2021届广东省肇庆市高三数学二模试卷及答案

这是一份2021届广东省肇庆市高三数学二模试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三数学二模试卷一、单项选择题1.图中阴影局部所对应的集合是〔    〕  A.        B.        C.        D. 2.在复平面内，复数 〔 为虚数单位〕，那么 对应的点的坐标为〔    〕            A.                             B.                             C.                             D. 3.函数 为奇函数，那么 〔    〕            A. -1                                         B.                                          C.                                          D. 14.牙雕套球又称“鬼工球〞，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高.明代曹昭在?格古要论·珍奇·鬼工毬?中写道：“尝有象牙圆毬儿一箇，中直通一窍，内车数重，皆可转动，故谓之鬼工毬〞.现有某“鬼工球〞，由外及里是两层外表积分别为 和 的同心球〔球壁的厚度忽略不计〕，在外球外表上有一点 ，在内球外表上有一点 ，连接线段 .假设线段 不穿过小球内部，那么线段 长度的最大值是〔    〕  A. cm                                   B. 9cm                                   C. 3cm                                   D. 2cm5.二项式 的展开式的常数项为60，那么 的值为〔    〕            A. 2                                         B. -2                                         C. ±2                                         D. ±36.曲线 在 处的切线方程为〔    〕            A.                 B.                 C.                 D. 7.角 的顶点与坐标原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边与以 为圆心的单位圆相交于 点.假设 的横坐标为 ，那么〔    〕            A.                  B.                  C.                  D. 8. ， 分别为双曲线 ： 〔 ， 〕的左、右焦点， 为坐标原点，在双曲线 存在点 ，使得 ，设 的面积为 .假设 ，那么该双曲线的离心率为〔    〕            A.                                        B.                                        C.                                        D. 二、多项选择题9.某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度〔单位：厘米〕，将所得数据分成6组： ， ， ， ， ， ，得到如右所示的频率分布直方图，那么对这100件产品，以下说法中正确的选项是〔    〕  A.                                                             B. 长度落在区间 内的个数为35
C. 长度的众数一定落在区间 内                  D. 长度的中位数一定落在区间 内10.函数 〔 〕的局部图象如下列图，那么 〔    〕 A.                  B.                  C.                  D. 11.两种不同型号的电子元件〔分别记为 ， 〕的使用寿命均服从正态分布， ， ，这两个正态分布密度曲线如下列图〔    〕  参考数据：假设 ，那么 ， A. 
B. 
C. 
D. 对于任意的正数 ，有 12.在长方体 中， ， ， 是线段 上的一动点，那么以下说法正确的选项是〔    〕            A. 平面
B. 与平面 所成角的正切值的最大值是
C. 的最小值为
D. 以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长是 三、填空题13.写出一个与向量 共线的向量：________.    14.设函数 ，假设 ，那么 ________.    15.点 是抛物线 上的一个动点，那么点 到点 的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为________.    16.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列〞，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵〔如梅花、飞燕草、万寿菊等〕的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列 满足： ， ，那么 是斐波那契数列 中的第________ 项.    四、解答题17.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .    〔1〕求角 ；    〔2〕假设 ， ，求 的面积.    18.数列 的前 项和为 ， ， .    〔1〕求证： 是等差数列；    〔2〕求数列 中最接近2021的数.    19.为落实中央“坚持五育并举，全面开展素质教育，强化体育锻炼〞的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛.规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束.假设每局比赛小明获胜的概率都是 .    〔1〕求比赛结束时恰好打了7局的概率；    〔2〕假设现在是小明6：2的比分领先，记 表示结束比赛还需打的局数，求 的分布列及期望.    20.如图，在四边形 中， ， ， ， .沿 将 翻折到 的位置，使得 .  〔1〕作出平面 与平面 的交线 ，并证明 平面 ；    〔2〕点 是棱 于异于 ， 的一点，连接 ，当二面角 的余弦值为 ，求此时三棱锥 的体积.    21.椭圆 ： 〔 〕的离心率为 ， 的长轴是圆 ： 的直径.    〔1〕求椭圆的标准方程；    〔2〕过椭圆 的左焦点 作两条相互垂直的直线 ， ，其中 交椭圆 于 ， 两点， 交圆 于 ， 两点，求四边形 面积的最小值.    22.函数 .    〔1〕当 时，讨论 的单调性；    〔2〕设 是函数 的导函数，讨论函数 在 上的零点个数.   
