专题12 有关函数的计算说理类综合问题 -版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘（教师版）

这是一份专题12 有关函数的计算说理类综合问题 -版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘（教师版），共55页。


【类型综述】
计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值．
压轴题中的代数计算题，主要是函数类题．
函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标．
还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律．
【方法揭秘】
代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y，得到关于x的一元二次方程，然后根据∆确定交点的个数．
我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法．
如图1，已知直线y＝x＋1与x轴交于点A，抛物线y＝x2－2x－3与直线y＝x＋1交于A、B两点，求点B的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A的坐标，另一个解计算点的坐标．
几何法是这样的：设直线AB与y轴分别交于C，那么tan∠AOC＝1．
作BE⊥x轴于E，那么．设B(x, x2－2x－3)，于是．
请注意，这个分式的分子因式分解后，．这个分式能不能约分，为什么？
因为x＝－1的几何意义是点A，由于点B与点A不重合，所以x≠－1，因此约分以后就是x－3＝1．
这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便．

图1[来源:Z&X&X&K]
【典例分析】
例1 在平面直角坐标系中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝2r，则称点P′为点P关于⊙C的反称点．如图1为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．
特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0．
（1）当⊙O的半径为1时，
①分别判断点M(2, 1)，N，T 关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；
②点P在直线y＝－x＋2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．

思路点拨
1．反称点P′是否存在，就是看CP′是否大于或等于0．
2．第（2）题反称点P′在圆内，就是0≤CP′＜1，进一步转化为0≤2－CP＜1．
满分解答
（1）①对于M(2, 1)，OM＝．因为OM′＝＜0，所以点M不存在反称点（如图2）．
如图3，对于N，ON＝．因为ON′＝，所以点N′的坐标为．
如图4，对于T ，OT＝2．因为OT′＝0，所以点T关于⊙O的反称点T′是(0,0)．

图2 图3 图4



图5 图6 图7
考点伸展
第（2）题如果把条件“反称点P′在⊙C的内部”改为“反称点P′存在”，那么圆心C的横坐标的取值范围是什么呢？
如果点P′存在，那么CP′≥0．
解不等式2－CP≥0，得CP≤2．
所以AC≤4．因此圆心C的横坐标的取值范围是2≤x＜6．
例2已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D．
①当△ABC的面积等于1时，求a的值
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．
思路点拨
1．第（1）题判断抛物线与x轴有两个交点，容易想到用判别式．事实上，抛物线与x轴的交点A、B的坐标分别为 (m,0)、 (m＋1,0)，AB＝1．
2．当△ABC的面积等于1时，点C到x轴的距离为2．
3．当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，C、D到x轴的距离相等．
4．本题大量的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细．
满分解答

②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，点C与点D到x轴的距离相等．
第一种情况：如图1，C、D重合，此时点D的坐标可以表示为，
将代入，得．
解得．[来源:]

图1
第二种情况：如图2，图3，C、D在x轴两侧，此时点D的坐标可以表示为，
将代入，得．
解得．

图2 图3
考点伸展

例3如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．
（1）若，AE＝2，求EC的长；
（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．

图1
思路点拨
1．△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况．
2．高和中线是直角三角形的两条典型线，各自联系着典型的定理，一个是直角三角形的两锐角互余，一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3．根据等角的余角相等，把图形中相等的角都标记出来．
满分解答

又因为∠1与∠4互余，∠3与∠2互余，所以∠4＝∠2．所以PC＝PG．
所以PF＝PC＝PG．所以CP是△CFG的中线．
综合①、②，当CD是∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的高，也是中线（如图4）．

图2 图 3 图4
考点伸展
这道条件变换的题目，不由得勾起了我们的记忆：
如图5，在△ABC中，点D是AB边上的一个动点，DE//BC交AC于E，DF//AC交BC于F，那么四边形CEDF是平行四边形．
如图6，当CD平分∠ACB时，四边形CEDF是菱形．

图5 图6
如图7，当∠ACB＝90°，四边形CEDF是矩形．[来源:Z.X.X.K]
如图8，当∠ACB＝90°，CD平分∠ACB时，四边形CEDF是正方形．

图7 图8
例4已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．
①求正方形的ABCD的面积；
②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．
思路点拨
1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，AD＝AB．
2．通过计算∠PAE与∠DPO的正切值，得到∠PAE＝∠DPO＝∠PDA，从而证明△PAD∽△PEA．
满分解答


因此正方形ABCD的面积等于．
②设OP与AB交于点F，那么．
所以．
又因为，
所以∠PAE＝∠PDA．
又因为∠P公用，所以△PAD∽△PEA．

图1 图2
考点伸展
事实上，对于矩形ABCD，总有结论△PAD∽△PEA．证明如下：
如图2，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，那么PF＝OP－OF＝1－(－x2＋1)＝x2．
所以．
又因为，
所以∠PAE＝∠PDA．因此△PAD∽△PEA．
例5 如图1，抛物线与x轴交于
A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）联结CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，联结AE、AD．求证：∠AEO＝∠ADC；
（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．

