高考数学一轮复习第八章平面解析几何第九节第1课时最值范围证明问题课时规范练理含解析新人教版

第1课时 最值、范围、证明问题

[A组　基础对点练]

1．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，圆O：x2＋y2＝1.

(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为抛物线C和圆O的一个交点，求|AF|；

(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求|MN|的最小值及相应p的值．

解析：(1)由题意得F(0，1)，从而抛物线C：x2＝4y.

解方程组得y＝－2±.不妨设yA＝－2，

∴|AF|＝－1.

(2)设M(x0，y0)(y0＞0)，则切线l：y＝(x－x0)＋y0，

结合x＝2py0，整理得x0x－py－py0＝0.

由ON⊥l且|ON|＝1得＝1，

即|py0|＝＝，

∴p＝且y－1＞0.

∴|MN|2＝|OM|2－1＝x＋y－1＝2py0＋y－1＝＋y－1＝4＋＋(y－1)≥8，

当且仅当y0＝时等号成立．

∴|MN|的最小值为2，此时p＝.

2．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l过点(1，0)且倾斜角为钝角，P为弦AB的中点，当∠OPB最大时，求直线l的方程．

解析：(1)由题意知解得

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－1)(k＜0).

联立得方程组消去y，得(9k2＋1)x2－18k2x＋9k2－9＝0，

故x1＋x2＝.

故P(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝k(x0－1)＝k＝－，

所以直线OP的斜率kOP＝＝－.

设直线l，OP的倾斜角分别为α，β，则∠OPB＝α－β，

tan ∠OPB＝tan (α－β)＝＝.

因为k＜0，所以－＝(－k)＋≥2＝，即k＋≤－，所以tan ∠OPB≤－，当且仅当k＝－时，等号成立，

所以当∠OPB最大时，直线l的斜率k＝－，此时直线l的方程为x＋3y－1＝0.

[B组　素养提升练]

1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D.

(1)若当点A的横坐标为3，且△ADF为等边三角形，求C的方程；

(2)对于(1)中求出的抛物线C，若点D(x0，0)，记点B关于x轴的对称点为E，AE交x轴于点P，且AP⊥BP，求证：点P的坐标为(－x0，0)，并求点P到直线AB的距离d的取值范围．

解析：(1)由题知F，|FA|＝3＋，

则D(3＋p，0)，FD的中点坐标为，

则＋＝3，解得p＝2，故C的方程为y2＝4x.

(2)证明：依题可设直线AB的方程为x＝my＋x0(m≠0)，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则E(x2，－y2)，由消去x，得y2－4my－4x0＝0，因为x0≥，所以Δ＝16m2＋16x0＞0，

y1＋y2＝4m，y1y2＝－4x0，

设P的坐标为(xP，0)，则＝(x2－xp，－y2)，＝(x1－xP，y1)，

由题知∥，所以(x2－xP)y1＋y2(x1－xP)＝0，

即x2y1＋y2x1＝(y1＋y2)xP＝＝，显然y1＋y2＝4m≠0，所以xp＝＝－x0，即证P(－x0，0)，由题知△EPB为等腰直角三角形，所以kAE＝1，

即＝1，也即＝1，

所以y1－y2＝4，所以(y1＋y2)2－4y1y2＝16.

即16m2＋16x0＝16，m2＝1－x0，x0＜1，

又因为x0≥，所以≤x0＜1，d＝＝＝，

令＝t∈，x0＝2－t2，d＝＝－2t，

易知f(t)＝－2t在上是减函数，

所以d∈.

2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F，且该椭圆过点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当动直线l与椭圆C相切于点A，且与直线x＝相交于点B时，求证：△FAB为直角三角形．

解析：(1)由题意得＝，＋＝1，又a2＝b2＋c2，解得b2＝1，所以a2＝4，即椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)证明：由题意可得直线l的斜率存在，

设l：y＝kx＋m，联立得，

得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，

判别式Δ＝64k2m2－16(4k2＋1)(m2－1)＝0，得m2＝4k2＋1＞0.

设A(x1，y1)，则x1＝＝＝－，

y1＝kx1＋m＝＋m＝，即A.

易得B，F(，0)，

则＝，＝，

·＝＋＝

－－1＋＋1＝0，

所以⊥，即△FAB为直角三角形，得证．