人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质学案，共15页。学案主要包含了性质法求单调性，定义法求单调性，图像法求单调性，利用单调性求参数，奇偶性的判断，利用奇偶性求解析式，单调性与奇偶性的综合运用等内容，欢迎下载使用。
3.2 函数的性质        考法一 性质法求单调性（单调区间）【例1】（2020·全国高一课时练习）函数的减区间是（    ）A． B．C．， D．【答案】C【解析】由图象知单调减区间为，【一隅三反】1.函数的单调递减区间为　　A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的二次项的系数大于零，抛物线的开口向上，二次函数的对称轴是，函数的单调递减区间是 故选：A．2．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　)A. y＝1    B. y＝－ ＋2    C. y＝－x2－2x－1    D. y＝1＋x2【答案】B【解析】y=1 在区间（－∞,0）上不增不减; y=－+2在区间（－∞,0）上单调递增; y=－x2－2x－1在区间（－∞,0）上有增有减; y=1+x2在区间（－∞,0）上单调递减;所以选B.3．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上是(　　)A. 递减函数    B. 递增函数C. 先递减再递增    D. 先递增再递减【答案】C【解析】由于二次函数的开口向上，并且对称轴方程为x=3,所以函数在(2,4)上是先减后增.考法二 定义法求单调性（单调区间）【例2】（2020·全国高一课时练习）求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数.【答案】证明见详解.【解析】证明：在区间上任取，则因为，故可得；又因为，故可得.故，即.故在区间上单调递增.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）证明在其定义域上是增函数.【答案】证明见解析；【解析】证明：函数的定义域为设且，因为，所以，所以，即所以在其定义域上是增函数.2．（2020·浙江高一课时练习）用定义法证明函数在定义域内是减函数．【答案】见解析【解析】设在R上任取两个数x1，x2，且x1>x2；则f（x1）–f（x2）=–x1–（–x2）=–+（x2–x1）=+（x2–x1）=（x1–x2）（–1）∵x1>x2，∴x1–x2>0，–1<0，则f（x1）–f（x2）<0，∴函数在R上是减函数．考法三 图像法求单调性（单调区间）【例3】（2020·全国高一）求下列函数的单调区间．（1）f（x）＝3|x|；（2）f（x）＝|x2＋2x－3|．【答案】（1）减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)；（2）增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；减区间是(－∞，－3]，[－1，1]．【解析】（1）由题意，函数，图象如图所示，所以函数f（x）的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)．（2）令，作出的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方，即可得到函数的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]．【一隅三反】1．（2020·全国高一专题练习）求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．（1）f（x）＝－；（2）f（x）＝（3）f（x）＝－x2＋2|x|＋3.【答案】（1）单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；（2）单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f（x）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；（3）单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f（x）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．【解析】（1）函数f（x）＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．（2）当x≥1时，f（x）是增函数，当x<1时，f（x）是减函数，所以f（x）的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f（x）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．（3）因为f（x）＝－x2＋2|x|＋3＝根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f（x）的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞)．f（x）在(－∞，－1]，[0，1)上是增函数，在(－1，0)，[1，＋∞)上是减函数．考法四 利用单调性求参数【例4】（1）（2020·浙江高一课时练习）若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围 （    ）A． B． C． D．（2）（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知奇函数是定义域上的减函数，若，求实数的取值范围            .【答案】（1）D（2）.【解析】对于，开口向下，对称轴为x=a若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：a<=1；对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像：此时我们可以判断，当a>0时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故a的取值范围是(0,1] （2）由，得，又为奇函数，得，∴，又是定义域上的减函数，所以，所以，所以实数的取值范围为.【一隅三反】1．（2020·开鲁县第一中学高二期末（文））函数在上是减函数．则（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，函数在上是减函数，则有，解可得，故选B．2．（2020·浙江高一课时练习）已知 在区间 上是增函数，则的范围是（     ）A．  B．  C．  D． 【答案】B【解析】∵函数f（x）＝x2+2（a﹣2）x+5的图象是开口方向朝上，以x＝2﹣a为对称轴的抛物线，若函数f（x）＝x2+2（a﹣2）x+5在区间[4，+∞）上是增函数，则2﹣a≤4，解得a≥﹣2．故选：B．