思路点拨
1．计算点E的坐标是关键的一步，充分利用、挖掘等角（或同角）的余角相等．
2．求PE的最小值，设点P的坐标为(x, y)，如果把PE2表示为x的四次函数，运算很麻烦．如果把PE2转化为y的二次函数就比较简便了．
满分解答[来源:]
（1）由，得，．
由，
得，．

所以∠AEM＝∠DAM．于是可得∠AED＝90°．
如图4，在Rt△EHF与Rt△DAF中，因为∠EFH＝∠DFA，
所以∠HEF＝∠ADF，即∠AEO＝∠ADC．

图2 图3 图4


图5 图6 图7
考点伸展
第（3）题可以这样求点Q的坐标：设点Q的坐标为(m, n)．
由E(3, 2)、P(5, 1)，可得PE2＝5．又已知EQ2＝1，所以PQ2＝4．
列方程组 解得
还可以如图7那样求点Q的坐标：
对于Q(m, n)，根据两个阴影三角形相似，可以列方程组．
同样地，对于Q′(m, n)，可以列方程组．
【变式训练】
一、解答题(本大题共20题)
1．已知二次函数
（1）该抛物线与轴交于点 ，顶点为，求点的坐标；
（2）在（1）的条件下，轴是否存在一点，使得最短？若点存在，求出点的坐标；若点不存在，请说明理由.
【答案】（1）点坐标为或；（2）存在，满足条件的点坐标为或.
【解析】
【分析】
（1）把C点坐标代入解析式可计算出m=±，然后把解析式配成顶点式即可得到D点坐标；
（2）分类讨论：先利用待定系数法求出直线CD的解析式，然后求出直线CD与x轴的交点坐标，即可得到P点坐标．
【详解】

（2）存在
当点坐标为，设直线的解析式为，把、代入得
，解得，
则直线的解析式为，

2．已知抛物线y＝﹣x2+2kx﹣k2+k+3（k为常数）的顶点纵坐标为4．
（1）求k的值；
（2）设抛物线与直线y＝﹣（x﹣3）（m≠0）两交点的横坐标为x1，x2，n＝x1+x2﹣2，若A（1，a），B（b，）两点在动点M（m，n）所形成的曲线上，求直线AB的解析式；
（3）将（2）中的直线AB绕点（3，0）顺时针旋转45°，与抛物线x轴上方的部分相交于点C，请直接写出点C的坐标．
【答案】（1）1；（2）；（3）（2，3）．
【解析】
【分析】
（1）利用配方法即可解决问题；
（2）由题意，方程-x2+2x+3=-(x-3)的两实数根分别为x1，x2，整理得，，推出x1+x2=+2，由n＝x1+x2﹣2，推出n=+2-2=，即动点M（m，n）所形成的曲线为y=，由A（1，a），B（b，）两点在该曲线上，推出A（1，1），B（2，），再利用待定系数法即可解决问题；
（3）由直线AB的解析式为y＝﹣x+，A（1，1），推出点D（3，0）在直线AB上，取点E（2，3），则AE＝AD＝，ED＝，推出AE2+AD2＝ED2，推出∠EAD＝90°，由AE＝AD，推出∠ADE＝45°，可得直线ED的解析式为y＝﹣3x+9，构建方程组即可求出点C坐标.
【详解】

（2）∵k＝1，
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
由题意，方程-x2+2x+3=-(x-3)的两实数根分别为x1，x2，
整理得，，
∴x1+x2=+2，
∵n＝x1+x2﹣2，
∴n=+2-2=，
即动点M（m，n）所形成的曲线为y=，
∵A（1，a），B（b，）两点在该曲线上，
∴A（1，1），B（2，），
设直线AB解析式为y＝k'x+b'，把A（1，1），B（2，）代入得，，[来源:]
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+；

∵设直线DE解析式为y＝k″x+b″，把D（3，0），E（2，3）代入得，，
解得，
∴直线ED的解析式为y＝﹣3x+9，
由，解得或，
∵D（3，0），
∴C（2，3）．
3．已知：二次函数满足下列条件：
①抛物线y=ax2+bx与直线y=x只有一个交点；
②对于任意实数x，a(-x+5)2+b(-x+5)=a(x-3)2+b(x-3) 都成立.
（1）、求二次函数y=ax2+bx的解析式
（2）、若当-2≤x≤r(r≠0)时，恰有t≤y≤1.5r成立，求t和r的值.
【答案】（1）y=x2+x；（2）t=-4，r=-1.
【解析】
【分析】
（1）由①联立方程组，根据抛物线y=ax2+bx与直线y=x只有一个交点可以求出b的值，由②可得对称轴为x=1，从而得a的值，进而得出结论；
（2）进行分类讨论，分别求出t和r的值.
【详解】

∴a=，
∴y=x2+x.

