高中数学北师大版必修43.1数乘向量课时练习

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  2020-2021学年北师大版必修4  2.3.1 数乘向量 作业1、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定经过的（    ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心2、在中，是边上的一点，是上的一点，且满足和，连接并延长交于，若，则的值为（    ）A． B．C． D．3、在的中，为的中点，，则（    ）A． B． C． D．4、已知平面内四点满足，则等于（    ）A． B． C． D．5、在中，为边上的中线，点满足，则（    ）A． B．C． D．6、已知是不共线的向量，且，则（    ）.A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线7、在△ABC中，已知D是AB边上一点，，则实数λ＝(　　)A． B． C． D．8、在中，点满足，则（   ）A． B．C． D．9、如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（    ）A． B． C． D．10、如图所示，已知在中，，，交于点，若，则（    ）A． B．C． D．11、已知为的重心，，则（    ）A． B． C． D．12、在中，，F为中点，则（    ）A. B. C. D. 13、下面给出四个命题：①对于实数和向量、，恒有；②对于实数、和向量，恒有；③若，则；④若，则.其中正确的命题是______.14、如图，，为内的两点，且，，则与的面积之比为_______.15、已知点M是所在平面内的一点，若满足，且，则实数的值是______.16、如图所示，则＝____________.(写出正确的所有序号)．①a－b＋c　　②b－(a＋c)    ③a＋b＋c　　④b－a＋c 17、在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线．求证：四边形ABCD是梯形．18、设两个非零向量a与b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．19、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：(1)分别写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量；（3）写出与模相等的向量；（4）向量与是否相等？    
参考答案1、答案B先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定的方向与的角平分线一致，再由可得到，可得答案．详解：解：、分别表示向量、方向上的单位向量，的方向与的角平分线一致，又，，向量的方向与的角平分线一致点的轨迹一定经过的内心.故选：B．名师点评本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力．2、答案C首先过做，交于，根据向量加法的几何意义得到为的中点，从而得到为的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案.详解：如图所示，过做，交于.因为，所以为的中点.因为，所以为的中点，因为，所以.因为，所以，即.又因为，所以，故.故选：C名师点评本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题.3、答案D根据已知作图，由向量的关系可推得，特别注意.详解根据题意，如图，，又，所以.故选：D名师点评本题主要考查向量的线性运算和表示，要求学生熟练掌握向量的加减运算，属于基础题.4、答案C利用向量的三角形法则和数乘运算法则即可得出.详解由，可得：，，，，即.故选：C.名师点评本题主要考查向量的三角形法则和数乘运算法则，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.5、答案A利用平面向量的加法和减法法则求解.详解由题得=.故选：A名师点评本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6、答案A利用向量的加法以及向量的共线定理即可求解.详解，∴A，B，D三点共线.故选：A名师点评本题考查了向量的共线定理，需熟记定理内容，属于基础题.7、答案D利用向量的平行四边形法则和平面向量基本定理即可得出．详解：如图，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交BC于点F，连接CD，则 ,因为,所以,由△ADE∽△ABC，得 ,所以 ，故λ＝ ．故选D .名师点评熟练掌握向量的平行四边形法则和平面向量基本定理是解题的关键．8、答案D详解：因为，所以，即；故选D.9、答案C根据向量加法的三角形法则和四边形法则，可得结果.详解根据题意：又所以故选：C名师点评本题主要考查利用向量的加法法则，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，对向量用其它向量表示有很大的作用，属基础题.10、答案B设，利用向量加法的三角形法则以及减法的几何意义可得，从而可得，再根据三点共线，可得，解得，即可求出详解设，，，，，三点共线，，解得，，，.故选：B名师点评本题考查了向量加法、减法以及向量共线定理的推论，考查了学生基本知识的应用能力，属于基础题.11、答案D首先根据题意得到为的中点，再利用向量加法的几何意义即可得到答案.详解：如图所示：因为，所以三点共线.又因为为的重心，所以为的中点.故.故选：D.名师点评本题主要考查平面向量的线性运算，熟练掌握向量加法的几何意义为解题的关键，属于简单题.12、答案B利用三角形对边中点的向量公式拆解，得，再利用向量的线性运算减法公式进行求解详解如图所示：，又因为，所以．答案选B名师点评本题考查向量的线性运算，解题核心在于怎样将任意向量转化成两组基底向量，通常涉及方法有向量的加法及减法线性运算公式，如本题中，的转化13、答案①②④①②满足实数与向量积的运算律；③若，不一定有；④正确．详解：解：①②满足实数与向量积的运算律，故①②正确；③若，不一定有，故③错误；④，则，其中，则，故④正确．故答案为：①②④．名师点评本题考查了向量与实数的运算法则，属于基础题．14、答案设，，则，根据考查向量加法的平行四边法则，可知，再利用等面积法分别确定，，求解即可.详解如图，设，，则，连接，，过点，点作的垂线，垂足分别为点，点，由向量加法的平行四边形法则可知又同理可得∴.故答案为：名师点评本题考查向量加法的平行四边法则，等面积转化法，是解决本题的关键，属于较难的题.15、答案点M是所在平面内的一点，若满足，根据向量的概念，运算求解得：，，再根据与的关系，求出与之比，得出.详解解：记，.又，从而有.名师点评本题考查了向量的几何运算，根据线段的比值，面积的关系求解.16、答案①＝＋＋＝－b＋a＋c.17、答案∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，∴∥且||≠||，∴四边形ABCD为梯形． 18、答案（1）见（2）k＝±1试题分析：(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5.∴，共线．又它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)解：∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a、b是两不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝±1. 19、答案（1），；（2）与共线的向量为：（3）与模相等的向量有：（4）向量与不相等.因为它们的方向不相同.