2020-2021学年天津某校高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年天津某校高二（上）期中数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知双曲线y24−x2＝1，则双曲线C的离心率为（ ）
A.5B.55C.52D.255

2. 已知直线l1：(a−2)x+ay+3＝0，l2:x+(a−2)y+4＝0，其中a∈R，若l1⊥l2，则a的值（ ）
A.2B.−1C.2或−1D.1或4

3. 过点M(3, 1)作圆x2+y2−2x−6y+2＝0的切线l，则l的方程为（ ）
A.x+y−4＝0B.x+y−4＝0或x＝3
C.x−y−2＝0D.x+y−2＝0或x＝3

4. 直线x−y+1＝0与圆x2+(y+1)2＝4相交于A、B，则弦AB的长度为（ ）
A.2B.22C.2D.4

5. 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（ ）
A.x2+y2−2x−3＝0B.x2+y2+4x＝0
C.x2+y2+2x−3＝0D.x2+y2−4x＝0

6. 已知椭圆x216+y212=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且|PF1|＝3，则△PF1F2的面积为（ ）
A.6B.42C.32D.3

7. 对于向量a→、b→、c→和实数λ，下列命题中真命题是（ ）
A.若a→⋅b→=0，则a→=0或b→=0
B.若λa→=0→，则λ＝0或a→=0→
C.若a→2=b→2，则a→=b→或a→=−b→
D.若a→⋅b→=a→⋅c→，则b→=c→

8. 如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，E是侧棱BB1上靠近点B1的三等分点，则三棱锥A−C1D1E的体积为（ ）

A.16B.13C.12D.1

9. 已知双曲线C:x23−y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=( )
A.3B.32C.23D.4

10. 已知点P是双曲线E:x216−y29=1的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的个数是（ ）
①点P的横坐标为203；②△PF1F2的周长为803；③∠F1PF2小于π3；④△PF1F2的内切圆半径为34．
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题（共6题，每题4分，共24分）

若圆C1:x2+y2＝16与圆C2：(x−a)2+y2＝1(a>0)相外切，则a的值为________．

如图，在空间四边形ABCD中，AB→=a→−2c→，CD→=5a→+6b→−8c→，棱AC，BD，BC的中点分别为E，F，G，若FE→=−3a→−3b→+λc→，则λ＝________．


已知圆C:x2+y2−2x−2y−6＝0．直线l过点(0, 3)，且与圆C交于A、B两点，|AB|＝4，则直线l的方程________＝3或________=43x+3 ．

已知两圆x2+y2−2x+10y−24＝0和x2+y2+2x+2y−8＝0相交，则公共弦的长度为________．

已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的离心率是3，左、右焦点分别是F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，则：
（1）其渐近线方程是________；

（2）tan∠AF1F2＝________．

已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
三、解答题（共3题，17题15分，18题15分，19题16分）

如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90∘．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2．

（1）直线NP与直线BE所成角的余弦值；

（2）求证：MN // 平面BDE；

（3）求面CEM与面EMN夹角的余弦值．

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD=5．

（1）求证：PD⊥平面PAB；

（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（3）设AM→=λAP→(0≤λ≤1)，是否存在实数λ使得BM // 平面PCD？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(0, 3)，离心率为12，左右焦点分别为F1(−c, 0)，F2(c, 0)．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线l:y=−12x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足|AB||CD|=534，求直线l的方程．

