高中数学第四章 数列4.3 等比数列一课一练

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4.3.2  等比数列的前n项和（1）

一、单选题

1．等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，则其前八项之和等于（    ）

A．15    B．21    C．19    D．17

【答案】D

【解析】由已知得，

则

.

故选D.

2．若a，4，3a为等差数列的连续三项，则的值为（    ）

A．2047    B．1062    C．1023    D．531

【答案】C

【解析】∵ a，4，3a为等差数列的连续三项

∴a+3a=4a=2×4，

解得a=2，

故=20+21+22+…+29=．

故选C．

3．已知等比数列｛an｝的公比q=，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a1+a2+a3+a4+…+a100等于（    ）

A．100    B．90    C．60    D．40

【答案】B

【解析】∵，

∴，

∴.

故选B.

4．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为（    ）

A．12       B．14       C．15       D．16

【答案】D

【解析】＝q4＝2，

由a1＋a2＋a3＋a4＝1，

得a1(1＋q＋q2＋q3)＝1，

即a1·＝1，∴a1＝q－1，

又Sn＝15，即＝15，

∴qn＝16，

又∵q4＝2，

∴n＝16.

故选D.

5．在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（    ）

A．    B．    C．   D．

【答案】A

【解析】设等比数列的公比为.

因为数列也是等比数列，所以，

解得：，所以.

故选A.

6．若是一个等比数列的前项和，，，则等于（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】由题意可知，、、成等比数列，即、、成等比数列，

所以，，解得，

故选D.

7．设，则等于（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【解析】数列是首项为2，公比为的等比数列，共有（n+4）项，

所以.

故选D

8．已知一个等比数列的首项为2，公比为3，第m项至第n项（）的和为720，那么m等于（    ）

A．3    B．4    C．5    D．6

【答案】A

【解析】由题意可得Sn﹣Sm﹣1＝am+am+1+…+an＝720，

∵a1＝2，q＝3，

由等比数列的求和公式可得，720，

∴3n﹣3m﹣1＝720，

∴3m﹣1（3n﹣m+1﹣1）＝9×80＝32×5×24，

则3m﹣1≠5×16，

∴3m﹣1＝9，

∴m＝3，

故选A

9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－2(a为常数且a≠0)，则数列{an}（    ）

A．是等比数列       B．当a≠1时是等比数列

C．从第二项起成等比数列     D．从第二项起成等比数列或等差数列

【答案】D

【解析】由数列的前的和，

 可得当，得； 当，得，

 所以数列的通项公式为，

 当时等比数列，

 当时，是等差数列，

故选D．

10．已知数列的前项和为，，，则（    ）

A．128    B．256    C．512    D．1024

【答案】B

【解析】∵Sn+1＝2Sn﹣1（n∈N+），

n≥2时，Sn＝2Sn﹣1﹣1，∴an+1＝2an．

n＝1时，a1+a2＝2a1﹣1，a1＝2，a2＝1．

∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2．

则a101×28＝256．

故选B．

11．在正项等比数列中，，．则满足的最大正整数的值为（    ）

A．10    B．11    C．12    D．13

【答案】C

【解析】∵正项等比数列中，，，

∴.

∵，

解可得，或（舍），

∴，

∵，

∴.

整理可得，，

∴，

经检验满足题意，

故选C．

12．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】D

【解析】设等比数列公比为

当时，，不符合题意，

当时，，

得，又，

由，得，

，

故选D.

二、填空题

13．若数列中，，且，则其前项和______.

【答案】

【解析】依题意，，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，

则.

故填.

14．若等比数列的通项公式是，这个数列的前项之和为______.

【答案】

【解析】由题意可得，且公比为，

因此，该数列的前项和为，

故填.

15．等比数列为非常数数列，其前n项和是，当时，则公比q的值为_____．

【答案】

【解析】，则，，则，

解得或（舍去）.

故填.

16．已知数列的前n项和为，则通项公式为_________．

【答案】

【解析】已知数列的前n项和为，

当时，，

当时，，

而，不适合上式，

所以

故填

17．设Sn是等比数列的前n项和，若＝，则＝________.

【答案】

【解析】设等比数列的公比为q，因为，

所以)．

由＝，得，解得,所以，从而，所以，

故填.

18．已知数列的首项，，，记，若，则正整数的最大值为__________.

【答案】

【解析】因为，所以，设，

得，与比较得，.

所以，

又，所以，所以数列为等比数列，

所以，所以，

所以，

若，则，所以，故正整数的最大值为，

故填.

三、解答题

19．已知等差数列不是常数列，其前四项和为10，且、、成等比数列.

（1）求通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【解析】设等差数列的首项为，公差，

解得：

；

（2） ，

，

是公比为8，首项为的等比数列，

.

20．等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．

（1）求{an}的通项公式；

（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．

【解析】（1）设的公比为q，由题有：

解得：

故

（2）若，则，由得，此方程没有正整数解；

若，则，由得，，

综上：

21．记为数列的前项和.已知.

（1）求的通项公式；

（2）求使得的的取值范围.

【解析】（1）由题知，①，

当时，

当时，②

①减②得，，

故是以为首项，为公比的等比数列，

所以

（2）由（1）知，，

即

等价于

易得随的增大而增大

而，，，

故，

22．已知数列的前项和为，，且对任意的正整数，都有，其中常数．设﹒

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若且，设，证明数列是等比数列；

（3）若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围．

【解析】∵，，

∴当时，，

从而，，﹒

又在中，令，可得，满足上式，

所以，﹒

（1）当时，，，

从而，即，

又，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，

所以．

（2）当且且时，

，

又，

所以是首项为，公比为的等比数列，﹒

（3）在（2）中，若，则也适合，所以当时，．

从而由（1）和（2）可知

当时，，显然不满足条件，故．

当时，．

若时，，，，，不符合，舍去．

若时，，，，，且．

所以只须即可，显然成立．故符合条件；

若时，，满足条件．故符合条件；

若时，，，从而，，

因为．故， 要使成立，只须即可．

于是．

综上所述，所求实数的范围是．