高中北师大版4.2平面向量线性运算的坐标表示综合训练题

课时素养评价 十九　平面向量的坐标

　　　　　　　　　　　　　　　　 (20分钟　35分)

1.已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-1,-2),B(3,1),C(0,2),则顶点D的坐标为 (　　)

A.(2,-3) B.(-1,0)

C.(4,5) D.(-4,-1)

【解析】选D.因为四边形ABCD是平行四边形,所以=,所以=+-=(-4,-1).

　【补偿训练】

　　若O(0,0),B(-1,3),且=3,则点A的坐标为 (　　)

A.(3,9) B.(-3,9)

C.(-3,3) D.(3,-3)

【解析】选B.=3(-1,3)=(-3,9),

根据以原点出发的向量终点坐标等于向量坐标,

所以点A的坐标为(-3,9).

2.已知A(-1,-1),B(1,3),C(x,5),若∥,则x= (　　)

A.2 B.-3 C.-2 D.5

【解析】选A.=(2,4),=(x-1,2),

因为∥,故4(x-1)=2×2,故x=2.

3.已知M(3,-2),N(-5,-1),且=,则P点的坐标为 (　　)

A.(-8,1) B.

C. D.(8,-1)

【解析】选B.设P(x,y),则=(x-3,y+2),而=(-8,1)=,

所以解得即P.

4.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1),若(a+kb)∥c,则实数k的值为 (　　)

A.2　　　B.　　　C.　　　D.-

【解析】选B.因为a=(2,-1),b=(1,1),所以a+kb=(2,-1)+k(1,1)=(2+k,k-1).又c=(-5,1),且(a+kb)∥c,所以1×(2+k)-(-5)×(k-1)=0,解得k=.

5.若向量a=(2,-1)与b=(1,y)平行,则y=　　　　. 

【解析】因为向量a=(2,-1)与b=(1,y)平行,

所以2y+1=0,解得y=-.

答案:-

6.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).

(1)求满足a=m b+n c的实数m,n.

(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.

【解析】(1)因为a=mb+n c,所以(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).所以解得

(2)因为(a+kc)∥(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),所以2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,所以k=-.

　　　　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为 (　　)

A.-2,1 B.1,-2 C.2,-1 D.-1,2

【解析】选D.因为c=λ1a+λ2b,所以(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2),所以所以

　【补偿训练】

　　 设a=(2,1),b=(3,2),c=(5,4),若c=λa+μb则λ,μ的值是 (　　)

A.λ=-3,μ=2 B.λ=-2,μ=3

C.λ=2,μ=3 D.λ=3,μ=2

【解析】选B.由题意,向量a=(2,1),b=(3,2),c=(5,4),

又因为c=λa+μb,所以(5,4)=(2λ+3μ,λ+2μ),

所以解得

2.如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若=

λ+μ,则λ+μ= (　　)

A. B. C. D.2

【解析】选B.以A为坐标原点建立平面直角坐标系,

设正方形边长为1,由此,=(1,1),=,=(-1,1),故1=λ-μ,1=λ+μ,

解得λ=,μ=,所以λ+μ=.

3.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是              (　　)

A.k=-2 B.k= C.k=1 D.k=-1

【解题指南】由A,B,C三点不能构成三角形可知A,B,C三点共线.

【解析】选C.因为A,B,C三点不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,即,共线.又=-=(1,2),=-=(k,k+1),所以(k+1)·1-2·k=0,解得k=1.

4.与a=(6,8)平行的单位向量为 (　　)

A. 　　　 B.

C.或 　　　D.

【解析】选C.设与a平行的单位向量e=(x,y),

则解得或

故满足条件的单位向量为或.

【误区警示】本题容易漏掉与a反向的单位向量.

