2020-2021学年安徽省宿州市高一（上）期中考试数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年安徽省宿州市高一（上）期中考试数学试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知全集U=−1,0,1,2,3,4,5,6，集合A=0,2,3，B=1,4,6,则A∩∁UB=（ ）
A.−1,0,2,3,5B.0,2,3,5C.0,2,3D.−1,0,2,3

2. 函数fx=x0+1x+1的定义域是（ ）
A.[−1,+∞)B.−1,+∞C.[−1,0)∪(0,+∞)D.−1,0∪0,+∞

3. 下列函数是减函数的是（ ）
A.fx=2xB.fx=1xC.fx=12xD.fx=x+1x

4. 已知函数fx=1−2x, x≥0,x2+x, x<0,则ff−2=（ ）
A.2B.3C.−3D.−2

5. 定义在R上的函数fx满足fx+f−x=0，当x∈0,+∞时， fx=2x−1，则f−3+f0的值等于（ ）
A.−4B.116C.−116D.4

6. 若函数fx=ax,x<0,2a−1x+3a,x≥0是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A.0,12B.13,12C.0,13D.(0,13]

7. 已知a=265，b=343，c=1613，则a，b，c的大小关系为( )
A.a
8. 近几年宿州市经济发展日新月异，在过去的几年宿州市GDP有着快速的增长，其中2017年GDP总量1530.9亿元，增速9.1%；2018年GDP总量1630.2亿元，增速8.5%；2019年GDP总量1978.8亿元，增速8.7%；2020年受疫情影响经济仍然实现正增长，上半年的GDP总量941.3亿元，增速1.2%．随着中国经济的强劲复苏及经济“双循环”释放的强大动能，宿州经济有望恢复正常，继续保持高速增长．现在预计2021年底宿州市GDP总量a亿元，GDP增速重回9%，且随后若干年增速保持不变，则到2035年底，中国基本实现现代化之际，宿州市的GDP总量约为（ ）亿元．

9. 函数fx=ex−e−x2x|x|的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

10. 已知幂函数fx=m2−4m+4xm2−m−6m∈R，对任意x1,x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有x1−x2fx1−fx2<0，则f−3，f−1，fπ的大小关系是（ ）
A.fπC.f−3
11. 设x为任一实数， x表示不超过x的最大整数， ⟨x⟩表示不小于x的最小整数，例如1.1=1，−1.1=−2， ⟨0.9⟩=1，⟨−0.9⟩=0，那么“a=⟨b⟩”是“a≥b”的（ ）
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

12. 若对任意满足a+b=8的正数a，b都有1a+1+4b≥x+11−x成立，则实数x的取值范围是（ ）
A.[0,1)B.1,+∞C.(−∞,0]∪(1,+∞)D.−∞,0∪1,+∞
二、填空题

已知lg(x+1)2x2+1=2 ，则x=________.

计算19−12+2lg32−lg349=________.

函数f(x)=ax−2+3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，点P在幂函数gx的图象上，则g3=________.

已知函数 f(x)=(x+1)2, x∈(−∞,1),2x, x∈[1,+∞),若存在实数x1,x2,x3，当x1三、解答题

已知集合A=x|a−1≤x≤a ，B=x|x2−2x−8≤0．
(1)若A∪B=B，求实数a的取值范围；

(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．

已知函数fx为二次函数，满足f−1=f3=9,且f0=3．
(1)求函数fx的解析式：

(2)设gx=fx−mx在1,3上是单调函数，求实数m的取值范围．

已知函数fx=axx2−1a≠0.
(1)判断函数fx的奇偶性并给予证明；

(2)若函数fx满足f2−f12=4，判断函数fx在区间1,+∞的单调性，并用单调性的定义证明．

命题p：关于x的方程m+1x2−2x+m−1=0有实数解；
命题q:∀x∈[0,+∞），关于x的不等式12x+13x+m>0都成立；
若命题p和命题q都是真命题，则实数m的取值范围．

