2020-2021学年1.2向量的概念当堂达标检测题

2020-2021学年北师大版必修四   2.1.2 向量的概念     作业

一、选择题

1、下列命题正确的是（    ）

A．若、都是单位向量，则

B．若，则四点、、、构成平行四边形

C．若，则是的相反向量

D．与是两平行向量

2、
下面说法中，正确的是　(　　)                                           （    ）。

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

③零向量不可作为基底中的向量；

④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a=λe1+μe2成立的实数对一定是唯一的.

A． ②④    B． ①③④    C． ①③    D． ②③④

3、下列说法错误的是（    ）

A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行

C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等

4、已知、是平面向量，下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．零向量与任何非零向量都不共线

5、设a0，b别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是(　　)

A．a0＝b0　　　　　　　　　 B．a0＝－b0

C．|a0|＋|b0|＝2   D．a0∥b0

6、对于下列命题：①若，则；②在，若，则为锐角三角形；③零向量与任何向量都共线④若和都是单位向量，则或．其中正确命题有(    )

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

7、
下列说法错误的是   (  ）。

A． 向量与的长度相同    B． 单位向量的长度都相等

C． 向量的模是一个非负实数    D． 零向量是没有方向的向量

8、在中，点D，E分别为边，的中点，则如图所示的向量中，相等向量有（    ）

A．一组 B．二组 C．三组 D．四组

9、设分别是与同向的单位向量，则下列结论中正确的是(   )

A． B．

C． D．

10、已知单位向量，则下列各式成立的是（   ）

A.      B.       C.        D.

11、下列说法正确的是（    ）

A．零向量没有方向 B．向量就是有向线段

C．只有零向量的模长等于0 D．单位向量都相等

12、如图，四边形ABCD中，＝，则必有(　　)

A．＝   B．＝   C．＝   D．＝

二、填空题

13、如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，则以A、B、C、D、E、F这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量是________．

14、如图所示，E、F分别为△ABC边AB、AC的中点，则与向量E共线的向量有________

(将图中符合条件的向量全写出来)．

15、下列说法中，正确的个数是___ 个.

①零向量可以与任何向量平行；

②若向量e的模等于1，则e为单位向量；

③所有的单位向量都相等.

16、已知a与－b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则实数λ的值为________．

三、解答题

17、（本小题满分10分）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：

(1)与相等的向量共有几个；

(2)与平行且模为的向量共有几个？

(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？

18、（本小题满分12分）判断下列命题是否正确，请说明理由：

（1）若向量与同向，且，则；

（2）若向，则与的长度相等且方向相同或相反；

（3）对于任意向量，若与的方向相同，则=；

（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；

（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．

19、（本小题满分12分）已知a = (1，0)，b = (2，1) ．试问：当k为何实数时， ka－b与a+3b平行, 平行时它们是同向还是反向？

参考答案

1、答案D

解析根据相等向量的定义判断A、B选项的正误；根据相反向量的定义可判断C选项的正误；根据平行向量的定义可判断D选项的正误.综合可得出结论.

详解

对于A选项，、都是单位向量，但是这两个向量方向不一定相同，、不一定相等，A选项错误；

对于B选项，若，则直线或、、、四点共线，B选项错误；

对于C选项，若是的相反向量，则，C选项错误；

对于D选项，，所以，与是两平行向量，D选项正确.

故选：D.

点睛

本题考查与向量概念相关命题真假的判断，正确把握相等向量、相反向量以及平行向量的概念是解答的关键，考查推理能力，属于基础题.

2、答案D

详解：在一个平面内，只要是两个不共线的向量就可以作为该平面内所有向量的基底，故有此可得一个平面内有无数个不共线的向量，故①错误②正确，又零向量与任何向量都共线，故不可以作为基底③正确，根据平面向量的共线定理可得④正确，故正确的为②③④

选D.

点睛：考查向量基底的概念，平面向量共线基本定理，对定义的理解是解题关键，属于基础题.
 

3、答案D

解析向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.

详解：A.向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；

B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；

C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；

D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.

点睛

本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型.

4、答案C

解析利用向量的概念可判断A选项的正误；利用向量不能比大小可判断B选项的正误；利用共线向量的定义可判断C选项的正误；利用零向量的概念可判断D选项的正误.