5.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||=

2||,则点P的坐标为 (　　)

A.(3,1)  B.(1,-1)

C.(3,-1)或(-1,1) D.(3,1)或(1,-1)

【解析】选D.因为A(2,0),B(4,2),所以=(2,2),

因为点P在直线AB上,且||=2||,

所以=2,或=-2,故=(1,1),或=(-1,-1),故点P的坐标为(3,1)或(1,-1).

【光速解题】本题可以直接代值验证,将选项中的点坐标代入条件可以快速排除.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.已知a=(1,1),b=(x2,x+λ)且a∥b,则实数λ的最小值是　　　　. 

【解析】因为a∥b,所以x2-x-λ=0,即λ=x2-x=-≥-,所以λ的最小值为-.

答案:-

7.已知向量a=(2,3),b=(-1,4),m=a-λb,n=2a-b,若m∥n,则λ=　　　　. 

【解析】因为m=a-λb=(2,3)-λ(-1,4)=(λ+2,3-4λ),n=2a-b=2(2,3)-(-1,4)=(5,2),

又m∥n,所以2(λ+2)=5(3-4λ),解得λ=.

答案:

8.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上且=,连接DC延长至E,使||=||,则点E的坐标为　　　　. 

【解题指南】设出点E的坐标为(x,y),利用=及||=||列出关于x,y的方程组求解.

【解析】因为=,所以-=(-).所以=2-=(3,-6).

所以点C的坐标为(3,-6).

又||=||,且E在DC的延长线上,

所以=-.

设E(x,y),则(x-3,y+6)=-(4-x,-3-y),

得解得

所以点E的坐标为.

答案:

【补偿训练】

　　 已知P1(2,-1),P2(-1,3),P在直线P1P2上,且=,则P点的坐标为　　　　. 

【解析】因为=,设P点坐标为(x,y),=(x-2,y+1),=(-1-x,3-y),

所以(x-2,y+1)=(-1-x,3-y),

所以即

故P点坐标为.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y).

(1)若点A,B,C不能构成三角形,求x,y应满足的条件.

(2)若=2,求x,y的值.

【解析】(1)因为点A,B,C不能构成三角形,则A,B,C三点共线.由=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y)得=(3,1),=(2-x,1-y),所以3(1-y)=2-x.所以x,y满足的条件为x-3y+1=0.

(2)=(-x-1,-y),由=2得(2-x,1-y)=2(-x-1,-y),所以

解得

10.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若=+λ(λ∈R),试问λ为何值时:

(1)点P在第一、三象限的角平分线上?

(2)点P在第三象限内?

【解析】设点P的坐标为(x,y),则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),+λ=(5-2,4-3)+λ[(7,10)-(2,3)]=(3+5λ,1+7λ).

因为=+λ(λ∈R),

所以(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),

所以所以

所以P(5+5λ,4+7λ).

(1)若点P在第一、三象限的角平分线上,

则5+5λ=4+7λ,故λ=.

(2)若点P在第三象限内,则解得故λ<-1,即只要λ<-1,点P在第三象限内.

1.设向量a=(m,n),b=(s,t),定义两个向量a,b之间的运算“⊕”为a ⊕ b=(ms,nt).若向量p=(1,2),p ⊕ q=(-3,4),则向量q等于              (　　)

A.(-3,2)　　　　　　B.(3,-2)

C.(-3,-2) D.(3,2)

【解析】选A.设向量q=(x,y),p ⊕ q=(x,2y)

=(-3,4),所以x=-3,y=2,故向量q=(-3,2).

2.已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示.

(1)证明:对任意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.

(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标.

(3)求使f(c)=(p,q)(p,q是常数)的向量c的坐标.

【解析】(1)设a=(a1,a2),b=(b1,b2),

则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2),

所以f(ma+nb)=(ma2+nb2,

2ma2+2nb2-ma1-nb1),

mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),

所以f(m a+nb)=mf(a)+nf(b)成立.

(2)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).

(3)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q),

所以y=p,2y-x=q,所以x=2p-q,

即向量c=(2p-q,p).