高中人教A版 (2019)6.2 平面向量的运算学案

这是一份高中人教A版 (2019)6.2 平面向量的运算学案，共10页。

1．两向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(OB,\s\up14(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向．
②当θ＝π时，向量a，b反向．
③当θ＝eq \f(π,2)时，向量a，b垂直，记作a⊥b.
2．平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.特别地，零向量与任何向量的数量积等于0.
思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？
[提示] 数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．
3．投影向量
设a，b是两个非零向量，eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(CD,\s\up14(→))＝b，过eq \(AB,\s\up14(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up14(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up14(→))，这种变换为向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up14(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．
4．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cs θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)|a·b|≤|a||b|.
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
思考：a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？
[提示] (a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
1．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(,3),2) C．1 D．－eq \f(1,2)
A [a·b＝1×1×cs 60°＝eq \f(1,2).]
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
C [由条件可知，cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2,1×4)＝eq \f(1,2)，又∵0≤θ≤π，∴θ＝eq \f(π,3).]
3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝eq \r(3)，且a与b的夹角为60°，那么a·b等于________．
eq \r(3) [a·b＝|a||b|cs 60°＝2×eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \r(3).]
4．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是eq \f(2,3)，则a·b为________．
2 [设a与b的夹角为θ，则a在b方向上的投影|a|cs θ＝eq \f(2,3)，所以a·b＝|b||a|cs θ＝3×eq \f(2,3)＝2.]
【例1】 (1)已知单位向量e1，e2的夹角为eq \f(π,3)，a＝2e1－e2，则a在e1上的投影是________．
(2)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求：
①(a＋b)·(a－b)；
②(2a＋b)·(a－b)．
[思路探究] 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．
(1)eq \f(3,2) [设a与e1的夹角为θ，则a在e1上的投影为|a|cs θ＝eq \f(a·e1,|e1|)＝a·e1＝(2e1－e2)·e1
＝2eeq \\al(2,1)－e1·e2
＝2－1×1×cseq \f(π,3)＝eq \f(3,2).]
(2)[解] ①(a＋b)·(a－b)
＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91.
②因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°，
所以a·b＝10×3×cs 120°＝－15，
所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2
＝200＋15－9＝206.
求平面向量数量积的步骤
(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；
(2)分别求|a|和|b|；
(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cs θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
求投影的两种方法：
(1)b在a方向上的投影为|b|cs θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cs θ.
(2)b在a方向上的投影为eq \f(a·b,|a|)，a在b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|).
1．(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求：
①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)．
(2)设正三角形ABC的边长为eq \r(,2)，eq \(AB,\s\up14(→))＝c，eq \(BC,\s\up14(→))＝a，eq \(CA,\s\up14(→))＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
[解] (1)①a·b＝|a||b|cs θ＝2×3×cs 60°＝3.
②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22＋5×3－3×32＝－4.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝eq \r(,2)，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝eq \r(,2)×eq \r(,2)×cs 120°×3＝－3.
【例2】 (1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝eq \r(10)，求|b|.
[思路探究] 灵活应用a2＝|a|2求向量的模．
(1)2eq \r(3) [|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2·|a|·|2b|·cs 60°＋(2|b|)2
＝22＋2×2×2×eq \f(1,2)＋22＝4＋4＋4＝12，
所以|a＋2b|＝eq \r(12)＝2eq \r(3).]
(2)[解] 因为|2a＋b|＝eq \r(10)，
所以(2a＋b)2＝10，
所以4a2＋4a·b＋b2＝10.
又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，
所以4×12＋4×1×|b|×eq \f(\r(2),2)＋|b|2＝10，
整理得|b|2＋2eq \r(2)|b|－6＝0，
解得|b|＝eq \r(2)或|b|＝－3eq \r(2)(舍去)．
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq \r(a2)，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
2．若向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|a－2b|＝eq \r(7)，则|b|＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(7),2) C．1 D．2
C [设向量a，b的夹角为θ，因为|a－2b|2＝|a|2＋4|b|2－4|a||b|cs θ，
又θ＝120°，|a|＝1，|a－2b|＝7，
所以7＝1＋4|b|2＋2|b|，解得|b|＝－eq \f(3,2)(舍去)或|b|＝1.故选C.]
