2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习13《任意角和弧度制及任意角的三角函数》(含详解)

这是一份2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习13《任意角和弧度制及任意角的三角函数》(含详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
若sinx=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，则csxcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))=( )
A.eq \f(2,5) B.－eq \f(2,5) C.eq \f(2,3) D.－eq \f(2,3)
已知角α=2kπ－eq \f(π,5)(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y=eq \f(sin θ,|sin θ|)＋eq \f(cs θ,|cs θ|)＋eq \f(tan θ,|tan θ|)的值为( )
A.1 B.－1 C.3 D.－3
设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且csα=eq \f(1,5)x，则tanα=( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C.－eq \f(3,4) D.－eq \f(4,3)
已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )
A.若α，β是第一象限的角，则cs α>cs β
B.若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β
C.若α，β是第三象限的角，则cs α>cs β
D.若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β
设α是第二象限角，点P(x,4)为其终边上的一点，且cs α=eq \f(1,5)x，则tan α=( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C.－eq \f(3,4) D.－eq \f(4,3)
若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C.eq \r(3) D.2
已知曲线f(x)=eq \f(2,3)x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则eq \f(sin2α－cs2α,2sin αcs α＋cs2α)=( )
A.eq \f(1,2) B.2 C.eq \f(3,5) D.－eq \f(3,8)
已知x∈(- eq \f(π,2),0)，cs x=eq \f(4,5)，则tan x的值为( )
A.eq \f(3,4) B.－eq \f(3,4) C.eq \f(4,3) D.－eq \f(4,3)
已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为eq \r(2)，若α=eq \f(π,4)，则点P的坐标为( )
A.(1，eq \r(2)) B.(eq \r(2)，1) C.(eq \r(2)，eq \r(2)) D.(1,1)
已知△ABC为锐角三角形，且A为最小角，则点P(sin A－cs B,3cs A－1)位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
已知A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°，交单位圆于点B(xB，yB)，则xA－yB的取值范围是( )
A.[－2,2] B.[－eq \r(2)，eq \r(2)] C.[－1,1] D.[-eq \f(1,2),eq \f(1,2)]
二、填空题
在直角坐标系中，O是原点，点A坐标为(eq \r(3)，－1)，将OA绕O逆时针旋转450°到点B，则点B的坐标为________.
已知sinα＋csα=－eq \f(1,5)，且eq \f(π,2)<α<π，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是 ，最大负角是 .
在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边经过点P(x,1)(x≥1)，则csθ＋sinθ的取值范围是 .
《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积=eq \f(1,2)×(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为eq \f(2π,3)，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是 平方米.(结果保留整数，eq \r(3)≈1.73)
现有如下命题：
①若点P(a，2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sin α=eq \f(2\r(5),5)；
②同时满足sin α=eq \f(1,2)，cs α=eq \f(\r(3),2)的角有且仅有一个；
③设tan α=eq \f(1,2)且π＜α＜eq \f(3π,2)，则sin α=－eq \f(\r(5),5)；
④设cs(sin θ)·tan(cs θ)＞0(θ为象限角)，则θ在第一象限.
则其中正确的命题是________.(将正确命题的序号填在横线上)
\s 0 答案解析
答案为：C；
解析：设扇形的中心角的弧度数为θ，半径为R，由题意，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(θR＝6，,\f(1,2)θR2＝6，))所以θ=3，即该扇形中心角的弧度数是3.故选C.
答案为：B.
解析：由sinx=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，得sinx=2csx，即tanx=2，
则csxcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))=－csxsinx=－eq \f(sinxcsx,sin2x＋cs2x)=－eq \f(tanx,1＋tan2x)=－eq \f(2,1＋4)=－eq \f(2,5).故选B.
答案为：B
解析：由α=2kπ－eq \f(π,5)(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限.
又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，
所以sin θ＜0，cs θ＞0，tan θ＜0.所以y=－1＋1－1=－1.
答案为：D.
解析：因为α是第二象限角，所以csα=eq \f(1,5)x<0，即x<0.
又csα=eq \f(1,5)x=eq \f(x,\r(x2＋16))，解得x=－3，所以tanα=eq \f(4,x)=－eq \f(4,3).
答案为：D；
解析：作出α，β的图象如图，由三角函数线可知选D.
答案为：D
解析：因为α是第二象限角，所以cs α=eq \f(1,5)x＜0，即x＜0.又cs α=eq \f(1,5)x=eq \f(x,x2＋16).
解得x=－3，所以tan α=eq \f(4,x)=－eq \f(4,3).
