中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第03讲 整式及其运算（解析版）学案

中考数学一轮复习讲义

考点三：整式及其运算

聚焦考点☆温习理解

一、单项式：

由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式．

二、多项式：

由几个单项式组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项．

三．整式：

单项式和多项式统称为整式．

四．同类项：

多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．

五．幂的运算法则

(1)同底数幂相乘：am·an＝am＋n(m，n都是整数，a≠0)

(2)幂的乘方：(am)n＝amn(m，n都是整数，a≠0)

(3)积的乘方：(ab)n＝an·bn(n是整数，a≠0，b≠0)

(4)同底数幂相除：am÷an＝am－n(m，n都是整数，a≠0)

六．整式乘法

单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式．学科+网

单项式乘多项式：m(a＋b)＝ma+mb；

多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac+ad+bc+bd

七．乘法公式

(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2

(2)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．

八．整式除法

单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加．

名师点睛☆典例分类

考点典例一、整式的加减运算

【例1】化简(9x﹣3)﹣2(x+1)的结果是(　　)

A．2x﹣2 B．x+1 C．5x+3 D．x﹣3

【答案】D．

【解析】原式＝3x﹣1﹣2x﹣2＝x﹣3

【举一反三】

1. 下列运算正确的是(  )

A. x﹣2x=﹣x    B. 2x﹣y=xy    C. x2+x2=x4    D. (x﹣1)2=x2﹣1

【来源】江苏省连云港市2018年中考数学试题

【答案】A

点睛：本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．

2. 如果a－b－2＝0，那么代数式1＋2a－2b的值是__________．

【答案】5

【解析】本题考查了整式的求值问题，将条件进行转化，然后利用整体代入的方法进行求值．∵a－b－2＝0，∴a－b＝2．∴1＋2a－2b＝1＋2(a－b)＝1＋2×2＝5，因此本题答案为5．

考点典例二、同类项的概念及合并同类项

【例2】若8xmy与6x3yn的和是单项式，则(m+n)3的平方根为(　　)

A．4 B．8 C．±4 D．±8

【答案】D

【解析】根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，再代入计算可得答案．

由8xmy与6x3yn的和是单项式，得

m＝3，n＝1．

(m+n)3＝(3+1)3＝64，64的平方根为±8．

【举一反三】

1.若代数式2xay3zc与是同类项，则(　　)

A．a=4，b=2，c=3 B．a=4，b=4，c=3 C．a=4，b=3，c=2 D．a=4，b=3，c=4

【答案】C

点睛：本题主要考查同类项的知识，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．

2.下列运算正确的是(     )

A.     B.     C.     D.

【答案】C．

考点：合并同类项．

考点典例三、幂的运算

【例3】下列运算正确的是(　　)

A．a6÷a3＝a3 B．a4•a2＝a8 C．(2a2)3＝6a6 D．a2+a2＝a4

【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．

【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故此选项正确；

B、a4•a2＝a6，故此选项错误；

C、(2a2)3＝8a6，故此选项错误；

D、a2+a2＝2a2，故此选项错误；

故选：A．

【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

【举一反三】[来源:学科网ZXXK]

1. 若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝　15　．

【分析】由2x＝3，2y＝5，根据同底数幂的乘法可得2x+y＝2x•2y，继而可求得答案．

【解答】解：∵2x＝3，2y＝5，

∴2x+y＝2x•2y＝3×5＝15．

故答案为：15．

【点评】此题考查了同底数幂的乘法．此题比较简单，注意掌握公式的逆运算

2.下列计算正确的是(　　)

A．a6+a6＝2a12 

B．2﹣2÷20×23＝32 

C．(﹣ab2)•(﹣2a2b)3＝a3b3 

D．a3•(﹣a)5•a12＝﹣a20

【答案】D

【解析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案．

A.a6+a6＝2a6，故此选项错误；

B.2﹣2÷20×23＝2，故此选项错误；

C.(﹣ab2)•(﹣2a2b)3＝(﹣ab2)•(﹣8a6b3)＝4a7b5，故此选项错误；

D.a3•(﹣a)5•a12＝﹣a20，正确．

考点典例四、整式的乘除法.

