高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课后作业题

习题课——函数性质的综合应用

课后训练巩固提升

A组

1.已知函数f(x)是R上的奇函数且是减函数,则f(1)的值 (　　)

A.恒为正数 B.恒为负数

C.可正可负 D.无法判断

解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.又因为f(x)是R上的减函数,所以必有f(1)<f(0)=0.

答案:B

2.给出下列四个函数,其中既是奇函数,又在定义域上为减函数的是(　　)

A.f(x)=-x-x3 B.f(x)=1-x

C.f(x)= D.f(x)=

解析:给出的四个函数中为奇函数的是f(x)=-x-x3和f(x)=,其中在定义域上为减函数的只有f(x)=-x-x3.

答案:A

3.设f(x)是R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增,则f(-2),f(-π),f(3)的大小顺序是(　　)

A.f(-π)>f(3)>f(-2)

B.f(-π)>f(-2)>f(3)

C.f(3)>f(-2)>f(-π)

D.f(3)>f(-π)>f(-2)

解析:∵f(x)是R上的偶函数,

∴f(-2)=f(2),f(-π)=f(π),

又f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,且2<3<π,

∴f(π)>f(3)>f(2),

即f(-π)>f(3)>f(-2).

答案:A

4.若函数f(x)=是定义在R上的减函数,则a的取值范围为(　　)

A. B.

C. D.

解析:要使f(x)在R上是减函数,

需满足解得≤a<.

答案:A

5.设奇函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,且f(1)=0,则不等式<0的解集为(　　)

A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)

解析:因为f(x)为奇函数,<0,即<0,

又因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递减且f(1)=0,所以当x>1时,f(x)<0.

由于奇函数的图象关于原点对称,所以在区间(-∞,0)内f(x)为减函数,且f(-1)=0,即x<-1时,f(x)>0.

综上可知,使<0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).

答案:C

6.已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)+g(x)=,则f(3)=　　　　　. 

解析:∵f(x)+g(x)=,

∴f(-x)+g(-x)=.

∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,

∴-f(x)+g(x)=-.

∴2f(x)=.

令x=3,得2f(3)=,∴f(3)=.

答案:

7.已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)=　　　　　. 

解析:根据题意,f(x)==1+,而h(x)=是奇函数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2-.

答案:

8.若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,2)内单调递增,且f(x+2)的图象关于直线x=0对称,则f(-1)与f(3)的大小关系是　　　　　. 

解析:因为函数f(x+2)的图象关于直线x=0对称,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1).

又f(x)在区间(-∞,2)内单调递增,且-1<1,所以f(-1)<f(1),即f(-1)<f(3).

答案:f(-1)<f(3)

9.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围.

解:因为f(x)是奇函数且f(x)在区间[0,2]上单调递减,所以f(x)在区间[-2,2]上是减函数.

所以不等式f(1-m)<f(m)等价于

解得-1≤m<.

所以实数m的取值范围为.

10.已知函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.求证:f(x)在R上是减函数.

证明:∵对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)·f(n),

令m=1,n=0,可得f(1)=f(1)f(0),

∵当x>0时,0<f(x)<1,∴f(1)≠0,∴f(0)=1.

令m=x<0,n=-x>0,则f(m+n)=f(0)=f(-x)f(x)=1,∴f(x)f(-x)=1.

又当-x>0时,0<f(-x)<1,

∴f(x)=>1.

∴对任意实数x,f(x)恒大于0.

设任意x1<x2,则x2-x1>0,

∴0<f(x2-x1)<1,

∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)

=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)

=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0,

∴f(x)在R上是减函数.

B组

1.“0<k<2”是“函数f(x)=在R上是增函数”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

解析:依题意,要使函数在R上是增函数,应有

解得0<k≤2.

故“0<k<2”是“函数f(x)=在R上是增函数”的充分不必要条件.

答案:A

2.已知函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(2)=1,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(3)=(　　)

A. B.1 C. D.2

解析:因为f(x+2)=f(x)+f(2),

所以f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2).

令x=-1,则f(-1+2)=f(-1)+f(2),

即f(1)=-f(1)+f(2),

所以2f(1)=f(2)=1,即f(1)=.

故f(3)=+1=.故选C.

答案:C

3.定义在R上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,+∞)内的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式:

①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);

②f(b)-f(-a)<g(a)-g(b);

③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);

④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).

其中成立的有(　　)

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

解析:∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,

∴-f(-a)=f(a),g(-b)=g(b).

∵a>b>0,

∴f(a)>f(b)>f(0)=0,g(a)>g(b)>0,

且f(a)=g(a),f(b)=g(b),f(b)-f(-a)=f(b)+f(a)=g(b)+g(a)>g(a)-g(b)=g(a)-g(-b),∴①成立,②不成立.

又g(b)-g(-a)=g(b)-g(a)<0,

而f(a)-f(-b)=f(a)+f(b)>0,

∴③成立,④不成立.故选C.

答案:C

4.已知f(x)=x5+ax3+bx-8(a,b是常数),且f(-3)=5,则f(3)=　　　　　. 

解析:设g(x)=x5+ax3+bx,则g(x)为奇函数.

由题设可得f(-3)=g(-3)-8=5,

求得g(-3)=13.

又g(x)为奇函数,所以g(3)=-g(-3)=-13,于是f(3)=g(3)-8=-13-8=-21.

答案:-21

5.已知函数f(x)=为奇函数,则a+b=　　　　　. 

解析:由题意知

即解得

当a=-1,b=1时,经检验知,f(x)为奇函数,故a+b=0.

答案:0

6.已知函数f(x)=是R上的偶函数.

(1)求实数m的值;

(2)判断函数f(x)在区间(-∞,0]上的单调性;

(3)求函数f(x)在区间[-3,2]上的最大值与最小值.

解:(1)若函数f(x)=是R上的偶函数,

则f(-x)=f(x),即,

解得m=0.

(2)由(1)知f(x)=.

设任意的x1,x2∈(-∞,0],且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=

=.

因为x1<x2≤0,所以x2+x1<0,x2-x1>0,(1+)(1+)>0,

所以f(x1)<f(x2),于是函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增.

(3)由(2)知f(x)在区间(-∞,0]上单调递增.

又f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,

所以f(x)在区间[-3,0]上单调递增,在区间[0,2]上单调递减.

又f(-3)=,f(0)=1,f(2)=,

所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(-3)=.

7.设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且当x>1时,f(x)>0.

(1)求f的值;

(2)判断y=f(x)在区间(0,+∞)内的单调性,并给出证明;

(3)解不等式f(2x)>f(8x-6)-1.

解:(1)因为对于任意x,y∈R都有f(xy)=f(x)+f(y),

所以当x=y=1时,有f(1)=f(1)+f(1),

即f(1)=0.

当x=2,y=时,有f=f(2)+f,

即f(2)+f=0.

又f(2)=1,故f=-1.

(2)函数y=f(x)在区间(0,+∞)内为增函数.证明如下:

设0<x1<x2,则f(x1)+f=f(x2),

即f(x2)-f(x1)=f.

因为>1,所以f>0,即f(x2)>f(x1),

故f(x)在区间(0,+∞)内为增函数.

(3)由(1)知,f=-1,

所以f(8x-6)-1=f(8x-6)+f

=f=f(4x-3),

于是f(2x)>f(4x-3).

因为f(x)在定义域(0,+∞)内为增函数,

所以

解得不等式的解集为.