高端精品高中数学二轮核心专题-解析几何中的定点定值最值问题教案

解析几何中的定点定值最值问题

高考预测一：最值问题

类型一：弦长或面积问题

1．如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．

（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；

（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值．

2．已知椭圆经过点，且离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于两个不同的点，，求面积的最大值为坐标原点）

3．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设不与坐标轴平行的直线交椭圆于，两点，，记直线在轴上的截距为，

求的最大值．

4．已知椭圆经过点，且一个焦点为．过点作圆的切线交椭圆于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）将表示为的函数，并求的最大值．

5．已知椭圆的离心率为，且过点，．椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求四边形面积的最小值．

6．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点．

（Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；

（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．

7．已知椭圆经过点，且离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点、在椭圆上，且四边形是矩形，求矩形的面积的最大值

类型二：涉及坐标、向量数量积等问题

8．已知椭圆的左焦点为，为坐标原点．

求过点、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；

设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围．

9．已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）直线与曲线交于不同的两点，，若存在点，使得成立，求实数的取值范围．

10．如图所示，椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．

（Ⅰ）若点的坐标为，，求的值；

（Ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求实数的取值范围．

11．已知，，若动点满足．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设过点的直线交轨迹于，两点，若，求直线的斜率的取值范围．

高考预测二：定值问题

12．已知焦距为的椭圆中心在原点，短轴的一个端点为，点为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行的直线交椭圆与，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线，的斜率分别为，，求证：．

13．已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，点在直线的上方，若，且直线，分别与轴交于点，，求线段的长度．

14．已知椭圆的两个焦点分别为，．点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点的坐标为，点的坐标为，．过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，试求，满足的关系式．

15．已知椭圆的两个焦点分别为，，，，以椭圆短轴为直径的圆经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆相交于、两点，设点，记直线，的斜率分别为，，问：是否为定值？并证明你的结论．

高考预测三：定点问题

16．已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，、是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于、的动点，且面积的最大值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在一定点，，使得当过点的直线与曲线相交于，两点时，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由．

17．为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足．

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点在直线上，且，直线过点且垂直于，求证：直线过定点．

18．已知椭圆的右焦点为，设左顶点为，上顶点为，且，如图所示．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点与椭圆上的另一点（非右顶点）关于直线对称，直线上一点满足，求点的坐标．