答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】图中阴影局部所对应的集合是两局部集合的并集， 即 ，故答案为：C 
【分析】根据题意由集合的韦恩图示结合集合交、并、补的定义即可得出答案。2.【解析】【解答】因为 ，所以 ， 所以复数 所对应的点的坐标为 .故答案为：D. 
【分析】由复数的运算性质化简整理再由复数的定义以及复数的几何意义即可得出答案。3.【解析】【解答】解：函数的定义域为 且 因为 为奇函数，所以定义域关于原点对称，那么 ，所以 ，因为 ，满足 为奇函数，故答案为：D. 【分析】首先求出函数的定义域再由奇函数的定义计算出a的值即可。4.【解析】【解答】因为外球的外表积为 ，内球的外表积为 ， 所以外球的半径为 ，内球的半径为 ，如图，以外球外表上一点 、内球外表上有一点 以及球心 作截面，因为线段 不穿过小球内部，所以当线段 与内球相切时线段 的长度最大，那么线段 最长为 ，故答案为：C. 【分析】根据题意由球的外表积公式求出半径的值，结合题意所以当线段 与内球相切时线段 的长度最大，结合勾股定理计算出答案。5.【解析】【解答】 ，令 ，所以 . 令 ，解得 ，故答案为：C. 
【分析】首先由二项式定理求出二项展开式的通项公式，根据题意令求出r的值，并把其值代入到通项公式计算出结果即可。6.【解析】【解答】 ， ， ，故切线方程为 ，即 . 故答案为：A. 
【分析】根据题意对函数求导再把x=1代入导函数的解析式计算出导函数的值，即为切线的斜率再由点斜式求出直线的方程。7.【解析】【解答】由三角函数的定义，可知 ， ，那么 ， 、 均有两解 故答案为：B. 
【分析】根据题意由任意角的三角函数的定义，结合题意代入数值计算出正余弦的值，再结合二倍角的正余弦以及正切公式计算出结果即可。8.【解析】【解答】由 ，得 . 设 ， .由 ，得 ，即 .又 ，即 ，所以 ，所以 ，故答案为：A. 【分析】根据题意由双曲线的定义结合三角形内的几何计算关系由勾股定理整理求出， 再由双曲线里a、b、c的关系结合离心率的公式由整体思想求出答案即可。二、多项选择题9.【解析】【解答】对于A，由频率和为1，得 ，解得 ， 所以A符合题意.对于B，长度落在区间 内的个数为 ，所以B符合题意.对于C，频率分布直方图上不能判断长度众数所在区间，不一定落在区间 内，所以C不符合题意.对于D， 有45个数， 内有20个数，所以长度的中位数一定落在区间 内，所以D符合题意.故答案为：:ABD. 
【分析】根据题意 由频率之和为1，即可求出b的值，利用区间[93，94〕的频率乘以总数即可得到长度落在区间[93，94〕的个数，众数不一定落在区间[93，94〕内，根据频率的和即可判断中位数一定落在区间[93，94〕内．10.【解析】【解答】根据图象，可得 ，设 的最小正周期为 那么 ，解得 ，所以 .将最低点的坐标 代入 中得 ，那么 〔 〕解得 〔 〕，所以 .令 ，那么 故答案为：BC. 【分析】首先结合条件求出函数的周期进而求出的值，再由点的坐标代入函数的解析式计算出的值由此得到函数的解析式。11.【解析】【解答】对于A， ，A选项正确； 对于B，由正态分布密度曲线，可知 ，所以 ，B选项正确；对于C，由正态分布密度曲线，可知 ，所以 ，C选项错误；对于D，对于任意的正数 ，由图像知 表示的面积始终大于 表示的面积，所以 ，D选项正确故答案为：ABD. 【分析】 根据题意结合的性质由条件可得正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，σ越小图象越瘦长，然后逐一分析四个选项得答案．12.【解析】【解答】对于A，在长方体 中， 且 ， 且 ， 且 ，所以，四边形 为平行四边形，那么 ，平面 ， 平面 ， 平面 ，同理可证 平面 ，，所以，平面 平面 ，平面 ，所以， 平面 ，A选项正确；对于B， 平面 ，所以， 与平面 所成角为 ，，所以，当 时， 与平面 所成角的正切值的最大，由勾股定理可得 ，由等面积法可得 ，所以， 的最大值为 ，B选项错误；对于C，将 沿 翻折与 在同一平面，如以下列图所示：在 中， 为直角， ， ，在 中， ， ，由余弦定理可得 ，那么 为锐角，可得 ，，由余弦定理可得 ，此时 ，因此， 的最小值为 ，C选项正确；对于D，设 是以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线上的一点，由于 平面 ， 平面 ， ，，所以交线为以 为圆心， 为半径的四分之一圆周，所以交线长是 ，D选项正确.故答案为：ACD. 
