初中数学华师大版七年级下册第6章 一元一次方程6.3 实践与探索教案设计

6．3　实践与探索

第1课时　实践与探索(一)

教学目标

一、基本目标

1．进一步熟悉一元一次方程的解法，会用一元一次方程解决有关面积与体积的实际问题．

2．通过解决面积与体积问题的过程，让学生初步体会数形结合思想的作用．

二、重难点目标

【教学重点】

进一步熟练运用一元一次方程解决实际问题．

【教学难点】

回顾面积与体积的有关等量关系，会解决有关面积与体积的实际问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P16的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．几何图形中常用的公式．

(1)常用的体积公式：

长方体的体积＝长×宽×高；

正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；

圆柱的体积＝底面积×高；

圆锥的体积＝×底面积×高.

(2)常用的面积、周长公式：

长方形的面积＝长×宽；

长方形的周长＝2×(长＋宽)；

正方形的面积＝边长×边长；

正方形的周长＝边长×4；

三角形的面积＝×底×高；

平行四边形的面积＝底×高；

梯形的面积＝×(上底＋下底)×高；

圆的面积＝π×半径的平方；

圆的周长＝2×π×半径.

2．用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形．

(1)如果长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽；

(2)如果长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积；

(3)比较(1)、(2)所得的两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗？

解：(1)长18厘米，宽12厘米．　(2)长17厘米，宽13厘米．　(3)能，当围成正方形时，面积最大．

教师点拨：(1)设长方形的长为x厘米，则宽为(30－x)厘米．可列方程30－x＝x.

(2)设长方形的长为x厘米，则宽为(x－4)厘米．可列方程2(x－4＋x)＝60.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】有一梯形和长方形，如图，梯形的上、下底边的长分别为6 cm,2 cm，高和长方形的宽都等于3 cm，如果梯形和长方形的面积相等，那么图中所标x的长度是多少？

【互动探索】(引发学生思考)本题的等量关系：长方形的面积＝梯形的面积．

【解答】由题意，得(6－x)×3＝，

解得x＝2.

即x的长度为2 cm.

【互动总结】(学生总结，老师点评)图形面积之间相等关系常作为列方程的依据．

【例2】有A、B两个圆柱形容器，如图，A容器内的底面积是B容器内的底面积的2倍，A容器内的水高为10 cm，B容器是空的，B容器的内壁高度为22 cm.若把A容器内的水倒入B容器，水会不会溢出？

【互动探索】(引发学生思考)A容器内的水倒入B容器后，如果水高不大于B容器的内壁的高度，水就不会溢出，否则，水就会溢出．因此只要求出A容器内的水倒入B容器后的水高即可判断出水会不会溢出．

【解答】设A容器内的水倒入B容器后的高度为xcm.

根据题意，得2×10＝1×x，

解得x＝20.

因为20<22，即B容器内的水高度不大于B容器的内壁的高度，所以水不会溢出．

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题有如下的数量关系：A容器内的底面积＝B容器内的底面积的2倍；倒前水的体积＝倒后水的体积．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴40根．

2．要锻造一个半径为5 cm，高为36 cm的圆柱形毛坯，应截取半径为10 cm的圆钢9cm.

3．将一个底面半径为6 cm，高为40 cm的“瘦长”的圆柱形钢材压成底面半径为12 cm的“矮胖”的圆柱形零件，则它的高变成了10cm.

4．如图是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成．设中间最小的一个正方形边长为1，求这个矩形色块图的面积．

解：设右下角两个相等正方形的边长为x，则顺时针方向的其余三个正方形的边长依次为x＋1、x＋2、x＋3.根据长方形的对边相等，可得x＋x＋(x＋1)＝(x＋2)＋(x＋3)，解得x＝4.所以(x＋2)＋(x＋3)＝13，(x＋2)＋(x＋1)＝11，则长方形的面积为13×11＝143.

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

用一元一次方程解决有关面积与体积的实际问题的关键是掌握面积与体积的公式．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时　实践与探索(二)

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解和、差、倍、分问题的关系，会解决实际问题中的和、差、倍、分问题．

2．理解商品销售中所涉及的进价、原价、售价、利润、打折数、利润率这些基本量的关系．

二、重难点目标

【教学重点】

掌握用方程解决和、差、倍、分问题、销售利润问题的方法．

【教学难点】

根据问题背景，建立适当的数学模型．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P17的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

销售问题中的几个等量关系：

(1)标价＝进价×(1＋利润率)；

(2)利润与售价、进价的关系：利润＝售价－进价；

(3)利润率与利润、进价的关系：利润率＝×100%＝×100%；

(4)标价、实际售价与打折数的关系：实际售价＝标价×打折数；

(5)实际售价与进价、利润之间的关系：利润＝实际售价－进价＝标价×打折数－进价．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】新学年开始，某校三个年级为地震灾区捐款．经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，已知九年级捐款1964元，求其他两个年级的捐款数．

【互动探索】(引发学生思考)本题中的等量关系：七年级捐款数＝全校三个年级捐款总数的；八年级捐款数＝全校三个年级捐款数的平均数；九年级的捐款数＝全校三个年级的捐款数－七年级的捐款数－八年级的捐款数．

【解答】(方法一)设全校三个年级的捐款数为x元．

根据题意，得x－x－1964＝.