设函数fx是定义在R上的奇函数，且对∀a,b∈R，a≠b，都有fa−fba−b>0成立．
(1)解关于x的不等式fx2−1>f4x；

(2)若对于∀m∈−1,1，都有fmx2+2+fmx>0成立，求实数x的取值范围．

已知函数fx对一切x，y都有fx+y−fy=xx+2y+1+2成立，且f1=0．
(1)求函数fx的解析式：

(2)若x∈−1,0，函数gx=14f(x)x+m+12x−2m，是否存在实数m使得函数gx的最小值为14，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省宿州市高一（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
先求出补集B，再利用交集的运算进行求解即可得.
【解答】
解：∵ 全集U=−1,0,1,2,3,4,5,6,
集合A=0,2,3，B=1,4,6,
∴ ∁UB={−1,0,2,3,5},
∴ A∩∁UB={0,2,3}.
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
要使函数fx=x0+1x+1有意义，则x≠0且x+1>0，求解即可.
【解答】
解：要使函数fx=x0+1x+1有意义，
则x≠0且x+1>0，
解得x>−1且x≠0，
∴ 函数的定义域为 −1,0∪0,+∞.
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
函数单调性的判断与证明
【解析】
逐项判定即可.
【解答】
解：对于A，为增函数，故错误；
对于B，不是在定义域内单调，故错误；
对于C，由指数函数的性质可得为减函数，故正确；
对于D，不是在定义域内单调，故错误.
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f(−2)=(−2)2+(−2)=4−2=2,
∴ f(f(−2))=f(2)=1−22=1−4=−3.
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
函数的求值
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ f(x)+f(−x)=0，∴ f(−x)=−f(x)，∴ f(x)为奇函数.
∵ 当x∈(0,+∞)时，f(x)=2x−1，
∴ f(−3)=−f(3)=−22=−4.
∵ f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)=0，
∴f(−3)+f(0)=−4.
故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
函数的单调性及单调区间
分段函数的应用
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
令各段均为减函数，再比较端点值即可求解.
【解答】
解：由题意得0解得0故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
指数函数的性质
幂函数的性质
【解析】
利用指数函数和幂函数的单调性求解即可.
【解答】
解：c=1613=243，
∵ y=x43在0,+∞上单调递增，
∴ b=343>c=243；
又y=2x在R上单调递增，
∴ c=243>a=265，
∴ b>c>a.
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
整数指数幂
【解析】

【解答】
解：由题意，2035年底，宿州市的GDP总量约为
a(1+9%)14=1.0914a.
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
函数的图象
函数奇偶性的判断
【解析】
分析可得f(x)为偶函数，排除A、C，根据定义域x≠0排除B．
【解答】
解：f(−x)=e−x−ex2(−x)|−x|=ex−e−x2x|−x|=f(x)，
即函数为偶函数，排除AC；
根据题意f(−x)=ex−e−x2x|−x|，定义域{x|x≠0}，排除B.
故选D．
10.
【答案】
A
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
函数奇偶性的性质
奇偶性与单调性的综合
函数单调性的性质
【解析】
∵ fx=m2−4m+4xm2−m−6为幂函数，
∴ m2−4m+4=1，
(m−2)2=1，
所以m=1或m=3，
当m=3时，f(x)=x0=1，故舍去；
∴ m=1，
∴ f(x)=1x6，
函数定义域(−∞,0)∪(0,+∞)且f(x)=f(−x)
∴ f(x)为偶函数，
∴ f(−3)=f(3)，f(−1)=f(1)，
∵ 对任意x1，x2∈(0,+∞)，都有x1−x2fx1−fx2<0，
∴ f(x)在(0,+∞)单调递减，
∴ f(π)∴ f(π)【解答】
解：∵ fx=m2−4m+4xm2−m−6为幂函数，
∴ m2−4m+4=1，
(m−2)2=1，
∴ m=1或m=3，
当m=3时，f(x)=x0=1(舍去)，
∴ m=1，∴ f(x)=x−6，
函数定义域(−∞,0)∪(0,+∞)且f(x)=f(−x)，
∴ f(x)为偶函数，
∴ f(−3)=f(3)，f(−1)=f(1)，
∵ 对任意x1，x2∈(0,+∞)，都有x1−x2fx1−fx2<0，
∴ f(x)在(0,+∞)上单调递减，
∴ f(π)∴ f(π)故选A．
11.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】

