高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）学案设计，共9页。学案主要包含了素养目标，学法解读，对点练习等内容，欢迎下载使用。
3.4　函数的应用(一)
【素养目标】
1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等是现实生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(数学抽象)
2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(数学建模)
【学法解读】
1．学生应理解如何用函数描述客观事物的变化规律，体会函数与现实世界的联系．
2．会用已学过的一次函数、二次函数、幂函数、分段函数处理有关实际应用问题．

必备知识·探新知

基础知识
知识点1　一次函数模型
形如y＝kx＋b的函数为__一次函数模型__，其中k≠0.
知识点2　二次函数模型
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x＋)2＋(a≠0)．
(3)两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
知识点3　幂函数型模型
(1)解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)．
(2)单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．

基础自测
1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品日销量m(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)满足m＝120－2x.若要获得最大日销售利润，则每件商品的售价应定为(　B　)
A．30元　　　　　　 B．45元
C．54元 D．越高越好
[解析]　设日销售利润为y元，则y＝(x－30)(120－2x)，30≤x≤60，
将上式配方得y＝－2(x－45)2＋450，
所以当x＝45时，日销售利润最大．
2．A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地．
(1)试把汽车与A地的距离y(单位：千米)表示为时间x(单位：小时)的函数；
(2)根据(1)中的函数解析式，求出汽车距离A地100千米时x的值．
[解析]　(1)y＝
(2)当y＝100时，60x＝100或150－50(x－)＝100，解得x＝或x＝.即当x＝或x＝时汽车距离A地100千米．

关键能力·攻重难

题型探究
题型一　一次函数模型
例1 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份，其余10天每天只能卖出250份．若每天从报社买进报纸的数量相同，则每天应该从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？最大利润为多少元？
[分析]　设每天从报社买进报纸的数量为x份，若使每月所获得的利润最大，则250≤x≤400，每月所赚的钱数＝卖报收入的总价－付给报社的总价，而收入的总价分为三部分：①在可卖出的400份的20天里，收入为(0.5x×20)元；②在可卖出250份的10天里，在x份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为(0.5×250×10)元；③没有卖掉的[(x－250)×10]份报纸可退回报社，报社付的钱数为[(x－250)×0.08×10]元．注意要写清楚函数的定义域．
[解析]　设每天应从报社买进x份报纸，由题意知250≤x≤400，设每月所获得的利润为y元，根据题意得：
y＝0.5x×20＋0.5×250×10＋(x－250)×0.08×10－0.35x×30＝0.3x＋1 050，x∈[250,400]．
因为y＝0.3x＋1 050是定义域上的增函数，所以当x＝400时，ymax＝120＋1 050＝1 170(元)．
故每天应该从报社买进400份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大为1 170元．
[归纳提升]　建立一次函数模型，常设为y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法求出k，b的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解题．
【对点练习】❶ 一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是(　D　)
A．y＝2t　　　　　 B．y＝120t
C．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0)
[解析]　因为90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120 km/h，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是y＝120t(t≥0)．
题型二　二次函数模型
例2 A，B两城相距100 km，拟在两城之间距A城x km处建一发电站给A，B两城供电，为保证城市安全，发电站距城市的距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若每月向A城供电20亿度，每月向B城供电10亿度．
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成关于x的函数；
(3)发电站建在距A城多远处，能使供电总费用y最少？
[分析]　根据发电站与城市的距离不得少于10 km确定x的取值范围，然后根据正比例关系确定y关于x的函数解析式，最后利用配方法求得最小值．
[解析]　(1)x的取值范围为{x|10≤x≤90}．
(2)y＝0.25×x2×20＋0.25×(100－x)2×10＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．
(3)由于y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝(x－)2＋，则当x＝时，y取得最小值，ymin＝.
故发电站建在距A城km处，能使供电总费用y最小．
[归纳提升]　二次函数模型的应用
根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
【对点练习】❷ (2019·江苏省徐州市高一期中)某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位：万元)函数为：R(x)＝5x－x2(0≤x≤5)，其中x是年产量(单位：百台)．
(1)将利润表示为关于年产量的函数；
(2)年产量是多少时，企业所得利润最大？
[解析]　(1)依题意得，利润函数G(x)＝(5x－x2)－(0.5＋0.25x)＝－x2＋4.75x－0.5(0≤x≤5)．
(2)利润函数G(x)＝－x2＋4.75x－0.5(0≤x≤5)，当x＝4.75时，G(x)有最大值．故当年产量为4.75百台时，企业所得利润最大．
题型三　幂函数模型
例3 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？
[解析]　(1)设稳健型与风险型产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2(x≥0)，结合已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，
所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20－x)万元，
依题意得获得收益为y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)，
令t＝(0≤t≤2)，则x＝20－t2，
所以y＝＋＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2时，即x＝16时，y取得最大值，ymax＝3.
故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元．
[归纳提升]　幂函数模型有两个：y＝kxn(k，n是常数)，y＝a(1＋x)n(a，n是常数)，其中y＝a(1＋x)n也常常写作y＝N(1＋p)x(N，p为常数)，这是一个应用范围更广的函数模型，在复利计算、工农业产值、人口增长等方面都会用到该函数模型，我们平时用这两个函数模型时注意区分．
【对点练习】❸ 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s.求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量速率R的解析式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率．(结果保留整数)
[解析]　(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．
(2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400.
所以k＝，流量速率的解析式为R＝r4.
(3)因为R＝r4，
所以当r＝5 cm时，
R＝×54≈3 086(cm3/s)．
题型四　分段函数模型
例4 (2019·南京一中期中)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益(单位：元)函数为R(x)＝其中x是仪器的产量(单位：台)．
(1)将利润f(x)(单位：元)表示为产量x的函数(利润＝总收益－总成本)；
(2)当产量x为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
[分析]　(1)利润＝收益－成本，由已知分0≤x≤400和x>400两段求出利润函数的解析式；(2)分段求最大值，两者中大者为所求利润最大值．
[解析]　(1)当0≤x≤400时，f(x)＝400x－x2－100x－20 000＝－x2＋300x－20 000；
当x>400时，f(x)＝80 000－100x－20 000＝60 000－100x.
所以f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－x2＋300x－20 000＝－(x－300)2＋25 000，
当x＝300时，f(x)max＝25 000.
当x>400时，f(x)＝60 000－100x4时，
y＝4×3×2＋(5x－4)×4＋(3x－4)×4＝32x－8.
故y＝
(2)由于函数y＝f(x)在各段区间上均单调递增，
所以当x∈[0，]时，y≤f()＝19.2