2018年青岛市李沧区中考一模数学试卷

这是一份2018年青岛市李沧区中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. −12 的相反数是
A. 2B. −2C. 12D. −12

2. 下列图形中，不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 如图所示几何体的左视图是
A. B.
C. D.

4. 2015 年 7 月份，某市一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，33，30，33，31．则下列关于这列数据表述正确的是
A. 众数是 30B. 中位教是 31C. 平均数是 33D. 极差是 35

5. 一个口袋中有 3 个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，⋯，不断重复上述过程．小明共摸了 100 次，其中 25 次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有
A. 12 个B. 15 个C. 9 个D. 10 个

6. A，B两地相距 180 km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了 50%，而从A地到B地的时间缩短了 1 h．若设原来的平均车速为 x km/h，则根据题意可列方程为
A. 180x−1801+50%x=1B. 1801+50%x−180x=1
C. 180x−1801−50%x=1D. 1801−50%x−180x=1

7. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，⊙O 的半径为 6，则这个正六边形的边心距 OM 和 BC 的长分别为
A. 3，π3B. 323，πC. 33，2π3D. 33，2π

8. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，反比例函数 y=ax 与正比例函数 y=b+cx 在同一坐标系中的大致图象可能是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 计算：2−1+20÷5= ．

10. 我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 130000000 kg 的煤所产生的能量．把 130000000 kg 用科学记数法可表示为 kg．

11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AC⊥BC，且 AD=8，AB=10，则 △BOC 的面积 = ．

12. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，CD 为 ⊙O 的弦，∠ACD=54∘，则 ∠BAD= ．

13. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=8，AD=4，将矩形纸片沿 EF 折叠，使点 A 与点 C 重合，折痕是 EF，点 D 落在点 G 处，折叠后重叠部分 △EFC 的面积为 ．

14. 四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就成了个“赵爽弦图”（如图），如果小正方形面积为 4，大正方形面积为 74，直角三角形中较小的锐角为 θ，那么 tanθ 的值是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 已知：线段 a 及 ∠ACB．
求作：⊙O 使 ⊙O 在 ∠ACB 的内部，CO=a 且 ⊙O 与 ∠ACB 的两边分别相切．

16. （1）求不等式组 x+12≤1,1−2x<4 的整数解；
（2）化简：1−1x+2÷x2+2x+1x2−4．

17. 我区积极开展“体育大课间”活动，引导学生坚持体育锻炼，某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步，D：足球四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调査，并将调查结果绘制成如图所示的统计图．请你结合图中信息解答下列问题：
（1）求样本中最喜欢B项目的人数百分比和其所在扇形图中的圆心角的度数；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）已知该校有 2000 人，请根据样本估计全校最喜欢足球的人数是多少?

18. 在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字 1，2，3，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点 M 的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点 M 的纵坐标．
（1）写出点 M 坐标的所有可能的结果；
（2）求点 M 的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．

19. 如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方 A 处与坐垫下方 B 处在平行于地面的水平线上，A，B 之间的距离约为 49 cm，现测得 AC，BC 与 AB 的夹角分别为 45∘ 与 68∘，若点 C 到地面的距离 CD 为 28 cm，坐垫中轴 E 处与点 B 的距离 BE 为 4 cm，求点 E 到地面的距离（结果保留一位小数）．
（参考数据：sin68∘≈0.93，cs68∘≈0.37，ct68∘≈0.40）

20. 李沧区海绵工程建设过程中，需要将某小区内两段长度相等的人行道改造为透水人行道，人行道绿篱改造为下沉式绿篱．现分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设人行道的长度 y（米）与施工时间 x（小时）之间关系的部分图象，请解答下列问题：
（1）求乙队在 2≤x≤6 的时间段内，y 与 x 的函数关系式；
（2）若甲队施工速度不变，乙队在施工 6 小时后，施工速度增加到 12 米/小时，结果两队同时完成了任务，求甲队从开始施工到完成，所铺设的人行道共是多少米．

21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 AB，CD 的中点，BD 是对角线，过点 A 作 AG∥DB 交 CB 的延长线于点 G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若 ∠G=90∘，求证：四边形 DEBF 是菱形．

22. 工人师傅用一块长为 10 dm，宽为 6 dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）
（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为 12 dm2 时，裁掉的正方形边长多大?
（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为 0.5 元，底面每平方分米的费用为 2 元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少?

