2020-2021学年湖南省娄底市高二（上）11月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省娄底市高二（上）11月月考数学试卷人教A版，共5页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 抛物线8x2+y=0的焦点到其准线的距离为( )
A.2B.4C.18D.116

2. 双曲线x25−y210=1的渐近线方程为( )
A.y=±12xB.y=±22xC.y=±2xD.y=±2x

3. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的顶点和焦点到C的同一条渐近线的距离之比为12，则双曲线C的离心率是( )
A.2B.2C.3D.3

4. 过抛物线C:y2=8x的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|=10，则原点到l的距离为( )
A.255B.355C.455D.435

5. 已知O为坐标原点，双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的离心率是5，过右焦点F作渐近线l的垂线，垂足为M，若△OFM的面积是1，则双曲线E的实轴长是( )
A.2B.3C.1D.2
二、多选题

已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，过点F且斜率为3的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|=8，则以下结论正确的是( )
A.p=4B.DF→=FA→ C.|BD|=2|BF|D.|BF|=4
三、填空题

已知F1，F2为双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，交双曲线于点P和Q，且△F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________.

已知M为抛物线y2=2pxp>0上一点，F2,0为该抛物线的焦点，O为坐标原点，则p=________；若∠MFO=120∘，N−2,0，则△MNF的面积为________．
四、解答题

已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2pxp>0的焦点与椭圆x23+y22=1的右焦点重合．
(1)求抛物线C的方程；

(2)若过点4,0的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，求△ABO面积的最小值．

已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为y=2x，焦点到渐近线的距离为2．
(1)求双曲线C的方程；

(2)已知倾斜角为3π4的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求直线l的方程．

已知F是抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，N1,t是抛物线上一点，且|NF|=2.
(1)求抛物线C的方程；

(2)点P−3,3，过点M3,0作直线，与抛物线C相交于不同的两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，试问k1+k2是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省娄底市高二（上）11月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
【解析】

【解答】
解：由8x2+y=0，得x2=−18y，
所以2p=18，
解得p=116，
所以抛物线8x2+y=0的焦点到其准线的距离为116．
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
双曲线的渐近线
【解析】

【解答】
解：双曲线x25−y210=1的渐近线方程为x25−y210=0，
整理得y=±2x．
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】

【解答】
解：∵ 双曲线C的顶点和焦点到同一条渐近线的距离之比为12，
由三角形相似得ac=12，
∴ e=ca=2.
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
点到直线的距离公式
【解析】
求出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理以及抛物线的性质求出直线方程，然后利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】
解：抛物线C:y2=8x的焦点F(2, 0)，当直线l的斜率不存在时，|AB|=8，不满足题意，所以直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y=k(x−2)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由y=k(x−2),y2=8x,得k2x2−(4k2+8)x+4k2=0，
所以x1+x2=4k2+8k2.
根据抛物线的定义知|AB|=x1+x2+p=4k2+8k2+4=10，
解得k=±2.
当k=2时，直线l的方程为2x−y−4=0，
所以原点到直线l的距离d=|−4|22+(−1)2=455；
当k=−2时，直线l的方程为2x+y−4=0，
所以原点到直线l的距离d=|−4|22+12=455，
所以原点到直线l的距离为455.
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
点到直线的距离公式
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
【解析】
运用离心率公式，求得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得F到渐近线的距离，由勾股定理计算|OM|，根据三角形的面积为1求出c从而得出a的值．
【解答】
解：由点到直线的距离公式可知，|FM|=b，
又|OF|=c，
所以|OM|=a，
故ab2=1，即ab=2.①
由e=ca=5，
所以a2+b2a2=5，即b=2a.②
联立①②解得a=1，b=2，
所以双曲线的实轴长为2.
故选D.
二、多选题
【答案】
A,B,C
【考点】
抛物线的应用
抛物线的性质
抛物线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，分别过点A，B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E，M.
抛物线C的准线m交x轴于点P，则|PF|=p.
由于直线l的斜率为3，故其倾斜角为60∘.
∵ AE//x轴，∴ ∠EAF=60∘.
由抛物线的定义可知，|AE|=|AF|，
∴ △AEF为等边三角形，
∴ ∠EFP=∠AEF=60∘，
∴ ∠PEF=30∘，
∴ |AF|=|EF|=2|PF|=2p=8，得p=4，A选项正确；
∵ |AE|=|EF|=2|PF|，PF//AE，
∴ F为AD的中点，
则DF→=FA→，B选项正确；
由题意知∠DAE=60∘，∴ ∠ADE=30∘，
∴ |BD|=2|BM|=2|BF|（抛物线定义），C选项正确；
∵ |BD|=2|BF|，∴ |BF|=13|DF|=13|AF|=83，D选项错误.
故选ABC.
三、填空题
【答案】
y=±2x
【考点】
双曲线的渐近线
【解析】

【解答】
解：设F2(c,0)(c>0)，P(c,y0)，Qc,−y0，
代入双曲线方程，得y0=±b2a.
∵ PQ⊥x轴，
∴ |PQ|=2b2a．
在Rt△F1F2P中，∠PF1F2=30∘，
∴ |F1F2|=3|PF2|，即2c=3⋅b2a．
又∵ c2=a2+b2，
∴ b2=2a2或2a2=−3b2（舍去） .
∵ a>0，b>0，
∴ ba=2，
故所求双曲线的渐近线方程为y=±2x .
故答案为：y=±2x.
【答案】
4,83
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的定义
抛物线的性质
【解析】

