2020-2021学年山东省青岛市高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年山东省青岛市高一上学期期末数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省青岛市高一上学期期末数学试题  一、单选题1．集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为，所以，又所以故选：B2．命题“”的否定为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得.【详解】根据全称命题的否定为特称命题，则命题“”的否定为“”.故选：A.3．若角的终边经过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据任意角的三角函数的定义计算可得；【详解】解：角的终边经过点，所以故选：C4．函数的最小正周期为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简可得，即可求出周期.【详解】.的最小正周期为.故选：C.5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用诱导公式结合正弦函数单调性可判断，再由可得.【详解】，，，，，.故选：C.6．已知函数，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先设，求得，再计算，结合，即求得.【详解】函数中，定义域为，设，则，故，故.由知，，故，而，故.故选：D.【点睛】方法点睛：函数，是常数，是奇函数，此类函数已知的值，求的值，通常利用奇函数定义整理利用计算的值，再计算即可.7．基本再生数与世代间隔T是流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的3倍需要的时间约为（    ）(参考数据：)A．2天 B．3天 C．4天 D．5天【答案】D【分析】根据已知数据先求出，可得，则由解出即可.【详解】，，即，解得，，则，解得，则，故累计感染病例数增加至的3倍需要的时间约为5天.故选：D.8．已知函数，若方程有4个不相同的解，则实数m的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】在一个坐标系内分别作出和的图像,观察二者有4个交点时m的范围．【详解】
 在一个坐标系内分别作出和的图像如上图示:要使方程有4个不相同的解，只需和的图像有4个交点，所以0<m≤1．故选:A．【点睛】分离参数法求零点个数的问题是转化为，分别作出和的图像，观察交点的个数即为零点的个数． 二、多选题9．下列命题为真命题的是（    ）A．若，则 B．若，则C． D．是的充分不必要条件【答案】BCD【分析】利用作差法比较大小判断AB的正误，利用基本不等式判断C的正误，利用充分条件和必要条件的定义判断D的正误即可.【详解】选项A中，若，则，其中分子，分母不确定符号，故大小不确定，A错误；选项B中，若，则由，得；由，得；故，B正确；选项C中，由根式有意义可知，，即，当或时，，当时，利用基本不等式得成立，当且仅当即时等号成立，故成立，C正确；选项D中，若，则，则，可推出；反过来，推不出，故可能没意义，推不出，故是的充分不必要条件，D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：不等式比较大小的方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）利用基本不等式进行比较；（4）构造函数，利用函数单调性进行比较.10．下列函数既是奇函数又是增函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用幂函数的性质判断A；利用正切函数的单调性判断B；利用指数函数的性质判断C； 利用单调性的定义判断D.【详解】由幂函数的性质可知定义域为，且在上递增，，所以是奇函数又是增函数，A符合题意；在区间上递增，但不能说是增函数，例如，而，B不符合题意；与在上都递增，所以在上递增，又定义域为，，故为奇函数，即是奇函数又是增函数，C符合题意；因为，所以，而，故不是增函数，D不合题意.故选：AC.【点睛】方法点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断与是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (奇函数)或 (偶函数)是否成立.11．已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（    ）A． B．C．函数为偶函数 D．【答案】AD【分析】先利用图象得到，，求得，再结合时取得最大值求得，得到解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可.【详解】由图象可知，，，即,，由时，，得，即，而，故，故，A正确；，故B错误；由知，不是恒成立，故函数不是偶函数，故C错误；由时，，故是的对称中心，故，故D正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：三角函数模型求解析式时，先通过图象看最值求A，b，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求，最后利用五点特殊点求初相即可.12．已知定义在R上的函数同时满足下列三个条件：①是奇函数；②；③当，时，；则下列结论正确的是（    ）A．的最小正周期 B．在上单调递增C．的图象关于直线对称 D．当时，【答案】ABD【分析】先根据奇函数性质得到，，再利用周期性定义判断A的正误，结合题意，利用奇函数的对称性研究函数的单调性、对称轴和对称中心即可.【详解】定义在R上的函数是奇函数，则，.选项A中，，将代换x，则，即，故的最小正周期，正确；选项B中，结合知，当时，，易见在上单调递增，又由函数是奇函数，图象关于原点中心对称可知，在上也是单调递增，即在上单调递增，B正确；选项C中，，则将代入得，即是函数的对称轴，又在上单调递增，，故函数的对称轴为，故不是对称轴，故C错误；选项D中，是奇函数，对称轴为，，可知，对称中心为，，即当时，，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题的解题关键在于熟练掌握奇函数的性质，才能突破函数的单调性和对称性.  三、填空题13．已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的半径为___________.【答案】3【分析】根据弧长公式，把相应的值代入即可求出结果．【详解】因为，由弧长公式知，这条弧所在圆的半径，故答案为：3．14．已知为第二象限角，，则___________.【答案】【分析】先利用诱导公式化简求得，再结合角所在的象限，利用同角三角函数的平方关系求余弦即可.【详解】依题意可得，，即，解得，又为第二象限角，，则，.故答案为：.15．计算：___________.【答案】【分析】直接利用对数的运算性质求解即可.【详解】，故答案为：. 四、双空题16．某种物资实行阶梯价格制度，具体见下表：阶梯年用量(千克)价格(元/千克)第一阶梯不超过10的部分6第二阶梯超过10而不超过20的部分8第三阶梯超过20的部分10则一户居民使用该物资的年花费y(元)关于年用量x(千克)的函数关系式为___________；若某户居民使用该物资的年花费为100(元)，则该户居民的年用量为___________千克.