高中数学人教版新课标A必修52.4 等比数列学案及答案

这是一份高中数学人教版新课标A必修52.4 等比数列学案及答案，共23页。学案主要包含了情境导入，检查预习，合作探究，课堂小结，板书设计，课后作业，课堂同步训练等内容，欢迎下载使用。
2.4等比数列教案（一）学校：临清二中   学科：数学  编写人：李丽丽                                                           授课类型：新授教学目标（一）    知识与技能目标1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式．（二）    过程与能力目标1.明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道，，，n中的三个，求另一个的问题．教学重点1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用．教学难点等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．教学过程一、情境导入：   下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）1，2，4，8，16，…，263;   ①       1，，，，…；           ②1，，…；    ③          ④对于数列①，= ; =2（n≥2）．对于数列②， =；（n≥2）．对于数列③，= ;  =20（n≥2）．共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．二、检查预习1．等比数列的定义．2.　等比数列的通项公式:  ，    ，   3．｛an｝成等比数列4．求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），…….三、合作探究（1）等比数列中有为0的项吗？   （2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）常数列都是等比数列吗？四交流展示1． 等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）注：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； ｛｝成等比数列=q（，q≠0．）(2) 隐含：任一项(3) q=1时，{an}为常数数列．       （4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．2.等比数列的通项公式1: 观察法：由等比数列的定义，有：；；  ；… … … … … … … ．　　迭乘法：由等比数列的定义，有：；；；…；　　　　　　所以，即等比数列的通项公式2: 五精讲精练
例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.解：          点评：考察等比数列项和通项公式的理解变式训练一：教材第52页第1例2．求下列各等比数列的通项公式：          解：(1)     (2)点评：求通项时，求首项和公比变式训练二 ：教材第52页第2例3．教材P50面的例1。例4． 已知无穷数列，      求证：（1）这个数列成等比数列；           （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的；           （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．证：（1）（常数）∴该数列成等比数列．        （2），即：．         （3），∵，∴．            ∴且，∴，（第项）．    变式训练三：教材第53页第3、4题．六、课堂小结： 1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式及变形式七、板书设计八、课后作业阅读教材第48～50页；        2.4等比数列教案（二）学校：临清二中   学科：数学  编写人：李丽丽                                                           授课类型：新授教学目标（一） 知识与技能目标进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；（二） 过程与能力目标利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质（三）      方法与价值观培养学生应用意识．教学重点，难点（1）等比数列定义及通项公式的应用；（2）灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题．教学过程二．问题情境1．情境：在等比数列中，（1）是否成立？是否成立？（2）是否成立？2．问题：由情境你能得到等比数列更一般的结论吗？三．学生活动对于（1）∵，，∴，成立．同理 ：成立．对于（2），，，∴，成立．一般地：若，则．四．建构数学1．若为等比数列，，则．由等比数列通项公式得：，，故且，        ∵，∴．2．若为等比数列，则．由等比数列的通项公式知：，则 ．五．数学运用1．例题：例1．（1）在等比数列中，是否有（）？     （2）在数列中，对于任意的正整数（），都有，那么数列一定是等比数列．解：（1）∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列是等比数列，∴，即（）成立．（2）不一定．例如对于数列，总有，但这个数列不是等比数列．例2． 已知为，且，该数列的各项都为正数，求的通项公式。解：设该数列的公比为，由得，又数列的各项都是正数，故，则 ．例3．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。解：由题意可以设这三个数分别为，得：∴，即得或，∴或，   故该三数为：1，3，9或，3，或9，3，1或，3，．说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为．例4． 如图是一个边长为的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图形（2），如此继续下去，得图形（3）……求第个图形的边长和周长．解：设第个图形的边长为，周长为．由题知，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形的边长的，∴数列是等比数列，首项为，公比为．∴．要计算第个图形的周长，只要计算第个图形的边数．第一个图形的边数为，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形的边数的倍，∴第个图形的边数为．．2．练习：1．已知是等比数列且，，则           ．2．已知是等比数列，，，且公比为整数，则           ．3．已知在等比数列中，，，则                ．五．回顾小结：1．等比数列的性质（要和等差数列的性质进行类比记忆）．六．课外作业：书练习第1，2题，习题第6，8，9，10题．七板书设计                                课内探究学案（一 ）学习目标1.明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道，，，n中的三个，求另一个的问题．教学重点1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用．教学难点等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．（二）学习过程1、自主学习、合作探究1.等差数列的证明：①（）；②（、），；③证明为常数（对于适用）；④证明。2.当引入公比辅助解题或作为参数时，注意考虑是否需要对和进行分类讨论。3.证明数列是等比数列、不是等比数列，讨论数列是否等比数列，求解含参等比数列中的参数这四类问题同源。4.注意巧用等比数列的主要性质，特别是（）和（）。5. 三数成等比数列，一般可设为、、；四数成等比数列，一般可设为、、、；五数成等比数列，一般可设为、、、、。2、精讲点拨三、典型例题例1  数列为各项均为正数的等比数列，它的前项和为80，且前项中数值最大的项为54，它的前项和为6560，求首项和公比。解：若，则应有，与题意不符合，故。依题意有：得即得或（舍去），。由知，数列的前项中最大，得。将代入（1）得   （3），由得，即    （4），联立（3）（4）解方程组得。例2  （1）已知为等比数列，，，求的通项公式。（2）记等比数列的前项和为，已知，，，求和公比的值。解：（1）设等比数列的公比为（），，则，即也即，解此关于的一元方程得或。，或。（2）在等比数列中，有，又，联立解得或，由此知，而，从而解得或。例3  已知数列，其中，且数列（为常数）为等比数列，求常数。解：为等比数列，那么，将代入并整理得，解之得或。例4  设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列。解：设、分别是公比为、（）的两个等比数列，要证明不是等比数列，我们只需证即可。事实上，，，又、，，数列不是等比数列。