参考答案与试题解析
2020-2021学年天津某校高二（上）期中数学试卷
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）
1.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
直接利用双曲线方程，求解a，b，得到c，即可求解离心率．
【解答】
双曲线y24−x2＝1，可知a＝2，b＝1，则c=5，
所以双曲线的离心率为：e=52．
2.
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
由题意利用两条直线垂直的性质，计算求得a的值．
【解答】
∵ 直线l1：(a−2)x+ay+3＝0，l2:x+(a−2)y+4＝0，其中a∈R，
若l1⊥l2，则(a−2)×1+a(a−2)＝0，求得a＝2，或a＝−1，
3.
【答案】
C
【考点】
圆的切线方程
【解析】
根据题意，设圆x2+y2−2x−6y+2＝0的圆心为C，分析可得点M在圆上，求出直线MC的斜率，即可得切线的斜率k，由直线的点斜式方程分析可得答案．
【解答】
根据题意，设圆x2+y2−2x−6y+2＝0的圆心为C，
圆x2+y2−2x−6y+2＝0即(x−1)2+(y−3)2＝8，其圆心为(1, 3)，
又由点M的坐标为(3, 1)，有(3−1)2+(1−3)2＝8，即点M在圆上，
则kMC=1−33−1=−1，则切线的斜率k＝1，
则切线的方程为y−1＝(x−3)，即x−y−2＝0；
4.
【答案】
B
【考点】
直线与圆相交的性质
【解析】
由圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求弦长．
【解答】
圆x2+(y+1)2＝4的圆心坐标为(0, −1)，半径为4，
圆心(0, −1)到直线x−y+1＝0的距离d=|−1×(−1)+1|2=2，
∴ 弦AB的长度为2r2−d2=24−2=22．
5.
【答案】
D
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
由圆心在x轴的正半轴上设出圆心的坐标(a, 0)a大于0，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线3x+4y+4＝0的距离，由直线与圆相切得到距离与半径相等列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．得到圆心的坐标，然后根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．
【解答】
设圆心为(a, 0)(a>0)，
由题意知圆心到直线3x+4y+4＝0的距离d=|3a+4|32+42=3a+45=r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2, 0)
则圆C的方程为：(x−2)2+y2＝4，化简得x2+y2−4x＝0
6.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
由已知结合椭圆定义求得|PF2|，再由隐含条件求得|F1F2|，利用勾股定理可得△PF1F2是以PF2为斜边的直角三角形，则△PF1F2的面积可求．
【解答】
∵ |PF1|＝3，|PF1|+|PF2|＝2a＝8，
∴ |PF2|＝8−3＝5，∵ c=16−12=2，
∴ |F1F2|＝2c＝4，
在△PF1F2中，|PF2|2＝|F1F2|2+|PF1|2，则△PF1F2是以PF2为斜边的直角三角形，
则三角形的面积为：12×3×4=6．
7.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的含义与物理背景
【解析】
本题是对几个常见的基本概念的考查，第一个是数量积为零，我们知道向量垂直时也有数量积为零，第二个考的是数乘运算，当一个实数和一个向量的积是零时，有两种情况，一是实数为零，一个是向量是零向量，本选项正确．
【解答】
a→⊥b→时也有a→⋅b→=0，A不正确；
B正确；
设a→=(2,2)，b→=(1,7)，此时a→2=b→2，但a→=b→或a→=−b→不成立，C错误；
∵ a→⋅b→=a→⋅c→得不到b→=c→，如a→为零向量或a→与b→、c→垂直时，D错误；
8.
【答案】
B
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
连接BC1，过E作EF⊥BC1，证明EF⊥平面AD1C1B，由E是侧棱BB1上靠近点B1的三等分点，结合等面积法求得E到平面AD1C1B距离，再求出三角形AD1C1 的面积，代入棱锥体积公式求三棱锥A−C1D1E的体积．
【解答】
连接BC1，
∵ AB⊥平面BB1C1C，AB⊂平面AD1C1B，
∴ 平面AD1C1B⊥平面BB1C1C，过E作EF⊥BC1，垂足为F，
又平面AD1C1B∩平面BB1C1C＝BC1，∴ EF⊥平面AD1C1B，
∵ E是侧棱BB1上靠近点B1的三等分点，
∴ E到平面AD1C1B的距离等于B1到平面AD1C1B距离的三分之二，
设B1到平面AD1C1B距离为h，由等面积法可得，12×3×1=12×10×h，