【分析】 利用棱柱的结构特征，通过平面与平面平行，推出直线与平面平行，判断出选项A正确；利用直线与平面所成角由此判断出选项B错误；判断A1P+PC的最小值，判断出选项C正确；通过交线的轨迹，判断出选项D正确，由此得出答案。三、填空题13.【解析】【解答】与向量 共线的向量为 〔写出其中一个即可〕. 取 ，可得出一个与向量 共线的向量为 .故答案为： 〔答案不唯一，满足 即可〕. 
【分析】由向量共线的坐标公式代入数值计算出的值由此得出结果即可。14.【解析】【解答】∵ ， ∴ .当 时，即 时， ，那么 ，与 相矛盾，应舍去.当 ，即 时， ，那么 ，即 ，满足 时.故答案为： . 
【分析】由分段函数的性质选择适宜的解析式计算出a的值即可。15.【解析】【解答】设点 在抛物线的准线的投影为点 ，抛物线的焦点为 ，那么 . 依抛物线的定义，知点 到该抛物线的准线的距离为 ，那么点 到点 的距离与到该抛物线的准线的距离之和.故答案为： . 【分析】根据题意 设点P在抛物线的准线的投影为点M，然后由抛物线的定义可得|PM|=|PF|，再利用三点共线即可求解．16.【解析】【解答】依题意，得 ， 故答案为：2022 
【分析】根据题意由条件的递推公式整理化简计算出答案即可。四、解答题17.【解析】【分析】(1)结合正弦定理整理化简的代数式即可得到， 再由余弦定理代入数值计算出cosC的值，结合角的取值范围即可求出角C的值。
(2)由余弦定理整理得到关于a与b的方程组求解出其值，再把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。18.【解析】【分析】(1)根据题意由数列前n项和公式整理得到数列的通项公式，由此判断出数列为等差数列。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，结合数列的通项公式由二次函数的性质即可得出数列的单调性，由此代入数值计算出结果即可。19.【解析】【分析】(1)根据题意由条件结合n次重复独立试验的概率公式，代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意求出X的取值，再由n次重复独立试验的概率公式计算出对应的X的概率值，由此得到X的概率分布列，再把数值代入到期望公式计算出答案即可。20.【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由勾股定理计算出线线垂直，再由线面垂直的判定定理即可得出线面垂直，然后由线面垂直的性质定理得出线线垂直，结合线面垂直即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此计算出的值进而得出 点 是 的中点 ，结合中点的性质把数值代入到体积公式计算出结果即可。

 21.【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的性质结合离心率的公式以及条件代入数值求出a与b的值由此求出椭圆的方程。
〔2〕分三种情况：①当过点F的直线l1的斜率不存在时，②当过点F的直线l1的斜率为0时，③当过点F的直线l1的斜率存在且不为0时  ， 求出四边形的面积公式结合根本不等式计算出最小值即可。22.【解析】【分析】 〔1〕根据题意对f〔x〕求导，利用导数与单调性的关系求解即可；
〔2〕结合条件对a分类讨论，利用导数可得函数f′〔x〕的单调性，结合零点存在性定理即可求解零点个数．