4.6 导数的综合运用（精讲+精练+原卷+解析）

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常见考法
考法一 利用导数证明不等式
【例1】（2021·全国高三三模）函数，为常数．
（1）当时，求函数的单调性和极值；
（2）当时，证明：对任意，．
【答案】（1）在单调递减，在单调递增，有极小值为，无极大值；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，所以，
所以，且．
由得；得，得．
列表得
所以在单调递减，在单调递增，
且有极小值为，无极大值．
（2）证明：因为，所以，则
要证，只需证．
设
则
所以，故单调递增．
又因为，
所以存在，使得，
即，所以，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
所以当时，取得最小值．
由知，所以，
所以
故，从而．
【一隅三反】
1．（2021·安徽安庆市·安庆一中）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）解：的定义域为
令，方程的判别式，
（i）当，即时，恒成立，
即对任意，
所以在上单调递增.
（ii）当，即或
①当时，恒成立，即对任意，
所以在上单调递增.
②当时，由，解得
所以当时，当时，当时，，
所以在上，
在上，
所以函数在和上单调递增；
在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：
由，可得
得，因此，
因为，
令，则，
所以，所以，
要证明，只需证
即证
由（1）可知，时，在上是增函数，所以当时，，而，因此成立所以
2．（2021·广东广州市·高三二模）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：对任意，都有．
【答案】（1） 时，函数 在上单调递增；
时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明见解析.
【解析】（1）因为，
所以 ，
若 ，即 时， 在 上恒成立，
所以函数 在上单调递增，
若 ，即 时，得 ，
当 时，当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）当 时，,
在上单调递增，即对任意，都有
即 ，整理得 ，
令 ，则 ，
累加得.
下面证明：对任意的， ，
记函数 ，则 ，
当 时，，故函数 在区间上单调递减，
所以，
故函数在上单调递减，所以，
即对，有，
令 ，则 ，
所以 ，
所以.
3．（2021·山东高三其他模拟）已知函数．
（1）求f(x)的单调区间；
（2）证明：．
【答案】（1）增区间为（，＋∞），减区间为（0，）；（2）证明见解析．
【解析】（1）∵的定义域是（0，＋∞），
f′(x)＝2x﹣＝，
当x＞时，f′(x)＞0，函数f(x)在（，＋∞）上单调递增；
当0＜x＜时，f′(x)＜0，函数f(x)在（0，）上单调递减，
综上，函数f(x)的增区间为（，＋∞），减区间为（0，）；
（2）证明：由于x＞0，要证明，即证明，令，
则，令，恒成立，∴t(x)在（0，＋∞）单调递增，即g′(x)在（0，＋∞）单调递增，又t（1）＝0，即g′（1）＝0，∴g(x)在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
∴g(x)最小值＝g(x)极小值＝g（1）＝＞0成立，
所以原结论成立．
4．（2021·云南昆明市·昆明一中）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，证明：对任意，.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）当时，函数，
可得，则，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）由函数，可得，
令，则，
当时，，所以为增函数，，
所以，为增函数，所以.
当时，，又因为，所以，
所以存在，使，即，
所以函数在上为减函数，在上为增函数，
因为，所以，而，
所以存在，使，
当时，，即；
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，所以.
综上可得，当时，对任意，都有.
考点二 利用导数证明恒成立存在性
【例2】（2021·全国高三）已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题可得.
若恒成立，即，也即恒成立，
设函数则，令，可得.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以函数在时取得最小值，
所以，故的取值范围为.
（2）当时，.
要证，即要证，
因为，所以
令解得.
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，
因此在处取得极小值，也是最小值，
所以.
设函数，所以，
令所以，
当时，所以在上单调递减，所以.
当，即时，
当，即时，在上单调递增；
当，即时，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
所以.
因为所以
所以当时，成立.
【一隅三反】
1．（2021·广东汕头市·高三三模）已知函数，.
（1）当时，求证：当时，；
（2）若在上恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：当时，，
，在上恒成立，
故在上单调递增，
，
在上单调递增，
，从而得证原不等式.
（2），
令，，，
，，故，
在上单调递增，
，
①当，即时，，故在上单调递增，
故，满足题意；
②当，即时，因，又时，，
所以，使得，
当时，，
在上单调递减，此时，不符合题意.