得h=31010，∴ EF=23×31010=105，
又S△AD1C1=12×1×10=102，
∴ VA−C1D1E=VE−AD1C1=13×102×105=13．
9.
【答案】
A
【考点】
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
两点间的距离公式
双曲线的渐近线
【解析】
求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN的坐标，然后求解|MN|．
【解答】
解：双曲线C:x23−y2=1的渐近线方程为：y=±33x，
渐近线与x轴的夹角为：30∘，
不妨设过F(2, 0)的直线为：y=3(x−2)，
则：y=−33x，y=3(x−2)，解得M(32, −32)，
y=33x，y=3(x−2)，解得：N(3,3)，
则|MN|=(3−32)2+(3+32)2=3．
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
设△F1PF2的内心为I，连接IP，IF1，IF2，求得双曲线的a，b，c，不妨设P(m, n)，m>0，n>0，运用三角形的面积公式求得P的坐标，运用两直线的夹角公式可得tan∠F1PF2，由两点的距离公式，可得△PF1F2的周长，设△PF1F2的内切圆半径为r，运用三角形的面积公式和等积法，即可计算r．
【解答】
设△F1PF2的内心为I，连接IP，IF1，IF2，
双曲线E:x216−y29=1中的a＝4，b＝3，c＝5，
不妨设P(m, n)，m>0，n>0，
由△PF1F2的面积为20，可得12|F1F2|n＝cn＝5n＝20，即n＝4，
由m216−169=1，可得m=203，故①正确；
由P(203, 4)，且F1(−5, 0)，F2(5, 0)，
可得k​PF1=1235，k​PF2=125，
则tan∠F1PF2=125−12351+12×125×35=360319∈(0, 3)，
则∠F1PF20，则两圆的圆心距为|a−0|＝a，
若两圆外切，则有a＝4+1＝5，
【答案】
5
【考点】
空间向量
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
根据空间向量的线性运算，用FG→、GE→表示FE→，从而求出λ的值．
【解答】
空间四边形ABCD中，棱AC，BD，BC的中点分别为E，F，G，
所以FG→=12DC→=−12CD→，GE→=12BA→=−12AB→；
所以FE→=FG→+GE→
=−12CD→−12AB→
=−12(5a→+6b→−8c→)−12(a→−2c→)
＝−3a→−3b→+5c→，
所以λ＝5．
【答案】
y,y
【考点】
直线与圆相交的性质
【解析】
根据题意，分析圆C的圆心以及半径，由直线与圆的位置关系可得点C到直线l的距离d＝2，分直线l的斜率是否存在2种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案．
【解答】
根据题意，圆C:x2+y2−2x−2y−6＝0即(x−1)2+(y−1)2＝8，圆心C(1, 1)，半径r＝22，
又由直线l与圆C交于A、B两点，|AB|＝4，则点C到直线l的距离d=r2−(|AB|2)2=2，
若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝0，点C到直线l的距离d＝1，不符合题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+3，即kx−y+3＝0，
则有d=|k+2|1+k2=2，解可得k＝0或43；
故直线l的方程为y＝3或y=43x+3；
【答案】
25
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
根据题意，联立两圆的方程可得公共弦所在直线的方程，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】
根据题意，联立两圆的方程x2+y2−2x+10y−24=0x2+y2+2x+2y−8=0 ，
则有4x−8y+16＝0，即x−2y+4＝0，则公共弦所在直线的方程为x−2y+4＝0；
圆x2+y2+2x+2y−8＝0，即(x+1)2+(y+1)2＝10，其圆心为(−1, −1)，半径r=10，
圆心(−1, −1)到直线x−2y+4＝0的距离d=|(−1)−2×(−1)+4|1+4=5，
则公共弦的长度l＝2×r2−d2=25，
【答案】
y＝±2x
33
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b的关系，求得双曲线的渐近线方程；再由x＝c，代入双曲线的方程可得A，B的纵坐标，运用锐角三角函数的定义可得所求值．
【解答】
当x＝c时，y＝±bc2a2−1=±b2a，
则tan∠AF1F2=|AF1||F1F2|=b22ac=(2a)22a⋅3a=33．
【答案】
15
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