【解答】
解：设[a]=⟨b⟩=k，
由[x]定义知：a≥k①，
由⟨x⟩定义知，b≤k②，
由①②知，b≤k≤a，即a≥b，
∴ [a]=⟨b⟩⇒a≥b.
取a=2.2，b=2.1，满足a≥b，
[2.2]=2，⟨2.1⟩=3，
∴ [a]≠⟨b⟩，
∴"[a]=⟨b⟩"是"a≥b"的充分不必要条件.
故选B.
12.
【答案】
C
【考点】
基本不等式
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1a+1+4b=19(1a+1+4b)[(a+1)+b]
=19[1+ba+1+4(a+1)b+4]
≥19[5+2ba+1×4(a+1)b]=19×9=1，
当且仅当4(a+1)2=b2时，即a=2，b=6时取等号，
根据题意x+11−x≤(1a+1+4b)min，
即x+11−x≤1，
化简得2x1−x≤0，
所以x≤0或x>1.
故选C.
二、填空题
【答案】
2
【考点】
对数的运算性质
【解析】
由题意得到(x+1)2=2x2+1且x+1>0且x+1≠1，求解即可.
【解答】
解：方程lg(x+1)2x2+1=2 ，
等价于(x+1)2=2x2+1且x+1>0且x+1≠1，
由(x+1)2=2x2+1可得：x(x−2)=0，
解得x=0或x=2，
当x=0时，x+1=1，故舍去，
故x=2.
故答案为：2.
【答案】
5
【考点】
分数指数幂
对数及其运算
【解析】
利用对数与指数的运算求解即可.
【解答】
解：19−12+2lg32−lg349
=912+lg322−lg349
=3+lg3(4×94)
=3+lg39
=3+2
=5.
故答案为：5.
【答案】
9
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
指数函数的单调性与特殊点
函数的求值
【解析】
令幂指数等于零，求得x、y的值，可得定点的坐标．再根据定点在幂函数gx的图象上，求得gx的解析式．
【解答】
解：∵ 函数f(x)=ax−2+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，
令x−2=0，
求得x=2，y=1+3=4，
∴ 点P坐标为2,4.
若点P在幂函数gx=xa的图象上，
则4=2a，
∴ a=2，
∴ gx=x2，
∴ g3=32=9.
故答案为：9.
【答案】
(−8,4]
【考点】
分段函数的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：函数f(x)图像如图所示，
令f(x1)=f(x2)=f(x3)=t，
则y=f(x)与y=t有3个交点，
∴t∈[2,4).
∵x1∴x1，x2在二次函数y=(x+1)2即y=x2+2x+1上，
则x1+x2=−2.
f(x3)=t∈[2,4)即2≤f(x3)<4，
∴−8<−2f(x3)≤−4，
即−8<(x1+x2)f(x3)≤−4，
∴(x1+x2)⋅f(x3)取值范围为(−8,−4].
故答案为：(−8,4].
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ A={x|a−1≤x≤a}，
B=x|x2−2x−8≤0=x|−2≤x≤4，
若A∪B=B，则A⊆B，
∴ a−1≥−2,a≤4,
即−1≤a≤4 ．
(2)A∩B=⌀，则a<−2或a−1>4，解得a<−2，或a>5．
【考点】
集合关系中的参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ A={x|a−1≤x≤a}，
B=x|x2−2x−8≤0=x|−2≤x≤4，
若A∪B=B，则A⊆B，
∴ a−1≥−2,a≤4,
即−1≤a≤4 ．
(2)A∩B=⌀，则a<−2或a−1>4，解得a<−2，或a>5．
【答案】
