高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积第2课时达标测试

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8.3　简单几何体的表面积与体积第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课后·训练提升基础巩固1.若某圆锥的高等于其底面直径,则它的底面积与侧面积之比为(　　)A.1∶2 B.1∶ C.1∶ D.∶2解析设圆锥底面半径为r,则高h=2r,∴其母线长l=r.∴S侧=πrl=πr2,S底=πr2,S底∶S侧=1∶.答案C2.把半径为R的半圆形纸片卷成一个圆锥,所得圆锥的体积是(　　)A.πR3 B.πR3 C.πR3 D.πR3解析设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则l=R,2πr=·2πR,∴r=.∴圆锥的高h=R.∴圆锥的体积V=·πr2·h=πR3.答案A3.若轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的(　　)A.4倍 B.3倍 C.倍 D.2倍解析设等边圆锥的母线长为l,底面半径为r,由已知得l=2r,故=2.故选D.答案D4.已知圆柱的底面周长为6 cm,AC为底面圆的直径,母线BC=6 cm,点P为母线BC上一点,且PC=BC,则一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的表面爬行到点P的最短距离为(　　)A. cm B.5 cmC.3 cm D.7 cm解析圆柱的侧面展开图如图所示.∵圆柱的底面周长为6 cm,∴AC=3 cm.∵PC=BC,∴PC=×6=4(cm).在Rt△ACP中,AP2=AC2+PC2,∴AP==5(cm).故选B.答案B5.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为(　　)A.7 B.6 C.5 D.3解析设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r.由S=π(r+3r)·3=84π,解得r=7.答案A6.若与球相切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为(　　)A.4π(r+R)2 B.4πr2R2 C.4πrR D.π(R+r)2解析如图,作DE⊥BC,交BC于点E.设球的半径为r1,则在Rt△CDE中,DE=2r1,CE=R-r,DC=R+r.由勾股定理得4=(R+r)2-(R-r)2,解得r1=,故球的表面积为S球=4π=4πRr.答案C7.已知将一铜球放入底面半径为16 cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高了9 cm,则这个铜球的半径为　　　　　 cm. 解析设铜球的半径为R cm,则有πR3=π×162×9,解得R=12.答案128.如图,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,则圆柱的表面积为　　　　　. 解析如图,设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,母线长为l,表面积为S.则R=OC=2,AC=4,l=OE=,∴AO==2,AE=AO-OE=.易知△AEB∽△AOC,∴,即,∴r=1,∴S=2πr(r+l)=2π×1×(1+)=2(1+)π.答案2(1+)π9.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.10.已知一种空心钢球的质量是142 g,它的外径是5.0 cm,求它的内径.(钢的密度是7.9 g/cm3,最后结果精确到0.1)解设空心钢球的内径为2x cm,由题意得7.9=142,则x3=≈11.3.∴x≈2.24.∴2x≈4.5,即所求钢球的内径约为4.5 cm.能力提升1.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16π,则圆锥的体积是(　　)A. B. C.64π D.128π解析设圆锥的底面半径为r,母线长为l,因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形,所以2r=l,即l=r.由题意得,侧面积S侧=πrl=πr2=16π,解得r=4.所以l=4,高h==4.所以圆锥的体积V=Sh=π×42×4=.答案A2.若圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的表面积为(　　)A.81π B.100π C.168π D.169π解析作出圆台的轴截面如图所示.则它的母线长l===5r=10,∴r=2,r'=8.∴S侧=π(r'+r)l=π(8+2)×10=100π,S表=S侧+πr2+πr'2=100π+4π+64π=168π.答案C3.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)(　　)A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸解析由题意可知,圆台形天池盆上底面半径为14寸,下底面半径为6寸,高为18寸.因为积水深9寸,所以水面半径为×(14+6)=10(寸),所以盆中积水的体积为×9×(62+102+6×10)=588π(立方寸),又盆口面积为π×142=196π(平方寸),所以平地降雨量为=3(寸).答案B4.若圆锥的高等于其内切球半径的3倍,则圆锥的侧面积与球的表面积之比是(　　)A. B. C. D.解析设球的半径为r,圆锥底面半径为R,母线长为l.由题意可知,,所以l=2R.又,所以R2=3r2,所以.答案A5.若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等,则它们的表面积的大小关系是(　　)A.S球<S圆柱<S正方体 B.S正方体<S球<S圆柱C.S圆柱<S球<S正方体 D.S球<S正方体<S圆柱解析设等边圆柱底面圆半径为r,球半径为R,正方体棱长为a,则πr2·2r=πR3=a3,=2π,S圆柱=6πr2,S球=4πR2,S正方体=6a2,<1,>1.故选A.答案A6.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是　　　　　 cm. 解析设球的半径为r cm,放入3个球后,圆柱液面高度变为6r cm,则有πr2·6r=8πr2+3·πr3,即2r=8,解得r=4.答案47.如图,把底面半径为8 cm的圆锥,放倒在平面内,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身滚动了2.5周,则圆锥的母线长为　　　　　,表面积为　　　　　. 解析设圆锥的母线长为l cm,以S为圆心,SA为半径的圆的面积为S=πl2 cm2.又圆锥的侧面积S1=πRl=8πl cm2,根据圆锥在平面内转到原位置时,圆锥本身滚动了2.5周,得πl2=2.5×8πl,解得l=20.故圆锥的表面积为S圆锥侧+S底=π×8×20+π×82=224π(cm2).答案20 cm　224π cm28.已知一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球,在圆锥里又有一个内切球.求:(1)圆锥的侧面积.(2)圆锥内切球的体积.解(1)如图,作出轴截面,则等腰三角形SAB内接于圆O,而圆O1内切于△SAB.设圆O的半径为R,则有πR3=972π,所以R=9.所以SE=2R=18.因为SD=16,所以ED=2.连接AE,因为SE是直径,所以SA⊥AE,SA2=SD·SE=16×18=288,所以SA=12.因为AB⊥SD,所以AD2=SD·DE=16×2=32,所以AD=4.所以S圆锥侧=π×4×12=96π.(2)设内切球O1的半径为r,因为△SAB的周长为2×(12+4)=32,所以r×32×8×16,所以r=4.所以内切球O1的体积V球=πr3=π.