求得椭圆的a，b，c，e，设椭圆的右焦点为F′，连接PF′，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径半径，求得P的坐标，再由两点的斜率公式，可得所求值．
【解答】
椭圆x29+y25=1的a＝3，b=5，c＝2，e=23，
设椭圆的右焦点为F′，连接PF′，
线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，
连接AO，可得|PF′|＝2|AO|＝4，
设P的坐标为(m, n)，可得3−23m＝4，可得m=−32，n=152，
由F(−2, 0)，可得直线PF的斜率为
152−32+2=15．
另由|PF′|＝2|AO|＝4，|PF|＝6−4＝2，|FF′|＝2c＝4，
可得cs∠PFF′=4+16−162×2×4=14，
sin∠PFF′=1−116=154，
可得直线PF的斜率为sin∠PFF′cs∠PFF′=15．
三、解答题（共3题，17题15分，18题15分，19题16分）
【答案】
∵ PA⊥底面ABC，∠BAC＝90∘，PA＝AC＝4，AB＝2
∴ PB＝BC=25，PC=42，
∵ E为PC的中点，∴ BE⊥PC，
取CE的中点G，连接NG，
∵ N为BC的中点，∴ NG // BE，∴ NG⊥PC，
∴ ∠PNG是直线NP与直线BE所成角，
在Rt△PNG中，NG=12BE=23，PG=34PC=32，
∴ tan∠PNG=PGNG=3223=62，cs∠PNG=105，
故直线NP与直线BE所成角的余弦值为105．
证明：取AB中点F，连接MF、NF，
∵ M为AD中点，∴ MF // BD，
∵ BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴ MF // 平面BDE，
∵ N为BC中点，∴ NF // AC，
又D、E分别为AP、PC的中点，∴ DE // AC，∴ NF // DE，
∵ DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴ NF // 平面BDE，
又MF∩NF＝F，MF、NF⊂平面MFN，
∴ 平面MFN // 平面BDE，
∴ MN // 平面BDE．
以A为原点，AB、AC、AP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0, 4, 0)，E(0, 2, 2)，M(0, 0, 1)，N(1, 2, 0)，
∴ ME→=(0, 2, 1)，MN→=(1, 2, −1)，
设平面EMN的法向量为n→=(x, y, z)，则n→⋅ME→=0n→⋅MN→=0 ，即2y+z=0x+2y−z=0 ，
令y＝1，则x＝−4，z＝−2，∴ n→=(−4, 1, −2)，
同理可得，平面CEM的法向量为m→=(1, 0, 0)，
∴ cs=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=−41×16+1+4=−42121，
由图可知，面CEM与面EMN所成的角是锐角，
故面CEM与面EMN夹角的余弦值为42121．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面平行
异面直线及其所成的角
【解析】
（1）取CE的中点G，连接NG，易知∠PNG即为所求，在Rt△PNG中，由tan∠PNG=PGNG，即可得解；
（2）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF // 平面BDE，NF // 平面BDE，推出平面MFN // 平面BDE，即可；
（3）以A为原点，AB、AC、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，依次求得平面EMN和平面CEM的法向量n→与m→，由cs=m→⋅n→|m→|⋅|n→|，即可得解．
【解答】
∵ PA⊥底面ABC，∠BAC＝90∘，PA＝AC＝4，AB＝2
∴ PB＝BC=25，PC=42，
∵ E为PC的中点，∴ BE⊥PC，
取CE的中点G，连接NG，
∵ N为BC的中点，∴ NG // BE，∴ NG⊥PC，
∴ ∠PNG是直线NP与直线BE所成角，
在Rt△PNG中，NG=12BE=23，PG=34PC=32，
∴ tan∠PNG=PGNG=3223=62，cs∠PNG=105，
故直线NP与直线BE所成角的余弦值为105．
证明：取AB中点F，连接MF、NF，
∵ M为AD中点，∴ MF // BD，
∵ BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴ MF // 平面BDE，
∵ N为BC中点，∴ NF // AC，
又D、E分别为AP、PC的中点，∴ DE // AC，∴ NF // DE，
∵ DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴ NF // 平面BDE，
又MF∩NF＝F，MF、NF⊂平面MFN，
∴ 平面MFN // 平面BDE，
∴ MN // 平面BDE．
以A为原点，AB、AC、AP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0, 4, 0)，E(0, 2, 2)，M(0, 0, 1)，N(1, 2, 0)，
