高端精品高中数学二轮专题-指数函数（带答案）教案

这是一份高端精品高中数学二轮专题-指数函数（带答案）教案，共8页。
eq \a\vs4\al(1.指数与指数运算)
(1)根式的性质
①(eq \r(n,a))n＝a(a使eq \r(n,a)有意义)．
②当n是奇数时，eq \r(n,an)＝a；
当n是偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，且n>1)．
②a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
(3)有理数指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②eq \f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
2．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质
题型一.比较大小
1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝（12）﹣1.5，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2
【解答】解：利用幂的运算性质可得，
y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝（12）﹣1.5＝21.5，
再由y＝2x是增函数，知y1＞y3＞y2．
故选：D．
2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【解答】解：函数y＝0.6x为减函数；
故a＝0.60.6＞b＝0.61.5，
函数y＝x0.6在（0，+∞）上为增函数；
故a＝0.60.6＜c＝1.50.6，
故b＜a＜c，
故选：C．
3．设a＝（35)25，b=(25)35，c=(25)25，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a
【解答】解：∵y=x25在x＞0时是增函数
∴a＞c
又∵y=(25)x在x＞0时是减函数，所以c＞b
故选：A．
4．已知函数f（x）＝ex+e﹣x，若a＝f（21.1），b＝f（﹣1），c＝f（lg23），则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a
【解答】解：函数f（x）＝ex+e﹣x，为偶函数，在（0，+∞）上单调递增．
∵a＝f（21.1），b＝f（﹣1）＝f（1），c＝f（lg23），1＜lg23＜2＜21.1．
则实数a，b，c的大小关系为b＜c＜a．
故选：D．
题型二.指数函数的图像与性质
1．已知曲线y＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）过定点（k，b），若m+n＝b且m＞0，n＞0，则4m+1n的最小值为（ ）
A．92B．9C．5D．52
【解答】解析：∵定点为（1，2）∴m+n＝2
∴4m+1n=12(4m+1n)(m+n)=12(5+mn+4nm)≥92
当且仅当mn=4nm，即m=43，n=23时取得最小值92，
故选：A．
2．已知实数a、b满足等式（12）a＝（13）b，给出下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b＝0，
其中不可能成立的关系式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：画出指数函数的图象：f(x)=(12)x，g（x）=(13)x．
满足等式（12）a＝（13）b，
有①0＜b＜a；②a＜b＜0；⑤a＝b＝0，三个．
而③0＜a＜b；④b＜a＜0；不可能成立．
故选：B．
3．已知函数f（x）＝|2x﹣1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则下列结论中，一定成立的是 ③ ．（只填序号）
①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；③2a+2c＜2；④2﹣a＜2c．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：
∵a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），
∴由图象知，a＜0，c＞0，b符号不确定，
故①错误，②错误，
由f（a）＞f（c）得|2a﹣1|＞|2c﹣1|，即﹣2a+1＞2c﹣1，
得2a+2c＜2，故③正确，
当a＝﹣2，c=12时，f（a）=34，f（c）=2−1，满足f（a）＞f（c），
但2﹣a＝22＝4，2c=2，则2﹣a＜2c．不成立，故④错误，
故正确的是③，
故答案为：③．
4．若函数f（x）=x2−ax+a(x＜0)(4−2a)x(x≥0)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，2）B．(32，2)C．[1，2]D．[0，1]
【解答】解：根据分段函数单调性的性质若函数为单调函数，
则函数只能是单调递减函数，
则满足−−a2≥00＜4−2a＜1a≥(4−2a)0，
即a≥032＜a＜2a≥1，
解得32＜a＜2，
故选：B．
5．设函数f（x）=12x−1，x≥01x，x＜0 若f（a）＞1，则实数a的取值范围是 a＞4 ．
【解答】解：当a≥0时，由12a−1＞1得：a＞4，
当a＜0时，不等式1a＞1无解，
综上满足f（a）＞1的实数a的取值范围是：a＞4
故答案为a＞4
6．若实数a，b满足2a+3a＝3b+2b，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A．0＜a＜b＜1B．b＜a＜0C．1＜a＜bD．a＝b
【解答】解：由2a+3a＝3b+2b，
设f（x）＝2x+3x，g（x）＝3x+2x，易知f（x），g（x）是递增函数，
画出f（x），g（x）的图象如下：
根据图象可知：当x＝0，1时，f（x）＝g（x），
0＜a＜b＜1，f（a）＝f（b）可能成立；故A正确；
当b＜a＜0时，因为f（x）≤g（x），所以f（a）＝g（b）可能成立，B正确；
当a＝b时，显然成立，
当1＜a＜b时，因为f（a）＜g（b），所以不可能成立，
故选：ABD．
题型三. 指数函数的定义域、值域
1．函数y=(12)3+2x−x2的定义域为 R ，值域为 [116，+∞ ） ．
【解答】解：∵不论函数y=(12)3+2x−x2中的x取何值，函数总有意义，∴函数y=(12)3+2x−x2的定义域为R．
令u＝3+2x﹣x2，则y=(12)u．
∵u＝3+2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4，∴u∈（﹣∞，4]
∵函数y=(12)u为u的减函数，且u∈（﹣∞，4]
∴(12)u∈[116，+∞），即y∈[116，+∞），
∴函数的值域为[116，+∞），
故答案为[116，+∞）
2．若函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，2]，则实数a等于 3 ．
【解答】解：当a＞1时，函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）在[0，2]上单调递增，
则f(0)=0f(2)=a2−1=2
解得：a=3
当a＜1时，函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）在[0，2]上单调递减，
则f(0)=2f(2)=0无解
故a=3
故答案为：3
3．已知f（x）=3x2+2ax−a−1的定义域为R，则实数a的取值范围是 [﹣1，0] ．
【解答】解：∵f（x）=3x2+2ax−a−1的定义域为R，
∴3x2+2ax−1−1≥0对任意x∈R恒成立，
即3x2+2ax−a≥1=30恒成立，
即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，
∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0．
故答案为：[﹣1，0]．
4．已知函数f（x）＝（13）ax2−4x+3，若f（x）的值域是（0，+∞），求a的值．
【解答】解：
由指数函数的性质知，要使y＝f（x）的值域是（0，+∞），
应使h（x）＝ax2﹣4x+3的值域为R，
若a≠0，h（x）为二次函数，其值域不可能为R，
∴a的值是0．
5．若函数y=4x+a⋅2x+1的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣2] ．
【解答】解：设g（x）＝4x+a•2x+1，
若函数y=4x+a⋅2x+1的值域为[0，+∞），
则等价为[0，+∞）是g（x）值域的子集，
g（x）＝4x+a•2x+1＝（2x）2+a•2x+1，
设t＝2x，则t＞0，
则函数g（x）等价为y＝h（t）＝t2+at+1，
∵h（0）＝1＞0，
∴当对称轴t=−a2≤0，即a≥0时，不满足条件．
当t=−a2＞0，即a＜0时，则判别式△＝a2﹣4≥0，
即a＜0a≥2或a≤−2，则a≤﹣2，
即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]，
故答案为：（﹣∞，﹣2]
6．若关于x的方程：9x+（4+a）•3x+4＝0有解，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣8）∪[0，+∞）B．（﹣8，﹣4）
C．[﹣8，﹣4]D．（﹣∞，﹣8]
【解答】解：∵a+4=−32x+43x，
令3x＝t（t＞0），则−32x+43x=−(t+4t)
因为(t+4t)≥4，所以−32x+43x≤−4，
∴a+4≤﹣4，
所以a的范围为（﹣∞，﹣8]
故选：D．
底数
a>1
01；当x