初中数学18.2.2 菱形一课一练
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18.2.2菱形同步练习
人教版初中数学八年级下册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 边长为的菱形的周长是
A. B. C. D.
- 关于菱形的性质，以下说法不正确的是
A. 四条边相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形
- 用尺规在一个平行四边形内作菱形，如图所示的作法中错误的是
A. B.
C. D.
- 若菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积是
A. B. C. D.
- 下列条件中，能够判定一个四边形是菱形的是
A. 对角线互相垂直平分 B. 对角线互相平分且相等
C. 对角线相等且互相垂直 D. 对角线互相垂直
- 已知菱形的周长为，两邻角的度数比为：，则菱形的面积为
A. B. C. D.
- 如图，在菱形中，，，点、同时从、两点出发，分别沿、方向向点匀速移动到点停止，点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为
A. B. C. D.
- 如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，选项图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象是
A. B.
C. D.
- 如图，是的中线，四边形是平行四边形，增加下列条件，能判断是菱形的是
A. B. C. D.
- 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为
A.
B.
C.
D.
- 如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作于点，连接则四边形的周长为
A.
B.
C.
D.
- 如图，在边长为的菱形中，，为边上的高，将沿所在直线翻折得，与交于点，则的长度为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
- 如图，已知菱形的周长为，面积为，为的中点．若为对角线上一动点，则的最小值为 ．
- 如图，在菱形中，，点在上．若，则
- 如图所示，菱形的对角线、相交于点若，，，垂足为，则的长为______．
- 如下图，在菱形中，对角线、交于点，若，，则菱形的面积为 ．
- 如图，在菱形中，，，分别在边，上，，将沿折叠，点落在的延长线上的点处，则的度数为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
- 如图，将一张矩形纸片进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使与重合，得到折痕，展开；
第二步：再折叠一次，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到线段，，展开，如图；
第三步：再沿所在的直线折叠，点落在上的点处，得到折痕，同时得到线段，展开，如图．
求证：
；
四边形为菱形．
- 如图，在边长为的菱形中，，是上不同于，两点的一动点，是上一动点，且．
求证：无论，怎样移动，总是等边三角形
求面积的最小值．
- 如图，在四边形中，，，，，依次是，，，的中点．求证：四边形是菱形．
|
- 如图，菱形中，作，，分别交，的延长线于点，．
求证
若点恰好是的中点，，求的长．
- 如图，四边形是菱形，，，，在同一条直线上，．
求证：≌；
当时，求的度数．
- 如图，在四边形中，，平分，交于点．
求证：四边形是菱形
若是的中点，试判断的形状，并说明理由．
- 如图，在中，点，分别是，上的点，且，求证：四边形是菱形．
- 如图，▱的对角线，相交于点，过点作，分别交，于点，，连接，．
若，求的长
判断四边形的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：菱形的边长为
这个菱形的周长
故选：．
由菱形的四条边长相等可求解．
本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：菱形的四条边相等，正确，不符合题意，
B.菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，
C.菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，
D.菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，
故选：．
根据菱形的性质逐一推理分析即可选出正确答案．
本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的基本性质并能正确分析推理是解题的关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查作图复杂作图，菱形的判定，平行四边形的性质有关知识，根据菱形的判定和作图根据解答即可．
【解答】
解：由作图可知，，且平分，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确；
B.由作图可知，，即四边相等的四边形是菱形，正确；
C.由作图可知，，只能得出是平行四边形，错误；
D.由作图可知对角线平分对角，可以得出是菱形，正确；
故选C．
4.【答案】
【解析】菱形的面积为．
故选C．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是菱形的判定，根据菱形的判定定理依次判断即可．
【解答】
解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项正确；
B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项错误；
C.对角线相等且互相垂直，无法判断四边形是菱形，故选项错误；
D.对角线互相垂直，无法判断四边形是菱形，故选项错误；
故选A．
6.【答案】
【解析】解：如图，
