上的单调性(可以不用定义).18．已知函数.（1）若对于任意，恒有成立，求实数a的取值范围；（2）若，求函数在区间[0, 2]上的最大值.19．已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求m，n的值；判断函数的单调性并用定义加以证明；（2）求使成立的实数a的取值范围.20．已知函数.（1）画出函数的图象，并写出函数的单调区间;（2）若直线与函数的图象有3个交点，请由（1)中函数图象直接写出m的取值范围.21．设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是M，m，集合.（1）若且，求M和m的值；（2）若，且，记，求的表达式并求的最小值22．已知定义在R上的函数对任意x，都有等式成立，且当时，有.（1）求证：函数在R上单调递增；（2）若，且当时，恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案1．D【分析】求出每个选项中两个函数的定义域，并化简每个选项中两个函数的解析式，由此可得出合适的选项.【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，A选项中的两个函数不相等；对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，B选项中的两个函数不相等；对于C选项，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，C选项中的两个函数不相等；对于D选项，函数与的定义域均为，且，D选项中的两个函数相等.故选：D.2．B【分析】直接由可得解.【详解】∵函数的定义域是∴，解得：故选：B3．A【分析】令，代入即可得解.【详解】令，则，所以.故选：A.4．A【分析】直接利用函数的定义判断.【详解】对于A，和的定义域和对应关系均相同，故为同一函数，故A正确；对于B，的定义域为，的定义域为，两者定义域不同，故A错误；对于C，的定义域为，的定义域为，两者定义域不同，故C错误；对于D，的定义域为，的定义域为，两者定义域不同，故D错误，故选：A.5．C【分析】根据解析式，求出使解析式有意义的自变量的取值范围即可.【详解】因为，所以，解得，即或，即函数的定义域为.故选：C.6．B【分析】根据函数解析式，求出，即可得出结果.【详解】因为，所以，因此，所以.故选：B.7．A【分析】先求得函数的定义域，再令，结合的单调性，利用复合函数的单调性求解.【详解】由，解得或，因为在递减，在递增，又因为在递增，所以增区间为故选：A8．A【分析】设，由题意可得，即，求出和的值，即可得的解析式.【详解】设，则，即对任意的恒成立，所以，解得：或，所以的解析式为或，故选：A【点睛】方法点睛：求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数的表达式求的解析式的问题，令，解出，然后代入中即可求得，从而求得，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.9．B【分析】转化条件为在上的取值范围与在上的有交集，结合二次函数及一次函数的性质分类讨论即可得解.【详解】当时，，由二次函数的性质可得单调递增且；若要满足题意，只需使在上的取值范围与在上的有交集，当时，若，则，则，解得，此时；若，，符合题意；若，则，符合题意；综上，实数a的取值范围为.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为在上的取值范围与在上的有交集，再结合一次函数、二次函数的性质即可得解.10．C【分析】令，结合二次函数的性质即可得解.【详解】由题意，函数的定义域为，设，则，所以，所以函数的值域是.故选：C.11．C【分析】先求得的值域，根据题意可得的值域为[1,2]是在上值域的子集，分两种情况讨论，根据的单调性及集合的包含关系，即可求得答案.【详解】因为，所以，即的值域为[1,2]，因为对于任意，总存在，使得成立，所以的值域为[1,2]是在上值域的子集，当时，在上为增函数，所以，所以，所以，解得，当时，在上为减函数，所以，所以所以，解得，综上实数a的取值范围是，故选：C【点睛】解题的关键是将题干条件转化为两函数值域的包含关系问题，再求解，考查分析理解的能力，属中档题.12．D【分析】根据函数关于轴对称和点对称的定义和关系式，判断AB选项；根据奇函数的定义和性质判断CD选项.【详解】A. 