2022年高考数学一轮复习考点练习38《直线与圆锥曲线的综合问题》(含答案详解)

一轮复习考点练习38《直线与圆锥曲线的综合问题》

一、选择题

1.若直线ax＋by－3=0与圆x2＋y2=3没有公共点，设点P的坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆＋=1的公共点的个数为(　　)

A.0           B.1        C.2           D.1或2

2.已知焦点在x轴上的椭圆方程为＋=1，随着a的增大，该椭圆的形状(　　)

A.越接近于圆

B.越扁

C.先接近于圆后越扁

D.先越扁后接近于圆

3.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　)

A.有且只有一条           B.有且只有两条

C.有且只有三条           D.有且只有四条

4.过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，若|AF|=6，

=λ，则λ的值为(　　)

A.           B.        C.           D.3

5.如图，F1，F2是双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的两个分支分别交于点A，B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为(　　)

A.4         B.          C.         D.

6.直线y=x＋3与双曲线－=1的交点个数是(　　)

A.1           B.2         C.1或2           D.0

7.已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)与直线y=2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)

A.(1，)       B.(1，]     C.(，＋∞)      D.[，＋∞)

8.设F1，F2分别是椭圆＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，

若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为(　　)

A.           B.       C.           D.

9.已知直线y=1－x与双曲线ax2＋by2=1(a＞0，b＜0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值为(　　)

A.－           B.－      C.－           D.－

10.过原点的直线l与双曲线－=－1有两个交点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A.                  B.

C.∪         D.∪

11.已知双曲线－=1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足|AB|=3的直线l有(　　)

A.1条           B.2条         C.3条           D.4条

12.已知双曲线E：－=1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(,-1)，则l的方程为________.

二、填空题

13.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于________.

14.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)，直线l：y=(x－1)，l与C交于A，B两点，若|AB|=，则p=________.

15.已知直线MN过椭圆＋y2=1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点.直线PQ过原点O且与直线MN平行，直线PQ与椭圆交于P，Q两点，则=________.

16.设过抛物线y2=2px(p＞0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y2=8px(p＞0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px(p＞0)的另一个交点为Q，则=________.

0.答案解析

1.答案为：C；

解析：由题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by－3=0的距离为＞，所以a2＋b2＜3.

又a，b不同时为零，所以0＜a2＋b2＜3.

由0＜a2＋b2＜3，可知|a|＜，|b|＜，由椭圆的方程知其长半轴长为2，

短半轴长为，所以P(a，b)在椭圆内部，

所以过点P的一条直线与椭圆＋=1的公共点有2个，故选C.

2.答案为：D；

解析：由题意知4a＞a2＋1且a＞0，解得2－＜a＜2＋，

又e2=1－=1－，因此当a∈(2－，1)时，e越来越大，

当a∈(1，2＋)时，e越来越小.所以椭圆形状变化为先扁后圆.

3.答案为：B；

解析：若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意.

若直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k(x- )，

代入抛物线y2=2x得，k2x2－(k2＋2)x＋k2=0，因为A、B两点的横坐标之和为2.

所以k=±.所以这样的直线有两条.

4.答案为：D；

解析：设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，

则x1＋2=6，解得x1=4，y1=4，

直线AB的方程为y=2(x－2)，令x=－2，得C(－2，－8)，

联立方程解得B(1，－2)，

所以|BF|=1＋2=3，|BC|=9，所以λ=3.

5.答案为：B；

解析：∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|=|AF2|=|BF2|，∠F1AF2=60°.

由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|=2a，∴|BF1|=2a.

又|BF2|－|BF1|=2a，∴|BF2|=4a.∴|AF2|=4a，|AF1|=6a.

在△AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|AF1|2＋|AF2|2－2|AF2|·|AF1|cos 60°，

∴(2c)2=(6a)2＋(4a)2－2×4a×6a×，即c2=7a2，∴e===.故选B.

6.答案为：A；

解析：因为直线y=x＋3与双曲线－=1的一条渐近线y=x平行，

所以它与双曲线只有1个交点.

7.答案为：C；

解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y=x，则由题意得＞2，所以e=＞=.

8.答案为：D；

解析：∵|PF1|=|PQ|，且∠F1PQ=60°，∴△F1PQ为等边三角形，周长为4a，

∴△F1PQ的边长为，在△PF1F2中，|PF1|=，|PF2|=，|F1F2|=2c，

∴()2－()2=(2c)2，即a2=3c2，∴e2==，∴e=.

9.答案为：A；

解析：由双曲线ax2＋by2=1知其渐近线方程为ax2＋by2=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则有ax＋by=0　①，ax＋by=0　②，由①－②得a(x－x)=－b(y－y).

即a(x1＋x2)(x1－x2)=－b(y1＋y2)(y1－y2)，由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，

所以·=－，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM====－，

又知kAB=－1，所以－×(－1)=－，所以=－，故选A.

10.答案为：B；

解析：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程y=kx，将其代入双曲线的方程－=1，

并整理得(3k2－1)x2－9=0.因为直线l与双曲线有两个交点，所以Δ=36(3k2－1)＞0，

所以k2＞，解得k＞或k＜－.

设直线l的倾斜角为α，由直线l的斜率k=tan α(0≤α≤π，且α≠)，

可得α∈∪；

当直线l的斜率不存在，即α=时，直线l为y轴，显然与双曲线有两个交点.故选B.

11.答案为：C；

解析：由双曲线的标准方程可知点F1的坐标为(－，0)，易得过F1且斜率不存在的直线为x=－，该直线与双曲线的交点为，(－，－)，则|AB|=3，

又双曲线的两顶点分别为(－，0)，(，0)，所以实轴长为2，2＜3，

结合图象，由双曲线的对称性可知满足条件的直线还有2条，故共有3条直线满足条件.

12.答案为：2x＋8y＋7=0

解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则有，两式相减得=，即=×.

又线段AB的中点坐标是(,-1)，因此x1＋x2=2×=1，y1＋y2=(－1)×2=－2，

=－，=－，即直线AB的斜率为－，直线l的方程为y＋1=－(x- )，

即2x＋8y＋7=0.

13.答案为：3.

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线l的倾斜角为60°，

则直线l的方程为y－0=(x- )，即y=x－p，联立抛物线方程，

消去y并整理，得12x2－20px＋3p2=0，则x1=p，x2=p，则==3.

14.答案为：2

解析：由消去y，得3x2－(2p＋6)x＋3=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由根与系数的关系，得x1＋x2=，x1x2=1，

所以|AB|=2=2=，所以p=2.

15.答案为：2.

解析：法一：由题意知，直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x=my＋1，

则直线PQ的方程为x=my.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4).

⇒(m2＋2)y2＋2my－1=0⇒y1＋y2=－，y1y2=－.

∴|MN|=|y1－y2|=2·.

⇒(m2＋2)y2－2=0⇒y3＋y4=0，y3y4=－.

∴|PQ|=|y3－y4|=2 .故=2.

法二：取特殊位置，当直线MN垂直于x轴时，易得|MN|==，|PQ|=2b=2，

则=2.

16.答案为：3.

解析：设直线OP的方程为y=kx(k≠0)，

联立得解得P，联立得解得Q，

∴|OP|= =，|PQ|= =，∴==3.