两邻角度数之比为：，两邻角和为，
，，
菱形的周长为，
边长，
菱形的对角线，，
，
则，
菱形的面积．
故选：．
根据菱形的性质和菱形面积公式即可求出结果．
本题主要考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
7.【答案】
【解析】如下图，连接，四边形是菱形，，，是等边三角形，，
又是等边三角形，，
又，，，
在和中，
，，
，，
，
，故选C．
8.【答案】
【解析】解：如图，
当点在边上运动时，
的面积保持不变，
当点在边上运动时，
过点作于点，
所以
因为的长不变，
的长随着时间增大而减小，
所以的值随的增大而减小．
所以符合条件的图象为．
故选：．
根据点在边上运动时，的面积保持不变，当点在边上运动时，过点作于点，可得，根据的长不变，的长随着时间增大而减小，即可得到面积随时间变化的关系图象．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是观察动点的运动过程得到的面积随时间变化情况．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】点拨：四边形是菱形，
，．
，
．
．
，
．
，
．
菱形的面积．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
先利用菱形的性质得，，，，利用含度的直角三角形三边的关系得到，，然后计算出、的长，最后计算四边形的周长．
【解答】
解：四边形为菱形，
，，
，
，
是对角线的中点，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
四边形的周长．
故选B．
12.【答案】
【解析】由菱形的性质知，由折叠的性质，得，
所以和是等腰直角三角形又为边上的高，
所以和是等腰直角三角形，
因为菱形的边长为，所以，
所以，
故选C．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长，属于中考常考题型．
利用菱形的面积公式：，即可解决问题；
【解答】
解：四边形是菱形，
，，，
由勾股定理得：，
，
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】在菱形中，，，
菱形的面积为．
17.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
将沿折叠，
，，
，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，由折叠的性质得出，，由三角形内角和定理可得出答案．
本题考查了菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
18.【答案】证明：第二步折叠使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，
，
第三步折叠，点落在上的点处，得到折痕，同时得到线段，
，
，
，
；
沿所在的直线折叠，点落在上的点处，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
四边形为菱形．
【解析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，菱形的判定，熟记各性质并准确识图判断出垂直平分是解题的关键，也是本题的难点．
根据点是的中点判断出是的中点，然后判断出垂直平分，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据翻折的性质可得，然后根据矩形的四个角都是直角计算即可得证；
根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据四条边都相等的四边形是菱形证明．
19.【答案】证明：连接．
四边形为菱形，
，．
又，
，
是等边三角形．
，．
又，，
．
在和中，
．
，．
又．
．
是等边三角形．
解：由知，是等边三角形，其边长最小时，面积最小，即当时，的面积最小．
此时，
的边上的高为
面积的最小值为．
【解析】略
20.【答案】证明：，，，分别是线段，，，的中点，
，分别是，的中位线，，分别是，的中位线．
，．
又，
．
四边形是菱形．
【解析】略
21.【答案】证明：四边形是菱形，
，．
．
，，
．
．
．
解：是的中点，且，
直线为的垂直平分线．
．
【解析】略
22.【答案】证明：四边形是菱形，
，
．
，
即．
又，
≌
解：由≌
得：，
四边形为菱形，
．
．
，
，
．
【解析】利用菱形的性质、全等三角形的判定方法得出≌；
利用全等三角形的性质得到，结合等腰三角形的性质得出，再根据三角形外角的性质求出即可．
此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是证明≌．
23.【答案】证明：，即，
又，四边形是平行四边形．
平分，，
又，，
，
，
四边形是菱形；
连，由四边形是菱形，得到，且平分，
设交于，
是的中点，且为中点，
，，
，
，
是直角三角形．
【解析】本题利用了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形中位线的定理，角平分线有关知识．
根据两组对边分别平行证得四边形是平行四边形，只需证明四边形的两邻边相等即可．根据平分，以及，易证得，由此可知，即四边形是菱形；
连，交于，根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分有：垂直平分，则是的中位线，有，则，由此可证得是直角三角形．
24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
．
，
，即．
，
四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【解析】略
25.【答案】解：四边形是平行四边形，
，．
．
又，
．
．
．
四边形是菱形．
理由：，
．
，
四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形．
【解析】略
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