对于，都有（为常数），则函数的图象关于对称；B. 若对于，都有（为常数），则函数的图象关于对称，故B正确；C.令，则，再令，则，即，则是奇函数，故C正确；D. 令，则或，因为,所以，根据奇函数的性质可知，若函数在处有定义，则，而，所以不是奇函数，故D错误.故选：D【点睛】结论点睛：关于函数轴对称和点对称以及函数周期，需要理解并记住一些关系式，1.若函数对于，都有，或，都说明函数的图象关于对称，若对于，都有（为常数），则的图象关于直线对称；2. 若函数对于，都有，或，都说明函数的图象关于对称，若对于，都有（为常数），则的图象关于点对称；3. 若函数对于，都有，则函数的周期是，若函数对于，都有，则函数的周期是(是常数).13．【分析】根据映射概念列出关于的方程组，求解出方程组解则原象可求.【详解】由题意可知：，所以，所以原象为，故答案为：.14．【分析】根据函数为奇函数，由求解．【详解】因为函数为奇函数，且当时，，所以．故答案为：-215．【分析】将变形为，然后根据的奇偶性分析出的取值特点，由此求解出的结果.【详解】因为，当时，，所以，所以，所以；当时，，记，所以 ，又因为的定义域为关于原点对称，所以为奇函数，所以，又因为，所以，综上可知：，故答案为：.【点睛】结论点睛：奇、偶函数在对称区间上的最值：（1）奇函数在对称区间上的最值互为相反数；（2）偶函数在对称区间上的最值相等.16．【分析】求出函数单调递减，由分段函数的单调性得出关于的不等式组，解出即可.【详解】由题意得：在上单调递减，故，解得，即的取值范围是，故答案为：.【点睛】易错点睛：对于分段函数的性，注意在临界位置的函数值大小比较，该题中容易遗漏不等式.17．（1），为奇函数.（2）在上减，上增；【分析】（1）由解析式求得参数的值，即可知函数的解析式，再由奇偶性定义证明即可；（2）由双勾函数性质可得函数的单调性.【详解】（1），.，且定义域为关于原点对称为奇函数.（2）由对勾函数可知：在区间上单调递减，在上单调递增.【点睛】本题考查由定义法证明奇偶性，还考查了双勾函数的单调性，属于基础题.18．（1）；（2）.【分析】（1）将变形为，然后求出右边的最大值即可；（2）分、两种情况讨论即可.【详解】（1）对任意的，恒有，即， 整理得对任意的恒成立， 因此，实数a的取值范围是.    （2）.  当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时； 当，即时，在[0, 2]上单调递增，此时综上所述，19．（1），为增函数，证明见解析；（2）[0，1).【分析】（1）利用和可求出，，然后利用单调性的定义可得的单调性；（2）利用的奇偶性可将不等式化为，然后利用其单调性去掉即可解出答案.【详解】（1）是定义在上的奇函数，则，即，则，所以，又因为，得，所以，.    设且，则  ，，，在上是增函数（2）由（1）知，在上是增函数，又因为是定义在上的奇函数，由，得，， 即，解得.故实数的取值范围是[0，1).20．（1）图像见解析；单调递增区间是，单调递减区间是；（2）-1<m<0.【分析】（1）根据分段函数的解析式即可画出图象，得出单调区间；（2）观察图象，数形结合即可得出结果.【详解】解：（1）作出的图象，如下图所示，  由图象可知，单调递增区间是，单调递减区间是； （2）观察图象可知，当时，直线与函数的图象有3个交点，.21．（1），；（2）；.【分析】（1）先由，解出，再由即可解出，，即可求出的解析式，根据二次函数图像可求出M和m的值；（2）利用根与系数的关系可求出的表达式，再根据的单调性即可求得结果.【详解】解：（1），可得：，又因为，故1，2为的两个根，解得，，，，当时，即，当时，，即，（2）由题意可知，方程有两个相等实数根，即，其对称轴为，又因为，，，，，又在区间上单调递增函数，∴时，.【点睛】关键点点睛：灵活运用韦达定理解决实际问题，掌握利用数形结合法解决数学问题，会求一个闭区间上二次函数的最值是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由函数单调性的定义任取，且，通过作差证明即可得证；（2）由函数的单调性可转化条件为在时恒成立，换元后结合基本不等式求得的最小值即可得解.【详解】（1）证明：任取，且，则，，即，，故函数在R上单调递增；（2），，原不等式等价于，即，故在时恒成立，当时，即.设，则，，所以，当且仅当时，等号成立..【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的单调性转化条件为求在时的最小值，结合基本不等式即可得解.