[探究问题]
1．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
[提示] a⊥b⇔a·b＝0.
2．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
[提示] |a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cs θ.
两边取绝对值得：
|a·b|＝|a||b||cs θ|≤|a||b|.
当且仅当|cs θ|＝1，
即cs θ＝±1，θ＝0°或π时，取“＝”，
所以|a·b|≤|a||b|，
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
【例3】 (1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________．
(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
[思路探究] (1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同．
(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a|与|b|的关系，再求a与b的夹角．
(1)(0,1)∪(1，＋∞) [∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
＝keeq \\al(2,1)＋keeq \\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2
＝2k＞0，∴k＞0.
当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.]
(2)[解] 由已知条件得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋3b·7a－5b＝0，,a－4b·7a－2b＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7a2＋16a·b－15b2＝0， ①,7a2－30a·b＋8b2＝0， ②))
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，
∴|a|＝|b|，∴cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq \f(1,2).
∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(π,3).
1．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．
[解] ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq \\al(2,1)＋keeq \\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，
∴k＜0.
当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1.
2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“eq \f(π,3)”，求k的值．
[解] 由已知得|e1＋ke2|＝eq \r(e\\al(2,1)＋2ke1·e2＋k2e\\al(2,2))＝eq \r(1＋k2)，
|ke1＋e2|＝eq \r(k2e\\al(2,1)＋2ke1·e2＋e\\al(2,2))＝eq \r(k2＋1)，
(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq \\al(2,1)＋keeq \\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k，
则cseq \f(π,3)＝eq \f(e1＋ke2ke1＋e2,|e1＋ke2||ke1＋e2|)＝eq \f(2k,1＋k2)，
即eq \f(2k,1＋k2)＝eq \f(1,2)，整理得k2－4k＋1＝0，
解得k＝eq \f(4±\r(12),2)＝2±eq \r(3).
1．求向量夹角的方法
(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求解．
(2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解．
(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．
2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cs θ＞0时，θ∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))；当cs θ＜0时，θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，当cs θ＝0时，θ＝eq \f(π,2).
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0≤θ＜eq \f(π,2)时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，eq \f(π,2)＜θ≤π时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝eq \f(π,2)时)．
2．两非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝eq \r(,a2).
3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别
(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：
①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.
(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cs θ|，而|cs θ|≤1.
(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.
(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.
1．判断正误
(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0.( )
(3)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b.( )
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
B [因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，所以选B.]
3．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影为________．
eq \f(12,5) [设a与b的夹角为θ，
因为a·b＝|a||b|cs θ＝12，
又|b|＝5，所以|a|cs θ＝eq \f(12,5)，
即a在b方向上的投影为eq \f(12,5).]
4．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|.
[解] a·b＝|a||b|cs θ＝5×5×eq \f(1,2)＝eq \f(25,2).
|a＋b|＝eq \r(,a＋b2)
＝eq \r(,|a|2＋2a·b＋|b|2)
＝eq \r(,25＋2×\f(25,2)＋25)＝5eq \r(,3).
|a－b|＝eq \r(,a－b2)
＝eq \r(,|a|2－2a·b＋|b|2)
＝eq \r(,25－2×\f(25,2)＋25)＝5.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.平面向量的数量积．(重点)
2.投影向量的概念．(难点)
3.向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)
1.通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养数学建模和数学抽象的核心素养.
2.通过向量数量积的运算学习，提升数学运算和数据分析的核心素养.
向量数量积的计算及投影
与向量模有关的问题
与向量垂直、夹角有关的问题