综上，.
2．（2021·河南焦作市·高三）已知函数
（1）求的单调区间；
（2）若对于任意的恒成立，求实数的最小值.
【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）1.
【解析】（1）由，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴的增区间为，减区间为；
（2）∵对于任意的，恒成立，
∴恒成立，即恒成立.
令，则，
令，则在上单调递增，
∵，
存在，使得，
当时，单调递增；当时，单调递减，由，可得，
，又恒成立，
，故m的最小值为1.
3．（2021·北京高三其他模拟）已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若求证：当时，；
（3）若对任意的实数恒成立，求的最大值.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）当时，，
则，由，
所以切线方程为：.
（2）当时，，
当时，
设.
则
当时，单调递增；注意到；
所以，当时，，结论成立.
所以当时，.
（3）由（2）可知，当时，
在上恒成立；
所以，当时，命题（3）结论不成立，所以以后遇到需要对分类讨论的情形，我们就默认为.
等价于
设函数
则
设，则，
当注意到，所以，；
令，解得；
所以，当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以，.
由于恒成立，所以.
所以对任意的实数恒成立，的最大值是.
4．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）已知函数，
（1）求函数的单调区间．
（2）当时，恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）单调减区间为，，没有增区间；（2）.
【解析】（1）定义域为
因为
所以函数的单调减区间为，，没有增区间；
（2）因为当时，恒成立，所以原命题等价于，
恒成立，
即在上恒成立，
因为，令.
①当时，，所以，所以在上单调递增．所以，符合题意；
②当时，，所以，所以在上单调递增．所以，符合题意；
③当时，令，得，
令得，令得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以存在不符合题意．
综上所述：.
解法二：
（2）因为当时，恒成立，所以原命题等价于，恒成立
即在上恒成立
令，下同法一．
考点三 利用导数解决零点问题
【例3】（2021·云南曲靖一中高三）已知函数．
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）证明：当时，在上有且仅有一个零点．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题意得：，
若在上单调递减，则在上恒成立，
在上恒成立，
令，则，
当时，，
当时，，，，，
又，
当时，，在上单调递减，
，，即的取值范围为；
（2）当时，，则，
当时，，在上恒成立，
只需证在上有且仅有一个零点；
，当时，，，
在上恒成立，在上单调递增，
又，，
在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个零点.
【一隅三反】
1．（2021·四川自贡市）已知函数，．
（1）求在的极值；
（2）证明：在有且只有两个零点．
【答案】（1）极小值，无极大值；（2）证明见解析．
【解析】（1）由，，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数的极小值为，无极大值；
（2）证明：，其中.
则，令，则.
当时，，则在上单调递减，
，，
所以，存在，使得.
当时，，此时函数在上单调递增，
当时，，此时函数在上单调递减.
,
而，，则，又，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则，所以，.
由零点存在定理可知，函数在上有两个零点；
当时，，，
设，则对任意的恒成立，
所以，，
所以，函数在上没有零点，
综上所述，函数在上有且只有两个零点.
2．（2021·安徽省舒城中学）已知函数．
（1）讨论函数的零点个数；
（2）当时，，求a的取值范围．
【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）．
【解析】（1）的定义域为，，
令，则，对称轴为，
①当，即时，，则，
在上单调递增，
当时，；当时，，所以此时函数有一个零点；
②当，即时，令，解得：，，
，，
则；
当和时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
因为当时，，，当时，，
，，
所以，
所以，所以在单调递减.
又，当时，，
所以存在使得，
所以当时，函数的零点个数为1个或2个或3个.
综上所述：当时，有一个零点；当时，有一个或两个或三个零点.
（2）记，，
则，，．
记，则．
①当，时，，在上为增函数，又，
在上为增函数，又，
当时，．
②当时，，，
存在，使得，
当时，，，此时在上为减函数，
又．当时，，即，
当时，为减函数，又，
不满足题意；
综上所述：的取值范围为.
3．（2021·全国高考真题）已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）.
【解析】（1）当时，,
令得,当时，,当时，,
∴函数在上单调递增；上单调递减；
（2）,设函数,
则,令，得,
在内,单调递增；
在上,单调递减；
,
又，当趋近于时，趋近于0，
所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是. 极小值