【答案】    15    【分析】分段讨论根据阶梯价格制度即可求出，将代入可求该户居民的年用量.【详解】由表可得，当时，，当时，，当时，，，若某户居民使用该物资的年花费为100(元)，可得该户居民的年用量在内，则，解得，则该户居民的年用量为15千克.故答案为：；15. 五、解答题17．从“①；②方程有两个实数根，；③”三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.已知函数为二次函数，，，___________.（1）求函数的解析式；（2）若不等式对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.【分析】（1）设，若选择①，利用， ， 求出的值即可；若选择②，利用， ， 结合韦达定理求出的值即可；若选择③，利用， ， 结合对称轴为求出的值即可；（2），等价于对一切实数恒成立，利用可得答案.【详解】（1）若选择①：设因为，所以因为，所以（i）因为，所以图象的对称轴为所以（ii）由（i）（ii）解得，，所以若选择②：设因为，所以因为，所以（i）因为方程有两个实数根满足所以由韦达定理得：（ii）由（i）（ii）解得，，所以若选择③：设因为，所以因为，所以（i）因为，所以，图象的对称轴为所以（ii）由（i）（ii）解得，，所以（2）因为三种不同的选择都能得到函数解析式，所以，即对一切实数恒成立，等价于对一切实数恒成立，则的图象恒在轴上方，或在轴上，所以无实根或有两个相等的根，所以，故所求实数k的范围为【点睛】方法点睛：求二次函数的解析式往往利用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式时，主要利用以下几个条件列方程求解：1、特殊点；2、对称轴；3、函数的最值.18．2006年某市某地段商业用地价格为每亩60万元，由于土地价格持续上涨，到2018年已经上涨到每亩120万元.现给出两种地价增长方式，其中是按直线上升的地价，是按对数增长的地价，t是2006年以来经过的年数，2006年对应的t值为0.（1）求，的解析式；（2）2018年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2022年的地价相对于2018年上涨幅度控制在的10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型.(参考数据：)【答案】（1），；（2）选择模型.【分析】（1）利用，代入解析式求得，利用，，代入解析式求得即可；（2）到2022年时，时分别计算和，再计算其对应的增长率，与10%比较进行判断即可.【详解】解：（1）由题知：，所以解得：所以；又，所以解得：所以；（2）若按照模型，到2022年时，，直线上升的增长率为，不符合要求；若按照模型，到2022年时，，，对数增长的增长率为，符合要求；综上分析，应该选择模型.19．已知函数，函数为奇函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象向右平移个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，证明：当时，.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据为奇函数可得，则，再由可得答案；（2）根据三角函数图象的变换规律可得，由，求出，进而可得结论.【详解】（1）由题意知：为奇函数所以，因为，所以，所以由，解得：，所以的单调递增区间为；（2）由题知：将的图象向右平移个单位得，即,再将图象上各点的横坐标缩小到原来的倍，得，因为，所以，因此，则且，所以【点睛】方法点睛：函数的单调区间的求法：,把看作是一个整体，由求得函数的减区间；求得增区间.20．已知函数.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）若恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）是偶函数，理由见解析；（3）.【分析】（1）根据对数的真数大于零可得，且，解不等式可得答案；（2）证明，根据奇偶性的定义可得答案；（3）利用对数的运算性质化简，然后得到，进而可得实数m的取值范围为.【详解】（1）由题意知：且解得：所以的定义域为，（2）因为，，且所以是偶函数（3）因为所以因为(当且仅当时等号成立)所以，因为恒成立，所以实数m的取值范围为.【点睛】方法点睛：判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为奇函数)；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， （ 为偶函数， 为奇函数） .21．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为.（1）求的值；（2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？（3）某时刻(单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过分钟后，盛水筒W是否在水中？【答案】（1）；（2）分钟；（3）再经过分钟后盛水筒不在水中.【分析】（1）先结合题设条件得到，，求得，再利用初始值计算初相即可；（2）根据盛水筒达到最高点时，代入计算t值，再根据，得到最少时间即可；（3）先计算时，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求，再由分钟后，进而计算d值并判断正负，即得结果.【详解】解：（1）由题意知，，即，所以，由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米，可得：，当时，，代入得，，因为，所以；（2）由（1）知：，盛水筒达到最高点时，，当时，，所以，所以，解得，因为，所以，当时，，所以盛水筒出水后至少经过分钟就可达到最高点；（3）由题知：，即，由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知，所以， 所以，所以，再经过分钟后，所以再经过分钟后盛水筒不在水中.【点睛】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.22．若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为，的定义域为，存在非空区间，满足：，均有，则称区间A为和的“区间”（1）写出和在上的一个“区间”(无需证明)；（2）若，是和的“区间”，证明：不是偶函数；（3）若，且在区间上单调递增，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点.【答案】（1）(答案不唯一)；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）判断和在上的符号，结合“区间”的定义可得答案；（2）根据当时，当时，结合奇偶性的定义可得答案；（3）先证明存在唯一，使得，可得当时， 且存在使得；当时，且存在使得，从而可得结论.【详解】（1）及其非空子集均可（2）由题知：当时，，所以当时，，所以因为在任意区间上不恒为0，所以存在，使得又因为，所以所以不是偶函数（3）当时，当时，因为，由已知，在区间上单调递增，所以存在唯一，使得且当时，；当时，；当时，，所以且存在使得；当时，，所以且存在使得；所以存在，使得所以，在区间上存在零点【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.