详解：对于A，向量方向不相同则向量不相等，选项A错误；

对于B．向量不能比较大小，选项B错误；

对于C，若，则，，选项C正确；

对于D，零向量与任一向量共线，选项D错误.

故选：C．

点睛

本题考查与平面向量相关概念的判断，属于基础题.

5、答案C.

解析因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，

所以|a0|＋|b0|＝2.故选C.

6、答案C

解析根据向量共线的定义及向量的数量积的定义一一判断可得；

详解：解：①，，又，所以，所以，故①正确；

②，

，即，故为钝角三角形，故②错误；

③零向量与任何向量都共线（平行），故③正确；

④单位向量指模为的向量，再具体的情境中，单位向量的方向是确定的，故④错误.故选C.

点睛

本题考查共线向量、单位向量、零向量、向量的模、数量积等概念，属基本概念的考查．

7、答案D

解析

分析

根据零向量、向量的模，以及单位向量的概念，即可判定得到答案.

详解

A中，向量与相反向量，则，所以是正确的；

B中，单位向量的长度都是1，所以是正确的；

C中，根据向量的模的定义，可知向量的模是一个非负实数，所以是正确的；

D中，零向量方向是任意的，所以“零向量是没有方向的向量”是错误的，故选D.

点睛

本题主要考查了零向量的概念，其中熟记零向量的基本概念是解答的关键.
 

8、答案A

解析结合三角形中位线的性质、相等向量的定义直接求解即可.

详解：解析：由相等向量的定义可知，题图中只有一组向量相等，即.

故选：A

点睛

本题考查了三角形中位线性质，考查了相等向量，属于基础题.

9、答案C

解析考点：单位向量．

解：因为是单位向量，||=1，||=1.∴||+||=2

故选C

10、答案D

解析由题意可得，单位向量的定义为模长为1的向量为单位向量，因此任意两个单位向量之间除了模长相等之外，其余并没有任何关系，综合以上性质，故选D

考点：单位向量的定义及性质.

11、答案C

解析根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.

详解：零向量的方向是任意的，故A选项错误；

有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；

只有零向量的模长等于0，故C选项正确；

单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误.

故选：.

点睛

本题考查了向量的定义和性质，意在考查学生对于向量基本知识的掌握.

12、答案D

解析∵四边形ABCD中，＝，∴AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴＝.

13、答案，，

解析由平行四边形性质可知，AB綊EF綊DC，

故与EF―→方向相反的向量是，，.

14、答案F，B，C

解析∵E、F分别为△ABC对应边的中点，∴EF∥BC，

∴符合条件的向量为F，B，C.

15、答案2

解析因为规定零向量与任何向量共线，所以①正确；模为1的向量为单位向量，且方向相同才是相等的单位向量，所以②正确，③错误，故正确的说法有2个.

16、答案－

解析因为a＋λb与－(b－3a)共线，所以存在实数μ，使a＋λb＝μ(3a－b)，即所以

17、答案（1）5个；（2）24个；（3）2个.

 (2)根据向量的模的概念，即可得与向量平行且模为的向量的个数；

(3)根据向量的模概念，即可得到与向量方向相同且模为3的向量共的个数。

详解

(1)根据相等向量的概念，可得与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．

(2)根据向量的模的概念，可得与向量平行且模为的向量共有24个．

(3)根据向量的模概念，可得与向量方向相同且模为3的向量共有2个．

点睛

本题主要考查了相等向量概念，以及向量模的概念的应用，其中解答中熟记相等向量的概念和向量模的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。

解析

18、答案（1）不正确，理由见解析（2）不正确，理由见解析（3）正确，理由见解析（4）不正确，理由见解析（5）不正确，理由见解析

详解：（1）不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．

（2）不正确．由|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．

（3）正确．因为|，且与同向，由两向量相等的条件，可得=

（4）不正确．依据规定：与任意向量平行．

（5）不正确．因为向量与若有一个是零向量，则其方向不定．

点睛

本题主要考查平面向量的相关概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

解析

19、答案 因为 ka－b ，a+3b．

由已知得，   解得 ，

此时，ka－b ，a+3b，二者方向相反．

解析