高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试优质ppt课件

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1．作差法比较大小作差法的依据是a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b．步骤：作差→变形→判断差的符号→得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式．
(2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误．
4．利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”．具体理解如下(1)“一正”：即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案．(2)“二定”：即含变量的各项的和或者积必须是定值，如要求a＋b的最小值，ab必须是定值；求ab的最大值，a＋b必须是定值．(3)“三相等”：具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大值或最小值．在利用基本不等式求最值时必须同时考虑以上三个条件，如果其中一个不成立就可能得出错误的答案．
5．二次项系数是正数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的主要结论与三者之间的关系如下(1)从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象在x轴上方部分的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象在x轴下方部分的点的横坐标x的集合．
(2)从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是大于大根，或者小于小根的实数的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是大于小根，且小于大根的实数的集合．因此，利用二次函数的图象和一元二次方程的两根就可以解一元二次不等式．
[归纳提升]　比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．
考查方向　解不等式　　　　解关于x的不等式：ax2＋(1－a)x－1＞0(a＜0)．
[归纳提升]　不等式的解法(1)一元二次不等式的解法．①将不等式化为ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式；②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确定一元二次不等式的解集．(2)含参数的一元二次不等式，解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的．
考查方向　不等式恒成立问题　　　　已知不等式mx2－mx－1＜0．(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(3)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围．[分析]　先讨论二次项系数，再灵活选择方法解决恒成立问题．
[归纳提升]　不等式恒成立求参数范围的方法1．变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量看作主元．2．分离参数法若f(a)＜g(x)恒成立，则f(a)＜g(x)min．若f(a)＞g(x)恒成立，则f(a)＞g(x)max．3．数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．
考查方向　基本不等式求最值　　　　某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．(1)求k的值；(2)求该轮船航行100海里的总费用W(燃料费＋航行运作费用)的最小值．
考查方向　一元二次不等式的实际应用　　　　某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，入市后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入市第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入市后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入市后第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tn＝an＋b，且入市第一个月时收入将为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入市后经过几个月，该公司改革的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．
[归纳提升]　一元二次不等式的实际应用根据题意建立相应的函数模型，然后解不等式即可．
1．(2020·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－3x－4＜0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B＝(　　)A．{－4,1}B．{1,5}C．{3,5}D．{1,3}[解析]　A＝{x|－1＜x＜4}，又B＝{－4,1,3,5}，所以A∩B＝{1,3}．
2．(2019·全国Ⅰ卷)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝(　　)A．{x|－4＜x＜3}B．{x|－4＜x＜－2}C．{x|－2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}[解析]　∵N＝{x|－2＜x＜3}，M＝{x|－4＜x＜2}，∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}，故选C．
3．(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝(　　)A．{x|－1＜x＜2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}[解析]　方法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B．方法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B．
4．(2019·天津)设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]　由|x－1|＜1，解得0＜x＜2，{x|0＜x＜2}{x|0＜x＜5}，故“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的必要而不充分条件．
5．(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是______．