【例4】先化简，再求值：(a+3)2﹣(a+1)(a﹣1)﹣2(2a+4)，其中a＝﹣．

【分析】注意到(a+3)2可以利用完全平方公式进行展开，(a+1)(a﹣1)利润平方差公式可化为(a2﹣1)，则将各项合并即可化简，最后代入a＝进行计算．

【解答】解：

原式＝a2+6a+9﹣(a2﹣1)﹣4a﹣8

＝2a+2

将a＝﹣代入原式＝2×(﹣)+2＝1

【点评】本题主要考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变

【举一反三】

1. 先化简，再求值：(a-1)2+a(a+2),其中a=

【答案】5

【解析】整式的运算。将原代数式化简求值即可

【解题过程】解：

原式=a2-2a+1+a2+2a=2a2+1,

当a=时，

原式=

2. (1)计算：；(2)化简：(m+2)2 +4(2-m)

【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷

【答案】(1)5-；(2)m2+12 

点睛: 本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、乘方、二次根式、完全平方公式、去括号法则、合并同类项等考点的运算.

考点典例五、整式的混合运算及求值

【例5】先化简，再求值：a(a+2b)﹣(a+1)2+2a，其中 ．

【来源】山东省淄博市2018年中考数学试题

【答案】2ab﹣1，=1．

【解析】分析：先计算单项式乘以多项式与和的完全平方，再合并同类项，最后代入计算即可．

详解：原式=a2+2ab﹣(a2+2a+1)+2a

=a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1+2a

=2ab﹣1，

当，时，

原式=2(+1)(-1)﹣1

=2﹣1

=1．

点睛：本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

【举一反三】

1.先化简，再求值：，其中.

【答案】4.

考点：整式的混合运算—化简求值．

2.已知a﹣=3，那么a2+=_____．

【答案】11

课时作业☆能力提升

一、选择题

1. 下面是一位同学做的四道题：

①.②.③.④.其中做对的一道题的序号是(   )

A. ①    B. ②    C. ③    D. ④

【答案】C

【点评】考查完全平方公式，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及积的乘方，熟记它们的运算法则是解题的关键.

2. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式

  的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．

根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为(  )

A. 84    B. 56    C. 35    D. 28

【来源】山东省德州市2018年中考数学试题

【答案】B

点睛：本题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．

3.已知,则代数式的值为：

A. 3    B. 2    C. 1    D. 0

【答案】C．

【解析】

试题分析：∵2m2-8m-13＝2(m2-4m)-13,m2-4m=7,

∴2m2-8m-13＝14-13=1;

故选C。

考点：整体思想.

4. 计算：(2x2)3﹣x2•x4．

【分析】先算乘方与乘法，再合并同类项即可．

【解答】解：(2x2)3﹣x2•x4

＝8x6﹣x6

＝7x6．

归纳：整式的运算中需注意以下几点：

(1)幂的乘方→转化为指数乘法运算．即(a2)3＝a2×3.

(2)同底数幂的乘法→转化为指数的加法运算．即a2·a3＝a2＋3.

(3)在算积的乘方时，若底数中含有数字，要记住对数字也要进行乘方．

(4)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形：

①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；

②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；

③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；

④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.

5.下列运算正确的有(　　)

A．　　　　B．　　　　C． 　　　　D．

【答案】B．

考点：幂的乘方与积的乘方；算术平方根；合并同类项；完全平方公式．

6. 下列计算正确的是(     )

A. 2x2·2xy＝4x3y4    B. 3x2y－5xy2＝－2x2y

C. x－1÷x－2＝x－1    D. (－3a－2)(－3a＋2)＝9a2－4

【答案】D

故选D.

7. 下列运算正确的是(　　)

A. m6÷m2=m3    B. (x+1)2=x2+1    C. (3m2)3=9m6    D. 2a3•a4=2a7

【答案】D

故选D

8.由于受禽流感的影响，我市某城区今年月份鸡的价格比月份下降，月份比月份下降，已知月份鸡的价格为元/千克，设月份鸡的价格为元/千克，则()

A．         B．     

C.            D．

【答案】D．

试题分析：今年2月份鸡的价格比1月份下降a%，1月份鸡的价格为24元/千克，可得2月份鸡的价格为24(1﹣a%)，再由3月份比2月份下降b%，即可得三月份鸡的价格为24(1﹣a%)(1﹣b%)，故选D．

考点：列代数式.

