高中人教版新课标B2.5 直线与圆锥曲线同步训练题

这是一份高中人教版新课标B2.5 直线与圆锥曲线同步训练题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2.5直线与圆锥曲线一、选择题1．若不论k为何值，直线y＝k(x－2)＋b与曲线x2－y2＝1总有公共点，则b的取值范围是(　　)A．(－，)　　　　　　　B．[－，]C．(－2,2)  D．[－2,2][答案]　B[解析]　由题意可知，直线所过的定点(2，b)应在双曲线上或内部，即y2≤x2－1，∴b2≤3，∴－≤b≤.2．过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为的弦AB，则|AB|的值为(　　)A.     B.C.     D.[答案]　B[解析]　抛物线y2＝4x的焦点F为(1,0)，过F且倾斜角为的直线方程为y＝(x－1)，联立得方程组得关于x的一元二次方程3x2－10x＋3＝0.①设交于A(x1，y1)B(x2，y2)两点．则x1x2是①的两根．有x1＋x2＝.|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝＋2＝.故选B.3．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是(　　)A.或    B.或C.或    D.[答案]　B[解析]　由焦点弦长公式|AB|＝得＝12，∴sinθ＝.∴θ＝或π.故选B.4．(2009·山东烟台4月)已知抛物线y2＝4x上一点P(x0，y0)，若y0∈[1,2]，则|PF|的范围是(　　)A.    B.C．[1,2]    D．[2,3][答案]　B[解析]　∵y0∈[1,2]，∴x0∈，由定义|PF|＝1＋x0∈.故选B.5．直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，则m的范围是(　　)A．－5<m<5   B．m<－，或m>C．m<    D．－<m<[答案]　D[解析]　将y＝x＋m代入＋y2＝1，有5x2＋8mx＋4m2－4＝0，Δ＝64m2－80(m2－1)>0，得m2<5，∴－<m<.6．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(　　)A．(，)    B．(，)C．(－，)   D．(－，－)[答案]　C[解析]　设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．则，两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0＝－＝k∴－＝1，又y0＝x0＋1∴x0＝－，y0＝.7．以双曲线y2－＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是(　　)A．(x－2)2＋y2＝4  B．x2＋(y－2)2＝2C．(x－2)2＋y2＝2  D．x2＋(y－2)2＝4[答案]　D[解析]　双曲线焦点在y轴上，离心率e＝2，∴圆心在y轴上，半径R＝2.故选D.8．(2009·浙江)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若＝，则双曲线的离心率是(　　)A.　　　  B.　　　C.　　　  D.[答案]　C[解析]　由已知，直线方程为x＋y－a＝0，两渐近线为±＝0.由得xB＝.由得xC＝.∵＝，∴2(xB－xA)＝xC－xB，∴3xB＝2xA＋xC，∴＝＋2a，解得b＝2a，∴c2＝＝5，∴e＝.故选C.9．已知a>b>0，e1与e2分别为圆锥曲线＋＝1和－＝1的离心率，则lge1＋lge2的值(　　)A．一定是正值   B．一定是零C．一定是负值   D．符号不确定[答案]　C[解析]　∵e1＝，e2＝，∴e1e2＝＝<1.∴lge1＋lge2＝lg(e1·e2)<0.故选C.10．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为(　　)A.　　　  B.　　　C.　　　  D.[答案]　B[解析]　椭圆离心率e＝，即＝⇒＝，∴＝，则1＋＝.∴双曲线的离心率为e′＝.故选B.二、填空题11．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－y2＝1的右焦点重合，则p的值等于______．[答案]　4[解析]　由已知F与F2(2,0)重合，∴＝2，∴p＝4.12．点M(5,3)到抛物线x2＝ay(a>0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是______．[答案]　x2＝12y[解析]　∵抛物线x2＝ay(a>0)的准线方程为y＝－，∴＋3＝6，∴a＝12，∴抛物线方程为x2＝12y.13．双曲线x2－y2＝9被直线x－2y＋1＝0截得的弦长为________．[答案]　[解析]　3y2－4y－8＝0y1·y2＝－，y1＋y2＝.l＝·＝·＝.14．(2008·全国Ⅰ)已知抛物线y＝ax2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．[答案]　2[解析]　把抛物线方程改写为x2＝(y＋1)得顶点(0，－1)，又原点为焦点，∴＝4，∴抛物线x2＝4(y＋1)与x轴交于两点(2,0)，(－2,0)．∴所求面积为×4×1＝2.三、解答题15．直线l：y＝2x＋1与抛物线y2＝12x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求线段AB的长．[解析]　由得4x2－8x＋1＝0，由韦达定理，得x1＋x2＝2，x1x2＝.∴|AB|＝|x1－x2|＝＝＝.16．过椭圆＋y2＝1的一个焦点F作直线l交椭圆于A，B两点，椭圆的中心为O，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．[解析]　过椭圆焦点F(1,0)的直线l垂直于x轴时，可知此时△AOB的面积等于.当l不垂直x轴时，可设直线l的方程为y＝k(x－1)．因为|OF|是定值1，所以△AOB的面积可以用×1×|y1－y2|(其中y1，y2是A，B的纵坐标)来计算．将y＝kx－k代入＋y2＝1，消去x，得(1＋2k2)y2＋2ky－k2＝0.由根与系数的关系可得(y1－y2)2＝＝2－<2.可以看出|y1－y2|<，此时△AOB的面积小于，所以直线l的方程为x＝1或x＝－1.17．(2010·湖北文，20)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．[分析]　本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算的能力．[解析]　(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：－x＝1(x>0)化简得y2＝4x(x>0)(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，此时Δ＝16(t2＋m)>0.于是①又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)·<0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0②又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－(＋)＋1<0⇔＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1<0③由①式，不等式③等价于m2－6m＋1<4t2④对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，即3－2<m<3＋2由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任意一直线，都有·<0，且m的取值范围是(3－2，3＋2)．18．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)，(O为原点)(1)求双曲线C的方程．(2)若直线l1：y＝kx＋与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且·>2，求k的取值范围．[解析]　(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝22，得b2＝1.所以双曲线C的方程为－y2＝1.(2)将y＝kx＋代入－y2＝1得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.由直线l与双曲线交于不同的两点得即k2≠且k2<1.①设A(xA，yA)、B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝，由·>2得xAxB＋yAyB>2，而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝.于是>2，即>0.解此不等式得<k2<3.②由①②得<k2<1.故k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．