【解答】
解：如图所示，过M作ME⊥x轴.
由F2,0为该抛物线的焦点，得p2=2，则p=4，
∴ y2=8x.
∵ ∠MFO=120∘，
∴ ∠MFE=60∘.
在Rt△MEF中，∠FME=30∘．
设|EF|=aa>0，则|MF|=2a，|ME|=3a，
∴ |OE|=|OF|+|EF|=a+2，即Ma+2,3a，
代入抛物线解析式得3a2−8a−16=0，即3a+4a−4=0，
解得a=−43（舍）或a=4，
∴ |ME|=43.
∵ |NF|=4，
∴ S△MNF=12×4×43=83.
故答案为：4；83.
四、解答题
【答案】
解：(1)椭圆x23+y22=1的右焦点为1,0，
所以抛物线y2=2px的焦点为1,0，
则p=2，
所以抛物线C的方程为y2=4x .
(2)设直线l:x=ty+4，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立方程y2=4x,x=ty+4,消去x得y2−4ty−16=0，
所以y1+y2=4t，y1y2=−16，
所以S△ABO=12×4×|y1−y2|
=2y1+y22−4y1y2
=216t2+4
=8t2+4.
当t=0时，S△ABO取得最小值16，
所以△ABO面积的最小值为16.
【考点】
抛物线的标准方程
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】


【解答】
解：(1)椭圆x23+y22=1的右焦点为1,0，
所以抛物线y2=2px的焦点为1,0，
则p=2，
所以抛物线C的方程为y2=4x .
(2)设直线l:x=ty+4，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立方程y2=4x,x=ty+4,消去x得y2−4ty−16=0，
所以y1+y2=4t，y1y2=−16，
所以S△ABO=12×4×|y1−y2|
=2y1+y22−4y1y2
=216t2+4
=8t2+4.
当t=0时，S△ABO取得最小值16，
所以△ABO面积的最小值为16.
【答案】
解：(1)∵ 双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为y=2x，焦点到渐近线的距离为2，
∴ ba=2,|2c|3=2,a2+b2=c2,
解得a=1，b=2，
∴ 双曲线C的方程为x2−y22=1．
(2)设A，B两点坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，线段AB的中点M(x0, y0)，
直线l的倾斜角为3π4，设l的方程为x+y+m=0，
由x+y+m=0,x2−y22=1,得x2−2mx−m2−2=0，
则Δ=8m2+8>0，
x0=x1+x22=m，y0=−x0−m=−2m.
∵ 点M(x0, y0)在圆x2+y2=5上，
∴ m2+(−2m)2=5，解得m=±1，
∴ 直线l的方程为x+y+1=0或x+y−1=0．
【考点】
双曲线的标准方程
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
（1）由已知条件推导出ba=2|2c|3=2a2+b2=c2，由此能求出双曲线C的方程．
（2）设A，B两点的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，线段AB的中点M(x0, y0)，设l的方程为x+y+m=0，由x+y+m=0x2−y22=1，得x2−2mx−m2−2=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线的方程．
【解答】
解：(1)∵ 双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为y=2x，焦点到渐近线的距离为2，
∴ ba=2,|2c|3=2,a2+b2=c2,
解得a=1，b=2，
∴ 双曲线C的方程为x2−y22=1．
(2)设A，B两点坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，线段AB的中点M(x0, y0)，
直线l的倾斜角为3π4，设l的方程为x+y+m=0，
由x+y+m=0,x2−y22=1,得x2−2mx−m2−2=0，
则Δ=8m2+8>0，
x0=x1+x22=m，y0=−x0−m=−2m.
∵ 点M(x0, y0)在圆x2+y2=5上，
∴ m2+(−2m)2=5，解得m=±1，
∴ 直线l的方程为x+y+1=0或x+y−1=0．
【答案】
解：(1)由抛物线的定义知|NF|=1+p2=2，
∴ p=2，
∴ 抛物线C的方程为y2=4x ．
(2)设直线x=my+3，联立抛物线方程可得y2−4my−12=0.
设Ay124,y1，By224,y2，
可得y1+y2=4m，y1y2=−12，
则k1+k2
=y1−3y124+3+y2−3y224+3
=4y1−1212+y12+4y2−1212+y22
=4y1−1212+y12+−48y1−1212+144y12
=4y1−1212+y12+−4y1−y1212+y12
=−1，
∴ k1+k2是定值，且其值为−1．
【考点】
抛物线的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】


【解答】
解：(1)由抛物线的定义知|NF|=1+p2=2，
∴ p=2，
∴ 抛物线C的方程为y2=4x ．
(2)设直线x=my+3，联立抛物线方程可得y2−4my−12=0.
设Ay124,y1，By224,y2，
可得y1+y2=4m，y1y2=−12，
则k1+k2
=y1−3y124+3+y2−3y224+3
=4y1−1212+y12+4y2−1212+y22
=4y1−1212+y12+−48y1−1212+144y12
=4y1−1212+y12+−4y1−y1212+y12
=−1，
∴ k1+k2是定值，且其值为−1．