解得x＝7365.

七年级捐款：7365×＝2946(元)

八年级捐款：7365－2946－1964＝2455(元)

故七、八年级的捐款数分别为2946元、2455元．

(方法二)设八年级的捐款数为x元．

根据题意，得3x－1964－x＝×3x.

解得x＝2455.

七年级捐款数：×3×2455＝2946(元)

故七、八年级的捐款数分别为2946元、2455元．

【互动总结】(学生总结，老师点评)和、差、倍、分问题的显著特点，就是在题目中能找到两个有关系的量，并且其中一个量能用另一个量的和、差、倍、分表示．当题目中有两个等量关系且其中一个等量关系比较简单时，一般以较为简单的等量关系转化未知数，以较为复杂的等量关系列方程．

【例2】某文具店出售每册120元和80元的两种纪念册，两种纪念册售后都有售价30%的利润，但每册120元的销售情况不佳．某人共有1080元钱，欲买一定数量的某一种纪念册，若买每册120元的钱不够，但该店予以优惠，如数付给他，满足了他的要求，结果文具店获利和卖出同数量的每册80元的纪念册获得一样多，问此人共买纪念册多少册？

【互动探索】(引发学生思考)由于利润＝售价－进价，而这些纪念册售价即为1080元，进价为原售价的(1－30%)，即每册进价为120(1－30%)元，利润与每册80元的获利一样多，由相等关系可列方程．

【解答】设共买纪念册x册．

根据题意，得1080－120(1－30%)x＝80×30%x.

解得x＝10.

即此人共买纪念册10册．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是找出等量关系，列方程解答．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．五一期间，某区一中、二中组织100名优秀教师去某景区旅游(其中一中教师多于二中教师)，景区门票价格规定如下表：

若两校都以校为单位一次性购票，则两校一共需付4725元，求两校各有多少名优秀教师参加这次旅游．若两校联合起来，作为一个团体购票，能节约多少钱？

解：设一中有x名优秀教师参加旅游，则二中有(100－x)名优秀教师参加旅游．由题意，得45x＋50(100－x)＝4725，解得x＝55，则100－x＝45，即一中、二中分别有55名、45名优秀教师参加这次旅游．故若两校联合起来，作为一个团体购票，能节约4725－40×100＝725(元)．

2．某足球协会举办了一次足球赛，其计分规则及奖励方案(每人)如下表：

当比赛进行到每队各比赛12场时，A队(11名队员)共积分20分，并且没有负一场．

(1)试判断A队胜、平各几场；

(2)若每赛1场每名队员均得出场费500元，那么A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是多少元？

解：(1)设A队胜了x场，则平了(12－x)场．根据题意，得3x＋1×(12－x)＝20，解得x＝4，所以12－x＝12－4＝8.即A队胜了4场，平了8场．

(2)500×12＋1500×4＋700×8＝17600(元)．即A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是17600元．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】七(1)班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，而且定价也都相同．乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球若干盒(不小于5盒)．

(1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠方案付款一样？

(2)当分别购买15盒、30盒乒乓球时，去哪家商店购买较合算？为什么？

【互动探索】(1)设该班购买乒乓球x盒，根据付款一样列方程求解．

(2)根据各商店优惠方案分别计算出所需款数，再确定去哪家商店购买合算．

【解答】(1)设购买x盒乒乓球时，两种优惠方案付款一样．

根据题意，得30×5＋(x－5)×5＝(30×5＋5x)×0.9.

解得x＝20.

