高考数学一轮复习第七章第六节空间向量及其运算课时作业理含解析北师大版

第六节 空间向量及其运算

授课提示：对应学生用书第349页

[A组　基础保分练]

1．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·的值为（　　）

A．－1　　　　　　　　 B．0

C．1  D．2

解析：在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝·＋（＋）·（－）＋·＝·＋·＋·－·＝·（＋）＋·（－）＝·＋·＝0．

答案：B

2．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则＋（＋）等于（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：依题意有＋（＋）＝＋＝．

答案：A

3．在空间四边形ABCD中，若＝（－3，5，2），＝（－7，－1，－4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　　）

A．（2，3，3）  B．（－2，－3，－3）

C．（5，－2，1）  D．（－5，2，－1）

解析：因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，O为坐标原点，所以＝－，＝（＋），＝（＋）．

所以＝（＋）－（＋）＝（＋）

＝[（3，－5，－2）＋（－7，－1，－4）]

＝（－4，－6，－6）＝（－2，－3，－3）．

答案：B

4．已知A（1，0，0），B（0，－1，1），O为坐标原点，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为（　　）

A．±  B．

C．－  D．±

解析：＋λ＝（1，－λ，λ），cos 120°＝＝－，得λ＝±．经检验λ＝不合题意，舍去，所以λ＝－．

答案：C

5．（2021·晋江模拟）设O­ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z等于（　　）

A．1  B．

C．  D．2

解析：如图所示，由题意得＝，

所以1＝x＋y＋z，

所以＝x＋y＋z，

又G1，A，B，C四点共面，

所以x＋y＋z＝1，

所以x＋y＋z＝．

答案：C

6．已知点A（1，2，1），B（－1，3，4），D（1，1，1），若＝2，则||的值是_________．

解析：设P（x，y，z），则＝（x－1，y－2，z－1），

＝（－1－x，3－y，4－z）．

由＝2知x＝－，y＝，z＝3，

∴P．又D（1，1，1），

由两点间距离公式可得||＝．

答案：

7．已知空间三点A（1，1，1），B（－1，0，4），C（2，－2，3），则与的夹角θ的大小是_________．

解析：因为＝（－2，－1，3），＝（－1，3，－2），

所以cos〈，〉＝＝

＝＝－．

又0°≤〈，〉≤180°，所以θ＝〈，〉＝120°．

答案：120°

8．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，＝λ，且AB1⊥MN，则λ的值为_________．

解析：如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，

因为底面边长为1，侧棱长为2，则A，B1，C，C1，

M（0，0，0），设N，

因为＝λ，所以N，

所以＝，＝．

又因为AB1⊥MN，所以·＝0．

所以－＋＝0，所以λ＝15．

答案：15

9．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，用向量，，表示向量．

解析：＝＋＝＋＝＋（＋）

＝＋（－＋＋）

＝＋＋．

10．如图，已知平行六面体ABCD­A′B′C′D′，E，F，G，H分别是棱A′D′，D′C′，C′C和AB的中点，求证：E，F，G，H四点共面．

证明：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＋＝＋2＋

＝b－a＋2a＋（＋＋）＝b＋a＋（b－a－c－a）＝b－c，

∴与b，c共面，即E，F，G，H四点共面．

[B组　能力提升练]

1．已知点A（1，a，－5），B（2a，－7，－2），则|AB|的最小值为（　　）

A．3  B．3

C．2  D．2

解析：|AB|＝

＝＝，

当a＝－1时，|AB|min＝＝3．

答案：B

2．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：设P（x，y，z），由题意可知

∴x2＋y2＋z2＝，∴＝．

答案：A

3．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则异面直线a，b所成的角等于（　　）

A．30°  B．45°

C．60°  D．90°

解析：由AC⊥b，BD⊥b⇒AC⊥CD，BD⊥CD，

故可得·＝0，·＝0，

∴·＝（＋＋）·

＝·＋||2＋·

＝0＋||2＋0＝1

∴cos〈，〉＝＝，

故向量，的夹角为60°，

∴a与b的夹角为60°．

答案：C

4．已知平面α内的三点A（0，0，1），B（0，1，0），C（1，0，0），平面β的一个法向量n＝（－1，－1，－1），则不重合的两个平面α与β的位置关系是_________．

解析：由已知得，＝（0，1，－1），＝（1，0，－1），设平面α的一个法向量为m＝（x，y，z），由得得令z＝1，得m＝（1，1，1）．又n＝（－1，－1，－1），所以m＝－n，即m∥n，所以α∥β．

答案：平行

5．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1．在如图所示的空间直角坐标系中，则MN＝_________．

解析：连接PD（图略），因为M，N分别为CD，PC的中点，所以MN＝PD，又P（0，0，1），D（0，1，0），

所以PD＝＝，所以MN＝．

答案：

6．直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．

（1）求证：CE⊥A′D；

（2）求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

解析：（1）证明：设＝a，＝b，＝c，

根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，

∴＝b＋c，＝－c＋b－a．

∴·＝－c2＋b2＝0，

∴⊥，即CE⊥A′D．

（2）＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|．

·＝（－a＋c）·＝c2＝|a|2，

∴cos〈，〉＝＝．

即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为．

[C组　创新应用练]

1．如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是（　　）

A．　　　　　 B．

C．  D．

解析：设＝λ，＝μ，（λ，μ∈[0，1]）．

所以＝λ（0，1，2）＝（0，λ，2λ），

＝＋μ（－）＝（1，0，0）＋μ（－1，1，0）＝（1－μ，μ，0）．

所以||＝|－|＝|（1－μ，μ－λ，－2λ）|

＝

＝≥＝．

当且仅当λ＝，μ＝，即λ＝，μ＝时取等号．

所以线段PQ长度的最小值为．

答案：C

2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．

（1）求证：B1E⊥AD1；

（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE．若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

解析：（1）证明：以A为原点，，，的方向分

别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）．

设AB＝a，则A（0，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，1），E，B1（a，0，1），

故＝（0，1，1），＝，

＝（a，0，1），＝．

因为·＝－×0＋1×1＋（－1）×1＝0，

所以B1E⊥AD1．

（2）假设在棱AA1上存在一点P（0，0，z0），使得DP∥平面B1AE，此时＝（0，－1，z0）．

设平面B1AE的法向量n＝（x，y，z）．

因为n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥，

得

取x＝1，得平面B1AE的一个法向量

n＝．

要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，

解得z0＝．

又DP⃘平面B1AE，

所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝．