第二章 第二节 函数的单调性及最值-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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第二节 函数的单调性与最值知识回顾  1．函数的单调性(1)单调函数的定义 增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[熟记常用结论]1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)f(x)与a·f(x)在a>0时具有相同的单调性，在a＜0时具有相反的单调性．(2)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．(3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数．2．复合函数的单调性对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．3．开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．课前检测1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________．①y＝；    ②y＝(x－1)2；③y＝2－x;     ④y＝log0.5(x＋1)．2．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．3．函数f (x)＝(－2x2＋x)的单调增区间是________；f (x)的值域是________．4．函数y＝f (x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________．5．设函数f (x)＝是单调函数．则a的取值范围是________；若f (x)的值域是R，则a＝________.课中讲解考点一.判断函数的单调性例1　(1)判断函数f(x)＝(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．(2)求函数y＝的单调区间．     变式1.(1)判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．(2)求函数y＝(x2－4x＋3)的单调区间．      变式2.函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)A.　　　　　　 B.和[2，＋∞)C．(－∞，1]和  D.和[2，＋∞)考点二.函数单调性的应用例1.已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)A．c>a>b　　　　　　 B．c>b>aC．a>c>b  D．b>a>c　变式1.(1)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是(　　)A．(－1,1)  B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)  D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)(2)定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为________．例2.　(1)已知f (x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)A．(0,1)   B.C.   D.(2)已知函数f (x)＝若f (x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．变式2.(1)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．(2)已知f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．例3．设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，1]  B．[1,4]C．[4，＋∞)  D．(－∞，1]∪[4，＋∞)变式3．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________．考点三.最值问题例1.（2020•安徽省肥东县）函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为______。 变式1.(1)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为________．(2)函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.例2.(1)已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为(　　)A.　　　　　　　　　 B.C.  D.(2)函数f(x)＝的最大值为________．课后练习一．单选题 1. (2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)A．(－∞，－2)   B．(－∞，1)C．(1，＋∞)   D．(4，＋∞)2．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是____________．3．函数y＝在[2,3]上的最大值是________．4．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．5．函数y＝的单调递减区间为________．6．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．7．函数f(x)＝的最大值为________．8.函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．9.(2017·郑州模拟)函数y＝的单调递增区间为(　　)A．(1，＋∞)   B.C.   D.10.函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　)A．[1,2]   B．[－1,0]C．(0,2]   D．[2，＋∞)11.函数 的单调递减区间为(　　)A．B．C．D． 12.【2019年河南周口项城市第三高级中学高一上学期期中考试数学试卷】下列函数中，在区间 上是增函数的是(　　)A．B．C．D．13.【2019年10月福建厦门福建省厦门双十中学高一上学期月考数学试卷】函数 的值域是(　　)A．B．C．D．14.【2019年浙江杭州西湖区绿城育华学校高一上学期期中考试】函数的单调递减区间为(　　) A．，B．，C．D．15.【2019年10月江苏南京鼓楼区南京市第二十九中学高一上学期月考数学试卷】若函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是(　　)A．B．C．D．二．多选题16．(多选)已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则(　　)A．πe<3e   B．3e－2π<3πe－2C．logπe<log3e   D．πlog3e>3logπe