即购买20盒乒乓球时，两种优惠方案付款一样．

(2)当购买15盒时，甲店需付款30×5＋(15－5)×5＝200(元)，

乙店需付款(30×5＋15×5)×0.9＝202.5(元)．

因为200＜202.5，

所以购买15盒乒乓球时，去甲店购买较合算．

当购买30盒时，甲店需付款30×5＋(30－5)×5＝275(元)，

乙店需付款(30×5＋30×5)×0.9＝270(元)．

因为275＞270，

所以购买30盒乒乓球时，去乙店购买较合算．

【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查的是一元一次方程的应用，解决本题的关键是理解两家商店的优惠方案，并分别用代数式表示甲、乙店购买的费用．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1．销售中的盈亏问题，要掌握以下关系式：(1)利润＝售价－进价；(2)利润率＝×100%；(3)售价＝进价×(1＋利润率)；(4)打几折就是按原价的百分之几十销售．

2．用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第3课时　实践与探索(三)

教学目标

一、基本目标

1．进一步熟悉一元一次方程的解法．

2．会用一元一次方程解决工程、行程及其他问题．

3．让学生在活动中获得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学好数学的信心．

二、重难点目标

【教学重点】

工程、行程问题中的等量关系．

【教学难点】

将实际问题抽象为数学问题，列方程解应用题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P19的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．工程问题：弄清工作量、工作时间、工作效率之间的关系．工作量一般看作“1”处理，等量关系：工作总量＝工作效率×工作时间，各部分的工作量总和等于1.

2．行程问题：路程＝速度×时间.

相遇问题的等量关系：甲的路程＋乙的路程＝总路程.

追击问题的等量关系：甲的路程－乙的路程＝追击的距离(甲的速度比乙的速度快)．

3．配套问题：若m件A产品与n件B产品配套，其等量关系是“A产品的数量×n＝B产品的数量×m”．

4．一条环形跑道长400米．甲练习骑自行车，平均每分钟行驶550米；乙练习长跑，平均每分钟跑250米．两人同时、同地、同向出发，经过多长时间，两人首次相遇？

解：设经过x分钟后，两人首次相遇．

根据题意，得550x－250x＝400，

解得x＝.

即经过分钟，两人首次相遇．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的圆形铁片和长方形铁片，该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．如图，一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套．生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套？

【互动探索】(引发学生思考)可设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为(42－x)人，根据“两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个圆桶”可列出关于x的方程，求解即可．

【解答】设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为(42－x)人．

根据题意，得120x＝2×80(42－x)，

解得x＝24，

则42－x＝18.

即生产圆形铁片的工人为24人，生产长方形铁片的工人为18人时，才能使生产的铁片恰好配套．

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

【例2】一段长为360 m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m，乙工程队每天整治16 m．求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道？

【互动探索】(引发学生思考)设甲队整治了x天，则乙队整治了(20－x)天．由两个工程队一共整治了360 m建立方程，求出其解即可．

【解答】设甲工程队整治了x天，则乙工程队整治了(20－x)天．

由题意，得

24x＋16(20－x)＝360.

解得x＝5.

∴乙工程队整治了20－5＝15(天)，

∴甲工程队整治的河道长为24×5＝120(m)；

乙工程队整治的河道长为16×15＝240(m)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是一道工程问题，考查了列一元一次方程解实际问题的运用，解答时设间接未知数是解答本题的关键．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作，x天完成这项工程，则可列的方程是 (　D　)

A.＋＝1　　 B.＋＝1

C.＋＝1　　 D.＋＋＝1

2．甲、乙两港相距80千米，一船往返于两港之间，且顺水航行时的速度为20千米/时，逆水航行时的速度为16千米/时，那么这只船的静水速度为 (　D　)

A．4千米/时　　 B．2千米/时

C．16千米/时　　 D．18千米/时

3．服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3 m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，仓库内存有这样的布料600 m，应分别用多少布料做上衣，多少布料做裤子才能恰好配套？

解：设做上衣的布料用x m，则做裤子的布料用(600－x)m.由题意，知×2＝×3.解得x＝360，∴600－x＝240.即用360 m做上衣，240 m做裤子．

4．一本稿件，甲打字员单独打20小时可以完成，甲、乙两打字员合打，12小时可以完成，现在由两人合打7小时，余下部分由乙完成，还需多少小时？

解：设还需x小时．由题意，得×7＋x＝1，解得x＝12.5.即还需12.5小时．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】整理一批图书，由1人做160小时完成，先由一些人做4小时，再增加5人做6小时，完成这项工作的，则先安排了多少人做4小时？(假设这些人的工作效率都相同)

【互动探索】首先设先安排了x人整理图书，题中等量关系：先安排的人4小时的工作量＋增加5人后6小时的工作量＝，根据等量关系列出方程，解答即可．

【解答】设先安排x人做4小时．

根据题意，得＋＝.

去分母、去括号，得4x＋6x＋30＝120.

移项、合并同类项，得10x＝90.

系数化为1，得x＝9.

即先安排了9人做4小时．

【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，表示出各部分的工作量，再根据“先做4小时完成的工作量＋增加5人后6小时完成的工作量＝工作总量×”列出方程．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1．工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间，各部分的工作量总和等于1.

2．行程问题：路程＝速度×时间．

练习设计

请完成本课时对应练习！