二、填空题

9. 设是一列正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)，已知，，则___________.

【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题

【答案】4035

【解析】【分析】整理得，从而可得an+1-an=2或an=-an+1，再根据题意进行取舍后即可求得an的表达式，继而可得a2018.

【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出an+1-an=2.

10. 若单项式﹣xm﹣2y3与xny2m﹣3n的和仍是单项式，则m﹣n=　　．

【答案】

【解析】试题分析：根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，可得出m和n的值，然后求得m﹣n的值．

试题解析：∵单项式﹣xm﹣2y3与xny2m﹣3n的和仍是单项式，

∴m﹣2=n，2m﹣3n=3，

解得：m=3，n=1，

∴m﹣n=3﹣1=；

故答案为：．

点睛：本题考查同类项的知识，比较简单，注意掌握同类项的定义．

11. 已知，则          ．

【答案】80.

【解析】

试题解析：∵(a+b)(a-b)=a2-b2，

∴a2-b2=10×8=80.

考点：平方差公式．

12. 如果m是最大的负整数，n是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，那么代数式m2015+2016n+c2017的值为             

【答案】0

【解析】

试题解析：由题意可知：m=﹣1，n=0，c=1

∴原式=(﹣1)2015+2016×0+12017=0

考点：代数式求值．

13. 如图，从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是　　．

【答案】a+6．

【解析】

试题解析：拼成的长方形的面积=(a+3)2﹣32，

=(a+3+3)(a+3﹣3)，

=a(a+6)，

∵拼成的长方形一边长为a，

∴另一边长是a+6．

考点：图形的拼接.

14.如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．

示例：即4+3＝7

则(1)用含x的式子表示m＝　   　；

(2)当y＝﹣2时，n的值为　   　．

【答案】1

【解答】解：(1)根据约定的方法可得：

m＝x+2x＝3x；

故答案为：3x；

(2)根据约定的方法即可求出n

x+2x+2x+3＝m+n＝y．

当y＝﹣2时，5x+3＝﹣2．

解得x＝﹣1．

∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1．

故答案为：1．

三、解答题

14.先化简，再求值： ，其中．

【答案】原式=7.

考点：整式的化简求值．

15. 计算或化简.

(1)；(2).

【来源】江苏省扬州市2018年中考数学试题

【答案】(1)4；(2)

【解析】分析：(1)根据负整数幂、绝对值的运算法则和特殊三角函数值即可化简求值．

(2)利用完全平方公式和平方差公式即可．

详解：(1)(9)-1+|−2|+tan60°

=2+(2-)+

=2+2-+

=4

(2)(2x+3)2-(2x+3)(2x-3)

=(2x)2+12x+9-[(2x2)-9]

=(2x)2+12x+9-(2x)2+9

=12x+18

点睛：本题考查实数的混合运算和乘法公式，负整数指数幂的运算和相反数容易混淆，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．

16.有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，对于方案一，小明是这样验证的：

a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2

请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．

方案二：

方案三：

【答案】见解析.

点睛：本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．

17.阅读下面的材料：

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．

根据以上材料，解答下列问题：

(1)等差数列5，10，15，…的公差d为　   　，第5项是　   　．

(2)如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．

所以

a2＝a1+d

a3＝a2+d＝(a1+d)+d＝a1+2d，

a4＝a3+d＝(a1+2d)+d＝a1+3d，

……

由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+(　   　)d．

(3)﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？

【答案】(1)5，25；(2)n﹣1；(3)﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数

列的第2019项．

【解析】解：(1)根据题意得，d＝10﹣5＝5；

∵a3＝15，

a4＝a3+d＝15+5＝20，

a5＝a4+d＝20+5＝25，

故答案为：5；25．

(2)∵a2＝a1+d

a3＝a2+d＝(a1+d)+d＝a1+2d，

a4＝a3+d＝(a1+2d)+d＝a1+3d，

……

∴an＝a1+(n﹣1)d

故答案为：n﹣1．

(3)根据题意得，

等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项的通项公式为：an＝﹣5﹣2(n﹣1)，

则﹣5﹣2(n﹣1)＝﹣4041，

解之得：n＝2019

∴﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数列的第2019项．

[来源:Zxxk.Com]