专题25 乘法公式-2021-2022学年八年级数学上册专题考点专练（人教版）

专题03 乘法公式

知识点1 平方差公式的几何意义

例1如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是（　　）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2

C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab+b2

解题分析：利用正方形的面积公式可知剩下的面积＝a2﹣b2，而新形成的矩形是长为a+b，宽为a﹣b，根据两者相等，即可验证平方差公式．

A【解析】由题意得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．

【点评】此题主要考查平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式

练1把一个边长为a的大正方形，剪去一个边长为b的小正方形，即图1，然后再剪拼成一个新长方形如图2，由1到2的变形，可以得到等式:______________

知识点2 平方差公式的直接应用

例2 有下列各式：①（﹣2ab+5x）（5x+2ab）；②（ax﹣y）（﹣ax﹣y）；③（﹣ab﹣c）（ab﹣c）；④（m+n）（﹣m﹣n）．其中可以用平方差公式的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

解题分析：各式利用平方差公式判断即可．

B【解析】①（﹣2ab+5x）（5x+2ab）＝25x2﹣4a2b2，能；

②（ax﹣y）（﹣ax﹣y）＝y2﹣a2x2，能；

③（﹣ab﹣c）（ab﹣c）＝c2﹣a2b2，能；

④（m+n）（﹣m﹣n）＝﹣（m+n）2＝﹣m2﹣2mn﹣n2，不能，

故选：B．

【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

练2计算(x-y)(-y-x)的结果是(　　).

A．-x2-y2   B．-x2+y2   C．x2+y2    D．x2-y2

练3为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3ｍ，东西方向缩短3ｍ，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比(    )

A．增加6ｍ2  B．增加9ｍ2    C．减少9ｍ2 D．保持不变

练4下列计算正确的是()

A．(2x+3)(2x－3)=2x2－9 

B．(x+4)(x－4)=x2－4

C．(5+x)(x－6)=x2－30  

D．(－1+4b)(－1－4b)=1－16b2

练5计算（2+1）（22+1）（24+1）+（27﹣1）2＝　　．

知识点3 利用平方差公式简便运算

例3 计算20122﹣2011×2013的结果是（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

解题分析：原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．

A【解析】原式＝20122﹣（2012﹣1）×（2012+1）＝20122﹣20122+1＝1．故选：A．

【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

练6利用平方差公式计算20182-2019×2017的结果是（　　）

A．-1    B．1    C．-2      D．2

练7计算：(1)1 001×999；

(2)40×39.

知识点4完全平方公式的几何意义

例4 有三种不同类型的地砖长度如图所示，若现有A型正方形地砖10块，B型长方形6块，C型正方形1块，要拼成一个大正方形，则应多出1块　　型地砖；这样的地砖拼法表示了一个两数的平方的几何意义，用式子表示为　　．

A；（3m+n）2．

解题分析：分别计算出10块A的面积和6块B的面积、1块C的面积，再计算这三种类型的砖的总面积，用完全平方公式化简后，即可得出多了哪种类型的地砖．

解：10块A的面积为：10×m×m＝10m2；6块B的面积为：6×m×n＝6mn；

1块C的面积为1×n×n＝n2；那么这三种类型的砖的总面积应该是：10m2+6mn+n2＝9m2+6mn+n2+m2＝（3m+n）2+m2，因此，多出了一块A型地砖，这两个数的平方为（3m+n）2．

【点评】分别计算出10块A的面积和6块B的面积、1块C的面积，再计算这三种类型的砖的总面积，用完全平方公式化简后，即可得出多了哪种类型的地砖

知识点5 完全平方公式的直接应用.

例5 若4a2+ka+1是完全平方公式，则k＝　　．

解题分析：根据完全平方公式得出ka＝±2•2a•1，再求出即可．

±4【解析】∵4a2+ka+1是完全平方公式，

∴4a2+ka+1＝（2a）2+ka+12，

∴ka＝±2•2a•1，解得：k＝±4，故答案为：±4．

【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键，注意：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．

练8计算(-a-b)2等于(　　).