解：(1)设函数fx=ax2+bx+ca≠0．
∵ f−1=f3=9，且f0=3，
∴ a−b+c=9，9a+3b+c=9，c=3， 解得 a=2，b=−4，d=3，
∴ fx=2x2−4x+3．
(2)由(1)gx=2x2−4+mx+3，
其对称轴为x=4+m4=1+m4.
∵ gx=fx−mx在1,3上是单调函数，
∴ 1+m4≥3或1+m4≤1，
解得： m≥8或m≤0．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
二次函数的性质
函数单调性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设函数fx=ax2+bx+ca≠0．
∵ f−1=f3=9，且f0=3，
∴ a−b+c=9，9a+3b+c=9，c=3， 解得 a=2，b=−4，d=3，
∴ fx=2x2−4x+3．
(2)由(1)gx=2x2−4+mx+3，
其对称轴为x=4+m4=1+m4.
∵ gx=fx−mx在1,3上是单调函数，
∴ 1+m4≥3或1+m4≤1，
解得： m≥8或m≤0．
【答案】
解：(1)函数y=fx是奇函数，
证明如下：y=fx定义域为x|x≠±1，
又f−x=a−x−x2+1=−axx2+1=−fx，
∴ y=fx是定义在x|x≠±1的奇函数.
(2)∵ f2−f12=4,即 2a3−12a122−1=43a=4 ，解得： a=3.
∴ fx=3xx2−1，
设x1,x2∈1,+∞且x1fx1−fx2=3x1x12−1−3x2x22−1
=3x1(x22−1)−3x2(x12−1)(x12−1)(x22−1)
=3(x1x2+1)(x2−x1)(x12−1)(x22−1)
∵ x1,x2∈1,+∞且x1∴ x12−1>0，x22−1>0，x1x2−1>0，x2−x1>0，
∴ fx1>fx2，
∴ y=fx在区间1,+∞单调递减．
【考点】
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)函数y=fx是奇函数，
证明如下：y=fx定义域为x|x≠±1，
又f−x=a−x−x2+1=−axx2+1=−fx，
∴ y=fx是定义在x|x≠±1的奇函数.
(2)∵ f2−f12=4,即 2a3−12a122−1=43a=4 ，解得：
∴ fx=3xx2−1，
设x1,x2∈1,+∞且x1fx1−fx2=3x1x12−1−3x2x22−1
=3x1(x22−1)−3x2(x12−1)(x12−1)(x22−1)
=3(x1x2+1)(x2−x1)(x12−1)(x22−1)
∵ x1,x2∈1,+∞且x1∴ x12−1>0，x22−1>0，x1x2−1>0，x2−x1>0，
∴ fx1>fx2，
∴ y=fx在区间1,+∞单调递减．
【答案】
解：命题p：关于x的方程m+1x2−2x+m−1=0在x∈R有解，
讨论如下：
①m=−1显然成立；
②m≠−1时，Δ=−22−4m+1m−1≥0，整理的2−m2≥0.
解得：−2≤m≤2，且m≠−1，
∴ 命题p为真命题时，−2≤m≤2；
∴ 命题q：∀x∈[0,+∞），关于x的不等式12x+13x+m>0都成立.
令g(x)=(12)x+(13)x+m,x∈[0,+∞)
函数y=g(x)在[0,+∞）单调递减，
g(x)∈(m,2+m]，
不等式12x+13x+m>0恒成立，
∴ m≥0.
因为命题p和命题q都是真命题，所以m的取值范围[0,2]．
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：命题p：关于x的方程m+1x2−2x+m−1=0在x∈R有解，
讨论如下：
①m=−1显然成立；
②m≠−1时，Δ=−22−4m+1m−1≥0，整理的2−m2≥0.
解得：−2≤m≤2，且m≠−1，
∴ 命题p为真命题时，−2≤m≤2；
