北师大版2.2一元二次不等式的应用导学案

2.2　一元二次不等式的应用

1．分式不等式的解法

阅读教材P82“例10”以上部分，完成下列问题．

(1)＞0与f(x)·g(x)＞0同解．

(2)＜0与f(x)·g(x)＜0同解．

(3)≥0与f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0同解．

(4)≤0与f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0同解．

思考：(1)不等式≥0与f(x)·g(x)＞0或f(x)＝0同解吗？

[提示]　同解．

(2)解分式不等式的主导思想是什么？

[提示]　化分式不等式为整式不等式．

2．高次不等式的解法

阅读教材P82“例10”以下至P83“练习1”以上部分，完成下列问题．

如果把函数f(x)图像与x轴的交点形象地看成“针眼”，函数f(x)的图像看成“线”，那么这种求解不等式的方法，我们形象地把它称为穿针引线法．

思考：(1)解一元二次不等式可以用穿针引线法吗？

[提示]　可以

(2)应用穿针引线法解高次不等式f(x)＞0，对f(x)的最高次项的系数有什么要求吗？

[提示]　把f(x)最高次项的系数化为正数．

1．不等式>0的解集是(　　)

A． B．

C． D．

A　[>0⇔(4x＋2)(3x－1)>0⇔x>或x<－，此不等式的解集为.]

2．函数f(x)＝的定义域是________．

(－∞，0)∪[1，＋∞)　[由题意得≥0，即x(x－1)≥0且x≠0，解之得x≥1或x＜0，故其定义域是(－∞，0)∪[1，＋∞)．]

3．不等式(x－1)(x＋2)(x－3)＜0的解集为________．

 (－∞，－2)∪(1,3)　[如图所示：

由图知原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1,3)．]

4．不等式＞0的解集为_________________．

{x|－4＜x＜－3或x＞－1}　[原式可转化为(x＋1)(x＋2)2(x＋3)(x＋4)＞0，

根据数轴穿根法，解集为－4＜x＜－3或x＞－1.]

【例1】　解下列不等式：

(1)＜0；(2)≤2；(3)(6x2－17x＋12)(2x2－5x＋2)＞0.

[解]　(1)由＜0，得＞0，此不等式等价于(x＋4)(x－3)＞0，

∴原不等式的解集为{x|x＜－4或x＞3}．

(2)法一：移项得－2≤0，左边通分并化简有≤0，即≥0，

同解不等式为∴x＜2或x≥5.∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．

法二：原不等式可化为≥0，此不等式等价于

 ①

或 ②

解①得x≥5，解②得x＜2，

∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．

(3)原不等式可化为(2x－3)(3x－4)(2x－1)(x－2)＞0，

进一步化为(x－2)＞0，

如图所示，得原不等式的解集为

.

1．分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型＞0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．

2．一元高次不等式f(x)＞0用穿针引线法求解，其步骤是：

(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；

(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；

(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；

(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．

1．解下列不等式：(1)≥1；(2)x4－2x3－3x2＜0.

[解]　(1)移项得－1≥0，即≥0，同解不等式为，∴＜x≤4，故原不等式的解集为.

(2)原不等式可化为x2(x－3)(x＋1)＜0，

当x≠0时，x2＞0，由(x－3)(x＋1)＜0，

得－1＜x＜3；

当x＝0时，原不等式为0＜0，无解．

∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜3，且x≠0}．

【例2】　某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降价到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时．

(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?

[解]　(1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．

(2)依题意，有

整理，得

解此不等式组，得0.60≤x≤0.75.

所以当电价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.

解不等式应用题的步骤

2．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，如图，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．

[解]　设花卉带宽度为x m，则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m，根据题意，得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，

整理，得x2－700x＋60 000≥0，

解得x≥600(舍去)或x≤100，

由题意知x>0，所以0<x≤100.