3、反思总结    4当堂检测1.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是(     )　　　　　            　　　　　　             2.已知是等比数列，，则                                                 3.若实数、、成等比数列，则函数与轴的交点的个数为（    ）                             无法确定4. 在数列中，，且是公比为（）的等比数列，该数列满足（），则公比的取值范围是（    ）                         5.设数列满足（，，），且，则__________。6.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则__________。7.设是由正数组成的等比数列，公比，且，则__________。8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列，则________。9.设数列为等比数列，，已知，。（1）求等比数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式。10.设数列的前项和为，已知（1）证明：当时，是等比数列；（2）求的通项公式。11.已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数。（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设,为数列的前项和。是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。【当堂检测】1.   解析：设数列的公比为，那么，函数（）的值域为，从而求得的取值范围。2.   解析：等比数列的公比，显然数列也是等比数列，其首项为，公比，。3.   解析：、、成等比数列，，二次函数的判别式，从而函数与轴无交点。4. ，，而，，即，解得，而，故公比的取值范围为。5.   解析：，即，也即，从而数列是公比为的等比数列。。6.解析：的两根分别为和，，从而、，。。7.解析：，，。8.解析：设该等比数列为、、、， ，，从而、、，。9.解：（1）对于等式，令得；令得，，。（2），则    ①①得              ②②①得：。10.解：（1）证明：由题意知，且，两式相减得，即    ①当时，由①知，于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（2）当时，由（1）知，即； 当时，由①得11.解：（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即，矛盾。所以不是等比数列.（2）解： 。又，所以当时，，这时不是等比数列；当时，由上可知，。故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。（3）由（2）知，当时，，，不满足题目要求。，故知，可得，要使对任意正整数成立，即，得       ①令，则当为正奇数时，；当为正偶数时，。所以的最大值为，最小值为。于是，由①式得。当时，由知，不存在实数满足题目要求；当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。     等比数列学案一、课前预习（一）预习目标1.理解等比数列的定义；2.了解等比数列的通项公式（二）自我探究下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）1，2，4，8，16，…，263;   ①       1，，，，…；           ②1，，…；    ③          ④对于数列①，= ; =2（n≥2）．对于数列②， =；（n≥2）．对于数列③，= ;  =20（n≥2）．共同特点：                                                                           (1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； ｛｝成等比数列=q（，q≠0．）(2) 隐含：任一项(3) q=1时，{an}为常数数列．      （4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．（四）提出疑惑   （五）预习内容1、等比数列的定义                                                                2、等比数列的通项公式                                                             1. 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做该等比数列的公比，我们通常用字母（）表示。数学语言描述：对于数列，如果满足（、，为常数，），那么为等比数列。2.当等比数列的公比时。该等比数列为常数列。3.等比数列的通项公式：，对于等比数列的通项公式，我们有以下结论：①；②（，此结论对于有意义时适用）。4. 等比数列的增减性：若，当时，等比数列为递增数列；当时，等比数列为递减数列；当时，等比数列的增减性无法确定（摆动数列）。若，当时，等比数列为递减数列；当时，等比数列为递增数列；当时，等比数列的增减性无法确定（摆动数列）。5. 如果在数和中间插入一个数，使得、、三数成等比数列，那么我们就称数为数和的等比中项，且。6.等比数列的前项和公式设数列是公比为的等比数列，那么该数列的前项和。7.等比数列的主要性质：（1）在等比数列中，若，则；（2）在等比数列中，若，则；（3）对于等比数列，若数列是等差数列，则数列也是等比数列；（4）若数列是等比数列，则对于任意实数，数列、也是等比数列；（5）若数列是等比数列且，则数列也是等比数列；（6）若数列是等比数列且，则数列为等差数列；（7）若数列和都是等比数列，则数列也是等比数列；（8）若是等比数列的前项和，则、、、…成等比数列，其公比为；四、课堂同步训练1.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是(     )　　　　　            　　　　　　             2.已知是等比数列，，则                                                 3.若实数、、成等比数列，则函数与轴的交点的个数为（    ）                             无法确定4. 在数列中，，且是公比为（）的等比数列，该数列满足（），则公比的取值范围是（    ）                         5.设数列满足（，，），且，则__________。6.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则__________。7.设是由正数组成的等比数列，公比，且，则__________。8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列，则________。9.设数列为等比数列，，已知，。（1）求等比数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式。10.设数列的前项和为，已知（1）证明：当时，是等比数列；（2）求的通项公式。11.已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数。（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设,为数列的前项和。是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。【同步训练参考答案】1.   解析：设数列的公比为，那么，函数（）的值域为，从而求得的取值范围。2.   解析：等比数列的公比，显然数列也是等比数列，其首项为，公比，。3.   解析：、、成等比数列，，二次函数的判别式，从而函数与轴无交点。4. ，，而，，即，解得，而，故公比的取值范围为。5.   解析：，即，也即，从而数列是公比为的等比数列。。6.解析：的两根分别为和，，从而、，。。7.解析：，，。8.解析：设该等比数列为、、、， ，，从而、、，。9.解：（1）对于等式，令得；令得，，。（2），则    ①①得              ②②①得：。10.解：（1）证明：由题意知，且，两式相减得，即    ①当时，由①知，于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（2）当时，由（1）知，即； 当时，由①得故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。（3）由（2）知，当时，，，不满足题目要求。，故知，可得，要使对任意正整数成立，即，得       ①令，则当为正奇数时，；当为正偶数时，。所以的最大值为，最小值为。于是，由①式得。当时，由知，不存在实数满足题目要求；当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。