A．a2+b2                B．a2-b2

C．a2+2ab+b2            D．a2-2ab+b2

知识点6完全平方公式的变形计算

例6已知x+y＝4，xy＝2．

试求（1）x2+y2（2）（x﹣y）2+2x+2y

解题分析：（1）根据完全平方公式变形后把已知条件代入即可求解；

（2）根据完全平方公式差与完全平方和之间的关系即可求解．

解：∵x+y＝4，xy＝2，∴（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣4＝12；

（2）∵x+y＝4，xy＝2，∴（x﹣y）2+2x+2y＝（x+y）2﹣4xy+2（x+y）

＝42﹣4×2+2×4＝16﹣8+8＝16．

点评：做这一类型题，要牢记完全平方公式的常见变形：

(a－b)2＝a2－2ab＋b2,

①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab

②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2

③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab

④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab　　

练9若m+n＝7，mn＝12，则m2﹣mn+n2的值是（　　）

A．11 B．13 C．37 D．61

练10已知（m﹣n）2＝40，（m+n）2＝4000，则m2+n2的值为　　．

练11 已知（x+y）2＝18，（x﹣y）2＝6，分别求下列代数式的值：（1）x2+y2；（2）x2+3xy+y2；（3）x4+y4．

知识点7利用完全平方公式简便运算

例7  用简便方法计算的结果是　　．

解题分析：先把4016写成的形式，再根据完全平方式整理计算即可．

1【解析】，

，

，

．

【点评】本题考查了完全平方公式，运用公式可以简化运算，但一定要熟记完全平方公式的结构特征．

练121012+992=（    ）

A. 2002    B. 2×1002   

C. 2×1002+1      D. 2×1002+2

练13由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，用这一方法计算：1.23452＋2.469×0.7655＋0.76552＝________．

练14 运用完全平方公式计算：

(1)2012；

(2)99.82.

知识点8 添括号法则

例8　　　　

解题分析：根据添括号法则即可得出答案

解：故答案为：；；

【点拨】如果括号前面是正号，扩到括号里的各项不变号，如果括号前面是负号，扩到括号里的各项都变号.

练15不改变多项式a2－(2a＋b＋c)的值，把它括号前面的符号变为相反的符号应为(　　)

A．a2＋(－2a＋b＋c)  B．a2＋(－2a－b－c)

C．a2＋(－2a)＋b＋c  D．a2－(－2a－b－c)

练16－4bc+1=3ab－(  )，括号中所填入的整式应是 ()

A．－4bc+1   B．4bc+1   C．4bc－1   D．－4bc－1

练17对于多项式3x3－2x2+4x－5，添括号正确的是 ( )

A．3x3－(2x2+4x－5)   B．(3x3+4x)－(2x2+5)

C．(3x3－5)+(－2x2－4x)   D．2x2+(3x3+4x－5)

练18如果x=1时，代数式2ax3+3bx+4的值是5，那么当x=－1时， 求代数式2ax3+3bx+4的值．

知识点9 添括号法则在乘法公式中的应用

例9运用乘法公式计算：

(1)(a＋b－c)2；(2)(3a＋b－2)(3a－b＋2)．

解题分析：根据所给式子的特点，对其进行合理变形运用乘法公式进行计算

（1）解：原式＝a2＋2a(b－c)＋(b－c)2

＝a2＋2ab－2ac＋b2－2bc＋c2.

（2）解：原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]

＝(3a)2－(b－2)2

＝9a2－b2＋4b－4.

【点拨】(1)一个三项式的平方，通过添括号把其中两项看成一个整体，可利用完全平方公式．(2)当两个三项式相乘，且它们只含相同项与相反项时，通过添括号把相同项、相反项分别结合，一个化为“和”的形式，一个化为“差”的形式，可利用平方差公式．

练19运用乘法公式计算：

(1)(x＋y－z)(x＋y＋z)；

(2)(a－b＋c)2；

(3)(3a＋b－2)(3a－b＋2)．

乘法公式参考答案

练1解：图1阴影的面积为a2﹣b2，图2拼成的长方形的面积为（a+b）（a﹣b），由图1剪拼成一个新长方形图2，它们的面积相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：（a+b）（a﹣b）．

练2B练3C练4D练5　214　．练6B

练7解：(1)原式＝(1 000＋1)×(1 000－1)＝1 0002－12＝999 999.

(2)解：原式＝(40＋)(40－)＝402－()2＝1 600－

练8C　 练9B练102020　．

练11解：（1）∵（x+y）2＝18，（x﹣y）2＝6∴x2+y2+2xy＝18，x2+y2﹣2xy＝6，∴x2+y2＝12，xy＝3，则原式＝12；（2）原式＝12+3×3＝21；（3）原式＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝122﹣2×32＝126．

练12D练134练14 (1)解：原式＝(200＋1)2＝2002＋2×200×1＋12＝40 000＋400＋1＝40 401.

(2)解：原式＝(100－0.2)2＝1002－2×100×0.2＋0.22＝10 000－40＋0.04＝9 960.04.

练15B练16C练17B

练18解：当x=1时，2ax3+3bx+4=2a+3b+4=5，所以2a+3b=1.当x=－1时，2ax3+3bx+4=－2a－3b+4=－(2a+3b)+4=4－1=3．

练19运用乘法公式计算：

(1)解：原式＝(x＋y)2－z2＝x2＋2xy＋y2－z2.(2)解：原式＝[a－(b－c)2]＝a2－2a(b－c)＋(b－c)2＝a2－2ab＋2ac＋b2－2bc＋c2.(3)解：原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]＝(3a)2－(b－2)2＝9a2－b2＋4b－4.