即当花卉带的宽度在(0,100]内取值时，草坪的面积不小于总面积的一半．

[探究问题]

1．设f(x)＝mx2＋2x＋1，若f(x)＞0对任意的x∈R恒成立，f(x)的图像如何？求m的范围．

[提示]　由条件知m＞0，即f(x)的图像开口向上，且和x轴没有交点，故解之得m＞1.

2．设f(x)的值域是[1,2]，若f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．

[提示]　a≤1

3．设x∈[3,4]，若存在x∈[3,4]，使x≥a，求a的取值范围．

[提示]　a≤4

【例3】　设函数f(x)＝mx2－mx－1.

(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；

(2)对于任意x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．

思路探究：(1)讨论m的符号，结合函数f(x)的图像求解．

(2)求f(x)的最大值，使其最大值小于－m＋5；或分离参数m后，转化为求函数的最值问题．

[解]　(1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，

若m＝0，显然－1＜0，满足题意；

若m≠0，⇒－4＜m＜0.

∴－4＜m≤0.

(2)法一：要使f(x)＜－m＋5在x∈[1,3]上恒成立．

就要使m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．

令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．

当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，

∴g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，

∴0＜m＜；

当m＝0时，－6＜0恒成立；

当m＜0时，g(x)是减函数，

∴g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，得m＜6，

∴m＜0.

综上所述：m＜.

法二：当x∈[1,3]时，f(x)＜－m＋5恒成立，

即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立．

∵x2－x＋1＝2＋＞0，

又m(x2－x＋1)－6＜0，

∴m＜.

∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，∴只需m＜即可．

1．(变条件)把例3中的函数换为：f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)，若f(x)＞0对任意的x∈R都成立，求实数a的取值范围．

[解]　由题意可知，f(x)的图像开口向上，故要使f(x)＞0恒成立，只需Δ＜0即可，即(a－4)2－4(5－2a)＜0，解得－2＜a＜2.

2．(变结论)例3的条件不变，若存在x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．

[解]　不等式f(x)＜－m＋5可化为mx2－mx－1＜－m＋5，

即m(x2－x＋1)＜6，由于x2－x＋1＝2＋＞0，故原不等式等价于m＜.

当x∈[1,3]时，x2－x＋1∈[1,7]，故∈，由题意可知m＜6.

有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常有两种处理方法

(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．

(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解．

1．解分式不等式和高次不等式的一般方法是穿针引线法，先将不等式化为标准型，即右边为零，左边分解成几个因式的积，使每个因式的x系数全为1，再把各根依次从小到大标在数轴上后，要从右上方开始往左穿，若有重根，则奇次重根一次穿过，偶次重根要折回，然后根据x轴上方为正，下方为负的原则，由不等式的类型写出解集．注意分式不等式分母不为零．对分式不等式一般不去分母，若要去分母，需对分母的正负进行讨论．

2．一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)不等式＞2与3x＋5＞2(x＋1)同解．(　　)

(2)≤0与(x－1)(x＋2)≤0同解．(　　)

(3)应用穿针引线法解不等式(x＋2)2(x－3)＞0，可得其解集为(2,3)．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(2)×

[提示]　(1)错误，不等式＞2与＞0同解；

(2)错误，≤0与(x－1)(x＋2)≤0且x＋2≠0同解；

(3)错误，(x＋2)2(x－3)＞0的解集为(3，＋∞)．

2．对任意的x∈R，x2－ax＋1＞0恒成立，则实数a的取值范围是

(　　)

A．(－2,2)　 B．(－∞，2)∪(2，＋∞)

C．[－2,2] D．(－∞，2]∪[2，＋∞)

A　[由题意可知Δ＝a2－4＜0，解得－2＜a＜2.]

3．不等式≤－2的解集为________．

　[原不等式可化为≤0，故(4x＋5)(x＋3)≤0且x≠－3，故解集为.]

4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？

[解]　设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]＞400，解得：15≤x＜20.

所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，

应当制定这批台灯的销售价格为x∈[15,20)．