∴ ME→=(0, 2, 1)，MN→=(1, 2, −1)，
设平面EMN的法向量为n→=(x, y, z)，则n→⋅ME→=0n→⋅MN→=0 ，即2y+z=0x+2y−z=0 ，
令y＝1，则x＝−4，z＝−2，∴ n→=(−4, 1, −2)，
同理可得，平面CEM的法向量为m→=(1, 0, 0)，
∴ cs=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=−41×16+1+4=−42121，
由图可知，面CEM与面EMN所成的角是锐角，
故面CEM与面EMN夹角的余弦值为42121．
【答案】
证明：∵ 平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，
∴ AB⊥平面PAD，
∵ PD⊂平面PAD，∴ AB⊥PD，
又PD⊥PA，且PA∩AB＝A，
∴ PD⊥平面PAB．
取AD中点为O，连接CO，PO，
∵ CD＝AC=5，∴ CO⊥AD，
又∵ PA＝PD，∴ PO⊥AD．
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则P(0, 0, 1)，B(1, 1, 0)，D(0, −1, 0)，C(2, 0, 0)，
则PB→=(1, 1, −1)，PD→=(0, −1, −1)，PC→=(2, 0, −1)，CD→=(−2, −1, 0)，
设n→=(x, y, z)为平面PCD的法向量，
则n→⋅PD→=−y−z=0n→⋅PC→=2x−z=0 ，取x＝1，得n→=(1, −2, 2)，
设PB与平面PCD的夹角为θ，
则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为：
sinθ=|n→⋅PB→||n→|⋅|PB→|=39⋅3=33．
设AM→=λAP→(0≤λ≤1)，假设存在实数λ使得BM // 平面PCD，M(0, y1, z1)，
由（2）知，A(0, 1, 0)，P(0, 0, 1)，AP→=(0, −1, 1)，B(1, 1, 0)，AM→=(0, y1−1, z1)，
由AM→=λAP→(0≤λ≤1)，可得M(0, 1−λ, λ)，
∴ BM→=(−1, −λ, λ)，
∵ BM // 平面PCD，n→=(1, −2, 2)为平面PCD的法向量，
∴ BM→⋅n→=−1+2λ+2λ＝0，解得λ=14．
综上，存在实数λ=14，使得BM // 平面PCD．
【考点】
直线与平面垂直
直线与平面平行
直线与平面所成的角
【解析】
（1）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB．
（2）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
（3）假设存在实数λ使得BM // 平面PCD，设M(0, y1, z1)，求得M(0, 1−λ, λ)，利用向量法能求出结果．
【解答】
证明：∵ 平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，
∴ AB⊥平面PAD，
∵ PD⊂平面PAD，∴ AB⊥PD，
又PD⊥PA，且PA∩AB＝A，
∴ PD⊥平面PAB．
取AD中点为O，连接CO，PO，
∵ CD＝AC=5，∴ CO⊥AD，
又∵ PA＝PD，∴ PO⊥AD．
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则P(0, 0, 1)，B(1, 1, 0)，D(0, −1, 0)，C(2, 0, 0)，
则PB→=(1, 1, −1)，PD→=(0, −1, −1)，PC→=(2, 0, −1)，CD→=(−2, −1, 0)，
设n→=(x, y, z)为平面PCD的法向量，
则n→⋅PD→=−y−z=0n→⋅PC→=2x−z=0 ，取x＝1，得n→=(1, −2, 2)，
设PB与平面PCD的夹角为θ，
则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为：
sinθ=|n→⋅PB→||n→|⋅|PB→|=39⋅3=33．
设AM→=λAP→(0≤λ≤1)，假设存在实数λ使得BM // 平面PCD，M(0, y1, z1)，
由（2）知，A(0, 1, 0)，P(0, 0, 1)，AP→=(0, −1, 1)，B(1, 1, 0)，AM→=(0, y1−1, z1)，
由AM→=λAP→(0≤λ≤1)，可得M(0, 1−λ, λ)，
∴ BM→=(−1, −λ, λ)，
∵ BM // 平面PCD，n→=(1, −2, 2)为平面PCD的法向量，
∴ BM→⋅n→=−1+2λ+2λ＝0，解得λ=14．
综上，存在实数λ=14，使得BM // 平面PCD．
【答案】
（1）由题意可得b=3ca=12a2=b2+c2 ，
解得b=3，c＝1，a＝2．
∴ 椭圆的方程为x24+y23=1．
（2）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2＝1．
∴ 圆心到直线l的距离d=2|m|5，
由d