答案为：C
解析：设圆的半径为r，则其内接正三角形的边长为eq \r(3)r，所以eq \r(3)r=αr，所以α=eq \r(3).
答案为：C；
解析：由f′(x)=2x2，得tan α=f′(1)=2，
所以eq \f(sin2α－cs2α,2sin αcs α＋cs2α)=eq \f(tan2α－1,2tan α＋1)=eq \f(3,5).故选C.
答案为：B；
解析：因为x∈(- eq \f(π,2),0)，所以sin x=－eq \r(1－cs2x)=－eq \f(3,5)，所以tan x=eq \f(sin x,cs x)=－eq \f(3,4).故选B.
答案为：D；
解析：设P(x，y)，则sinα=eq \f(y,\r(2))=sineq \f(π,4)，∴y=1.
又csα=eq \f(x,\r(2))=cseq \f(π,4)，∴x=1，∴P(1,1).
答案为：A
解析：因为A为△ABC的最小角，所以A＜eq \f(π,3)，则eq \f(1,2)＜cs A＜1,3cs A－1＞eq \f(1,2)＞0.
因为△ABC为锐角三角形，所以A＋B＞eq \f(π,2)，即A＞eq \f(π,2)－B，
所以sin A＞sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))=cs B，即sin A－cs B＞0，所以点P位于第一象限.
答案为：C.
解析：设x轴正方向逆时针到射线OA的角为α，
根据三角函数的定义得xA=csα，yB=sin(α＋30°)，
所以xA－yB=csα－sin(α＋30°)=－eq \f(\r(3),2)sinα＋eq \f(1,2)csα=sin(α＋150°)∈[－1,1].
答案为：(1，eq \r(3))
解析：设点B的坐标为(x，y)，由题意知|OA|=|OB|=2，∠BOx=60°，
且点B在第一象限，∴x=2cs 60°=1，y=2sin 60°=eq \r(3)，
∴点B的坐标为(1，eq \r(3)).
答案为：eq \f(35,12).
解析：由sinα＋csα=－eq \f(1,5)平方得sinαcsα=－eq \f(12,25)，
∵eq \f(π,2)<α<π，∴sinα－csα=eq \r(sinα＋csα2－4sinαcsα)=eq \f(7,5)，
∴eq \f(1,sinπ－α)＋eq \f(1,csπ－α)=eq \f(1,sinα)－eq \f(1,csα)=eq \f(csα－sinα,sinαcsα)=eq \f(35,12).
答案为：143°，－217°.
解析：因为－2 017°=－6×360°＋143°，
所以－2 017°角的终边与143°角的终边相同.所以－2 017°角是第二象限角，
与－2 017°角终边相同的最小正角是143°.又143°－360°=－217°，
故与－2 017°角终边相同的最大负角是－217°.
答案为：(1，eq \r(2) ]；
解析：角θ的终边经过点P(x,1)(x≥1)，
∴r=eq \r(x2＋1)，csθ=eq \f(x,r)=eq \f(x,\r(x2＋1))，sinθ=eq \f(y,r)=eq \f(1,\r(x2＋1))，
∴csθ＋sinθ=eq \f(x,\r(x2＋1))＋eq \f(1,\r(x2＋1))=eq \f(x＋1,\r(x2＋1))=eq \r(\f(x＋12,x2＋1))=eq \r(\f(x2＋2x＋1,x2＋1))
=eq \r(1＋\f(2x,x2＋1))=eq \r(1＋\f(2,x＋\f(1,x))).
∵x＋eq \f(1,x)≥2，当且仅当x=1时取等号，∴1＜csθ＋sinθ≤eq \r(2).
故csθ＋sinθ的取值范围是(1，eq \r(2) ].
答案为：20；
解析：如图，由题意可得∠AOB=eq \f(2π,3)，OA=6，
所以在Rt△AOD中，∠AOD=eq \f(π,3)，∠DAO=eq \f(π,6)，OD=eq \f(1,2)AO=eq \f(1,2)×6=3，可得CD=6－3=3.
由AD=AO·sineq \f(π,3)=6×eq \f(\r(3),2)=3eq \r(3)，可得AB=2AD=2×3eq \r(3)=6eq \r(3).
所以弧田面积S=eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)=eq \f(1,2)×(6eq \r(3)×3＋32)=9eq \r(3)＋4.5≈20(平方米).
答案为：③
解析：①中，当α在第三象限时，sin α=－eq \f(2\r(5),5)，故①错误；
②中，同时满足sin α=eq \f(1,2)，cs α=eq \f(\r(3),2)的角为α=2kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)，有无数个，故②错误；③正确；④θ可能在第一象限或第四象限，故④错误.综上选③.