23. 【问题提出】
如图 1，由 n×n×n长×宽×高 个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢?
（1）【问题探究】
我们先从较为简单的情形入手．
（1）如图 2，由 2×1×1 个小立方块组成的长方体中，长共有 1+2=2×32=3（条）线段，宽和高分别只有 1 条线段，所以图中共有 3×1×1=3（个）长方体；
（2）如图 3，由 2×2×1 个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有 1+2=2×32=3（条）线段，高有 1 条线段，所以图中共有 3×3×1=9（个）长方体；
（3）如图 4，由 2×2×2 个小立方体组成的正方体中，长、宽、高分别有 1+2=2×32=3（条）线段，所以图中共有 个长方体；
（4）由 2×3×6 个小立方块组成的长方体中，长共有 1+2=3×22=3（条）线段，宽共有 条线段，高共有 条线段，所以图中共有 个长方体．
【问题解决】
（5）由 n×n×n 个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有 线段，所以图中共有 个长方体．
（2）【结论应用】
如果由若干个小立方块组成的正方体中共有 1000 个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少?请通过计算说明你的结论．

24. 如图，已知在矩形 ABCD 中，AD=10，CD=5，DM 为 CD 的延长线．点 E 从点 D 出发，沿线段 DA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 方向移动，同时点 F 从点 C 出发，沿射线 CM 方向以每秒 2 个单位长的速度移动，当 B，E，F 三点在同一条直线上时，两点同时停止运动．设点 E 移动的时间为 t（秒）．
（1）求当 t 为何值时，两点同时停止运动；
（2）设四边形 BCFE 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围；
（3）求当 t 为何值时，以 E，F，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；
（4）求当 t 为何值时，∠BEC=∠BFC．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. C【解析】从左面看可得矩形中间有一条横着的虚线．
4. B【解析】A．31 出现了 3 次，出现的次数最多，则众数是 31，故本选项错误；
B．把这些数从小到大排列为 30，31，31，31，33，33，35，最中间的数是 31，则中位数是 31，故本选项正确；
C．这组数据的平均数是 30+31+31+31+33+33+35÷7=32，故本选项错误；
D．极差是：35−30=5，故本选项错误．
5. C
【解析】∵ 小明共摸了 100 次，其中 25 次摸到黑球，则有 75 次摸到白球，
∴ 摸到黑球与摸到白球的次数之比为 1:3，
∵ 这个口袋中有 3 个黑球，
∴ 共有白球 3×3=9（个）．
6. A【解析】设原来的平均车速为 x km/h，则根据题意可列方程为：180x−1801+50%x=1．
7. D【解析】如图，连接 OC，OD，
∵ 正六边形 ABCDEF 是圆的内接多边形，
∴∠COD=60∘，
∵OC=OD，OM⊥CD，
∴∠COM=30∘，
∵OC=6，
∴OM=6cs30∘=33，
∴BC=60×π×6180=2π．
8. B【解析】由二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上可知 a>0；
因为 x=−b2a>0，
所以 b<0，
因为图象与 y 轴交于负半轴，
所以 c<0，
即 b+c<0，
所以反比例函数 y=ax 图象在一、三象限，正比例函数 y=b+cx 图象在二、四象限．
第二部分
9. 52
【解析】原式=12+2=52．
10. 1.3×108
【解析】130000000=1.3×108．
11. 12
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC=8，AO=CO，BO=DO，
∵AC⊥BC，
∴AC=AB2−BC2=6，
∴CO=3，
∴△BOC 的面积为：12×8×3=12．
12. 36∘
【解析】连接 BD，如图所示：
∵∠ACD=54∘，
∴∠ABD=54∘，
∵AB 为直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠BAD=90∘−∠ABD=36∘．
13. 10
【解析】由折叠的性质可得：CG=AD=4，GF=DF=CD−CF，∠G=90∘，
则 △CFG 为直角三角形，
在 Rt△CFG 中，FC2−CG2=FG2，
即 FC2−42=8−FC2，
解得：FC=5，
∴S△CEF=12FC⋅AD=12×5×4=10．
14. 57
【解析】由已知条件可知，小正方形的边长为 2，大正方形的边长为 74．
设直角三角形中较小边长为 x，
则有 x+22+x2=742，解得 x1=5，x2=−7（舍去）．
则较长边的边长为 x+2=5+2=7．
故 tanθ=xx+2=57．
第三部分
15. 解：①作 ∠ACB 的平分线 CD，
②在 CD 上截取 CO=a，
③作 OE⊥CA 于 E，以 O 为圆心，OE 长为半径作圆；如图所示，⊙O 即为所求．
16. （1）
x+12≤1, ⋯⋯①1−2x<4. ⋯⋯②
由 ① 可知：
x≤1.
由 ② 得：
x>−32.∴
该不等式组的解集为：
−32 是整数，
∴x=−1或0或1．
（2） 原式=x+1x+2⋅x+2x−2x+12=x−2x+1.
17. （1） 样本中最喜欢B项目的人数百分比是 1−44%−28%−8%=20%，