∴ 命题q：∀x∈[0,+∞），关于x的不等式12x+13x+m>0都成立.
令g(x)=(12)x+(13)x+m,x∈[0,+∞)
函数y=g(x)在[0,+∞）单调递减，
g(x)∈(m,2+m]，
不等式12x+13x+m>0恒成立，
∴ m≥0.
因为命题p和命题q都是真命题，所以m的取值范围[0,2]．
【答案】
解：(1)由题设知函数y=fx是定义在R上的增函数，
由fx2−1>f4x得：x2−1>4x，解得：x>2+5或x<2−5，
所以不等式的解集是{x|x>2+5或x<2−5}.
(2)∵ fx是定义在R的奇函数且单调递增，
∴ 不等式fmx2+2+fmx>0等价于fmx2+2>−fmx=f−mx，
∴ mx2+2>−mx对于∀m∈−1,1都成立，
∴ x2+x+2>0,−x2−x+2>0,解得−2∴ 实数x的取值范围为−2【考点】
函数单调性的性质
一元二次不等式的解法
奇偶性与单调性的综合
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题设知函数y=fx是定义在R上的增函数，
由fx2−1>f4x得：x2−1>4x，解得：x>2+5或x<2−5，
所以不等式的解集是{x|x>2+5或x<2−5}.
(2)∵ fx是定义在R的奇函数且单调递增，
∴ 不等式fmx2+2+fmx>0等价于fmx2+2>−fmx=f−mx，
∴ mx2+2>−mx对于∀m∈−1,1都成立，
∴ x2+x+2>0,−x2−x+2>0,解得−2∴ 实数x的取值范围为−2【答案】
解：(1)令y=1得：fx+1−f1=xx+3+2，
∴ fx+1=xx+3+2.
令t=x+1，则x=t−1，
∴ ft=t−12+3t−1+2=t2+t，
∴ 函数fx的解析式为：fx=x2+x ．
(2)由(1)得：
gx=14x2+xx+m+12x−2m
=1414x+m+12x−2m.
令t=12xx∈[−1,0) ,
∴ t∈1,2.
则问题转化为函数：
ℎ(t)=14t2+(m+1)t−2m，t∈(1,2]时，当ℎ(t)min=14，求m的值.
函数ℎt对称轴t=−2m+1，讨论如下：
①当t=−2m+1≤1，即m≥−32时，函数ℎt无最小值，故不成立；
②当 t=−2m+1≥2,即m≤−2时，
函数ℎt在 (1,2]上单调递减，ℎ(t)min=ℎ2=3≠14，无解;[
③当1ymin=ℎ−2m+1=−2m−m+12=14，得m=−4±112，
∵ −4±112 ∉,(−2,−32]，∴ 不成立.
综上不存在实数m使得gx的最小值为14．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数最值的应用
函数恒成立问题
二次函数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)令y=1得：fx+1−f1=xx+3+2，
∴ fx+1=xx+3+2.
令t=x+1，则x=t−1，
∴ ft=t−12+3t−1+2=t2+t，
∴ 函数fx的解析式为：fx=x2+x ．
(2)由(1)得：
gx=14x2+xx+m+12x−2m
=1414x+m+12x−2m.
令t=12xx∈[−1,0) ,
∴ t∈1,2.
则问题转化为函数：
ℎ(t)=14t2+(m+1)t−2m，t∈(1,2]时，当ℎ(t)min=14，求m的值.
函数ℎt对称轴t=−2m+1，讨论如下：
①当t=−2m+1≤1，即m≥−32时，函数ℎt无最小值，故不成立；
②当 t=−2m+1≥2,即m≤−2时，
函数ℎt在 (1,2]上单调递减，ℎ(t)min=ℎ2=3≠14，无解;[
③当1ymin=ℎ−2m+1=−2m−m+12=14，得m=−4±112，
∵ −4±112 ∉,(−2,−32]，∴ 不成立.
综上不存在实数m使得gx的最小值为14．