3．（2020·全国高一课时练习）若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.故选：A.考法五 奇偶性的判断【例5】（2020·全国高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．（1）f(x)＝2x＋；　　　　　　（2）f(x)＝2－|x|；（3）f(x)＝＋；  （4）f(x)＝.【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既是奇函数又是偶函数；（4）非奇非偶函数.【解析】（1）函数的定义域为，由，所以函数为奇函数（2）函数的定义域为由所以函数为偶函数（3）由，所以函数的定义域为又，所以函数既是奇函数又是偶函数（4）由，所以函数的定义域为因为定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数.【一隅三反】1（2020·全国）判断下列函数的奇偶性:(1);(2);(3);(4).【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数.(2)奇函数.(3)既不是奇函数也不是偶函数.(4)偶函数.【解析】(1)函数的定义域为{且},定义域不关于原点对称,∴该函数既不是奇函数也不是偶函数.(2) 的定义域是.当时,显然,.,是奇函数. (3)的定义域为R.,,.不是偶函数.又,不是奇函数.既不是奇函数也不是偶函数.(4) 的定义域为R.,是偶函数.2．（2020·浙江高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：（1）．（2）．（3）．（4）【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）既是奇函数又是偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数.【解析】（1）由得，∴函数的定义域为，不关于原点对称．故既不是奇函数也不是偶函数．（2）由得，即．∴函数的定义域是，关于原点对称．又，∴既是奇函数又是偶函数．（3）函数的定义域为，关于原点对称．又∵，∴是偶函数． （4）当时，，则，当时，，则综上，对，都有． ∴为奇函数．考法六 利用奇偶性求解析式【例6】（1）（2020·陕西渭滨.高二期末（文））已知是上的奇函数，且当时，，则当时，      。（2）已知函数在R上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是______．【答案】（1）（2）f（x）＝x2+2x【解析】由题意，设，则，则，因为函数为上的奇函数，则，得， 即当时，.（2）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝x2+2x，又f（x）是偶函数，∴当x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x．故答案为：f（x）＝x2+2x．【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.则f(x)在R上的表达式为________．【答案】【解析】因为是奇函数，且定义域为，故当时，；则当时，.故答案为：.2．（2018·上海市澄衷高级中学高一期中）已知偶函数在时的解析式为，则时，的解式为_______.【答案】【解析】当时，，则.函数为偶函数，此时.故答案为：.考法七  利用奇偶性求参数【例7】（1）（2020·全国高一课时练习）函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.（2）（2020·全国高一课时练习）若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为           。（3）（2019·浙江高二期末）若函数f(x)=(a∈R)是奇函数，则a的值为（　　）A．1 B．0 C．－1 D．±1【答案】（1）1（2）1或（3）B【解析】（1）由题意知，区间[2a－3，a]关于原点对称，∴2a－3＝－a，∴a＝1.（2）：∵函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即f（﹣x）＝ax2﹣（2a2﹣a﹣1）x+1＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1，即﹣（2a2﹣a﹣1）＝2a2﹣a﹣1，∴2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或a，（3）由题意，函数是定义域R上的奇函数，根据奇函数的性质，可得，代入可得，解得，故选B.【一隅三反】1．如果定义在区间上的函数为奇函数，则 ___．【答案】8【解析】因为为奇函数由奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点中心对称即解得2．（2019·江苏沭阳.高三期中）已知函数为偶函数，则的值为__________.【答案】【解析】因为函数为偶函数,故,故恒成立.故.故,则.故答案为：3．（2020·全国高一课时练习）判断函数f(x)＝x＋ (a为常数)的奇偶性，并证明你的结论．【答案】为奇函数，证明见解析.【解析】为奇函数，证明如下：的定义域为{x|x≠0}．对于任意x≠0，，∴为奇函数．考法八 单调性与奇偶性的综合运用【例8-1】（2020·宁夏兴庆.银川一中高二期末（文））已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【解析】    为定义在上的偶函数，图象关于轴对称又在上是增函数    在上是减函数    ，即对于恒成立    在上恒成立，即的取值范围为：本题正确选项：【例8-2】（2020·浙江高一课时练习）函数的最大值是：（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】 故函数的最大值为：.故答案为：A.【一隅三反】1．（2020·四川成都高一月考（理））已知函数，则函数的最小值为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】在区间上任取，且，，，，则，，又，，即，函数在上单调递减，同理可证函数在上单调递增，所以函数在处取得最小值，最小值为.故选：C2．（2020·吉林公主岭.高一期末（理））已知是定义在上的奇函数,且.（1）求的解析式；（2）判断在上的单调性,并用定义加以证明.【答案】(1) (2) 在上单调递增.见解析【解析】（1）∵为奇函数,∴,∴.由,得,  ∴. （2）在上单调递增. 证明如下:设,则 ∵,∴,,∴, ∴,∴在上单调递增.3．（2020·浙江高一课时练习）设函数是上的奇函数，当时，．（1）求的表达式．（2）求证在区间上是增函数．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）当时，，∴．∵是奇函数，∴，∴，∴（2）设任意的，，且，则．∵，∴，，∴，∴，∴是上的增函数．