其所在扇形图中的圆心角的度数是 20%×360∘=72∘．
（2） 总人数是 8÷8%=100（人），
样本中最喜欢B项目的人数是：100×20%=20（人），
补全的条形统计图如图：
（3） 根据题意得：2000×28%=560（人），
答：全校最喜欢足球的人数是 560 人．
18. （1） 列表如下：
12311,12,13,121,22,23,231,32,33,3
则点 M 坐标的所有等可能的结果有 9 个：1,1，1,2，1,3，2,1，2,2，2,3，3,1，3,2，3,3．
（2） 由（1）可知得到之和为偶数的情况有 5 种，
故 P点M的横坐标与纵坐标之和是偶数=59．
19. 过 C 点作 CH⊥AB，垂足为 H．
设 CH=x cm，则 AH=x cm，BH=CH⋅ct68∘=25x cm，
∴x+25x=49，解得 x=35，
∴E 点到地面的距离为 CD+CH+BE⋅sin68∘≈66.7cm．
20. （1） 设乙队在 2≤x≤6 的时间段内，y 与 x 的函数关系式为 y=kx+bk≠0，
将点 2,30，6,50 代入 y=kx+b，得：2k+b=30,6k+b=50, 解得：k=5,b=20.
∴ 乙队在 2≤x≤6 的时间段内，y 与 x 的函数关系式为 y=5x+20．
（2） 设甲队在整个改造工程中，y 与 x 的函数关系式为 y=mxm≠0，
将点 6,60 代入 y=mx，得：60=6m，解得：m=10，
∴ 甲队在整个改造工程中，y 与 x 的函数关系式为 y=10x；
设乙队在 x≥6 的时间内，y 与 x 的函数关系式为 y=12x+n，
将点 6,50 代入 y=12x+n，得：50=12×6+n，解得：n=−22，
∴ 乙队在 x≥6 的时间内，y 与 x 的函数关系式为 y=12x−22．
联立两函数关系式得：y=10x,y=12x−22.
解得：x=11,y=110.
答：甲队从开始施工到完成，所铺设的人行道共是 110 米．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，
∵ 点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，
∴AE=12AB，CF=12CD，
∴AE=CF，
在 △ADE 和 △CBF 中，
∵AD=CB,∠A=∠C,AE=CF,
∴△ADE≌△CBFSAS．
（2） ∵∠G=90∘，AG∥BD，AD∥BG，
∴ 四边形 AGBD 是矩形，
∴∠ADB=90∘，
在 Rt△ADB 中，
∵E 为 AB 的中点，
∴AE=BE=DE，
∵DF∥BE，DF=BE，
∴ 四边形 DEBF 是菱形．
22. （1） 如图所示：
设裁掉的正方形的边长为 x dm，
由题意可得
10−2x6−2x=12.
即
x2−8x+12=0.
解之得：
x1=2或x2=6舍去.∴
裁掉的正方形的边长为 2 dm，底面积为 12 dm2．
（2） ∵ 长不大于宽的五倍，
∴10−2x≤56−2x，
∴0设总费用为 w，由题意可知：
w=0.5×2x16−4x+210−2x6−2x=4x2−48x+120=4x−62−24.
∵ 对称轴为 x=6，开口向上．
∴ 当 0 ∴ 当 x=2.5 时，wmin=25 元．
∴ 当裁掉边长为 2.5 dm 的正方形时，总费用最低为 25 元．
23. （1） 27；6；21；378；nn+12；n3n+138
【解析】（3）3×3×3=27（个）．
答：图中共有 27 个长方体．
（4）4×3÷2=6（条），7×6÷2=21（条），3×6×21=378（个）．
答：宽共有 6 条线段，高共有 21 条线段，图中共有 378 个长方体．
（5）长、宽、高各有 nn+12 条线段，所以图中共有 nn+123=n3n+138 个长方体．
（2） 依题意有：nn+123=1000，nn+12=10，
解得 n1=4，n2=−5（不合题意舍去），
4×4×4=64（个）．
答：组成这个正方体的小立方块的个数是 64 个．
24. （1） 当 B，E，F 三点共线时，两点同时停止运动，
由题意可知：ED=t，BC=10，FD=2t−5，FC=2t．
∵ED∥BC，
∴△FED∽△FBC．
∴FDFC=EDBC．
∴2t−52t=t10．
解得，t=5．
经检验，t=5 是原方程的解，并且满足题意．
∴ 当 t=5 时，两点同时停止运动．
（2） ∵ED=t，CF=2t，
∴S=S△BCE+S△ECF=12×10×5+12×2t×t=25+t2．
即 S=t2+250≤t<5．
（3） ①若 EF=EC 时，则点 F 只能在 CD 的延长线上，
∵EF2=2t−52+t2=5t2−20t+25，
EC2=52+t2=t2+25，
∴5t2−20t+25=t2+25．
∴t1=5，t2=0（舍去）；
②若 EC=FC 时，
∵EC2=52+t2=t2+25，FC2=4t2，
∴t2+25=4t2，
∴t3=t4=533；
③若 EF=FC 时，
∵EF2=2t−52+t2=5t2−20t+25，FC2=4t2，
∴5t2−20t+25=4t2，即 t2−20t+25=0，
∴t5=10+53（舍去），t6=10−53．
∴ 当 t 的值为 5，533，10−53 时，以 E，F，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形．
（4） 在 Rt△BCF 和 Rt△CDE 中，
∵∠BCF=∠CDE=90∘，BCCD=CFDE=2，
∴Rt△BCF∽Rt△CDE．
∴∠BFC=∠CED，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠CED．
若 ∠BEC=∠BFC，
则 ∠BEC=∠BCE．即 BE=BC．
∵BE2=10−t2+52=t2−20t+125，
∴t2−20t+125=100．即 t2−20t+25=0，
∴t7=10+53（舍去），t8=10−53，
∴ 当 t=10−53 时，∠BEC=∠BFC．