4．在平面直角坐标系xOy中，已知两点A（0，3），B（1，0），现将线段AB绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BC，抛物线y=ax2+bx+c经过点C．
（1）如图1，若抛物线经过点A和D（﹣2，0）．
①求点C的坐标及该抛物线解析式；
②在抛物线上是否存在点P，使得∠POB=∠BAO，若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点E（2，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB=∠BAO，若符合条件的Q点恰好有2个，请直接写出a的取值范围．

【答案】（1）①y=﹣x2+x+3；②P（ ，）或P'（ ，﹣）；（2） ≤a<0；
【解析】
【分析】
（1）①先判断出△AOB≌△GBC，得出点C坐标，进而用待定系数法即可得出结论；②分两种情况，利用平行线（对称）和直线和抛物线的交点坐标的求法，即可得出结论；（2）同（1）②的方法，借助图象即可得出结论．
【详解】

抛物线经过点A（0，3），和D（﹣2，0），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；
②由①知，△AOB≌△EBC，
∴∠BAO=∠CBF，
∵∠POB=∠BAO，
∴∠POB=∠CBF，
如图1，OP∥BC，

在直线OP上取一点M（3，1），[来源:ZXXK]
∴点M的对称点M'（3，﹣1），
∴直线OP'的解析式为y=﹣x，
∵抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；
联立解得，或（舍），
∴P'（，﹣）；
（2）同（1）②的方法，如图3，
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点C（4，1），E（2，1），∴，
∴，
∴抛物线y=ax2﹣6ax+8a+1，

∵a＜0，
∴8a+1≥0，
∴a≥﹣，
即：﹣≤a＜0．

5．平面直角坐标系xOy（如图），抛物线y=﹣x2+2mx+3m2（m＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l，过点C作直线l的垂线，垂足为点E，联结DC、BC．
（1）当点C（0，3）时，
①求这条抛物线的表达式和顶点坐标；
②求证：∠DCE=∠BCE；
（2）当CB平分∠DCO时，求m的值．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；D（1，4）；（2）证明见解析；（3）m=；
【解析】
【分析】
（1）①把C点坐标代入y=﹣x2+2mx+3m2可求出m的值，从而得到抛物线解析式，
然后把一般式配成顶点式得到D点坐标；
②如图1，先解方程﹣x2+2x+3=0得B（3，0），则可判断△OCB为等腰直角三角形得到∠
OBC=45°，再证明△CDE为等腰直角三角形得到∠DCE=45°，从而得到∠DCE=∠BCE；
（2）抛物线的对称轴交x轴于F点，交直线BC于G点，如图2，把一般式配成顶点式得
到抛物线的对称轴为直线x=m，顶点D的坐标为（m，4m2），通过解方程﹣x2+2mx+3m2=0
得B（3m，0），同时确定C（0，3m2），再利用相似比表示出GF=2m2，则DG=2m2，接着证
明∠DCG=∠DGC得到DC=DG，所以m2+（4m2﹣3m2）2=4m4，然后解方程可求出m．
【详解】

②证明：如图1，当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则B（3，0），
∵OC=OB，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，
∵CE⊥直线x=1，
∴∠BCE=45°，
∵DE=1，CE=1，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴∠DCE=45°，
∴∠DCE=∠BCE；

∵∠OCB=∠DGC，
∴∠DCG=∠DGC，
∴DC=DG，
即m2+（4m2﹣3m2）2=4m4，
∴ 而m＞0，∴

6．已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）与x轴相交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）当A（﹣1，0），C（0，﹣3）时，求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点．
①当点P关于原点的对称点P′落在直线BC上时，求m的值；
②当点P关于原点的对称点P′落在第一象限内，P′A2取得最小值时，求m的值及这个最小值．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①m=；②P′A2取得最小值时，m的值是，这个最小值是．
【解析】
【分析】
（1）根据A（﹣1，0），C（0，﹣3）在抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的图象上，可以求得b、c的值；
（2）①根据题意可以得到点P′的坐标，再根据函数解析式可以求得点B的坐标，进而求得直线BC的解析式，再根据点P′落在直线BC上，从而可以求得m的值；
②根据题意可以表示出P′A2，从而可以求得当P′A2取得最小值时，m的值及这个最小值．
【详解】

（2）①由P（m，t）在抛物线上可得：t=m2﹣2m﹣3．
∵点P和P′关于原点对称，∴P′（﹣m，﹣t），当y=0时，0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，由已知可得：点B（3，0）．
∵点B（3，0），点C（0，﹣3），设直线BC对应的函数解析式为：y=kx+d，，解得：，∴直线BC的直线解析式为y=x﹣3．
∵点P′落在直线BC上，∴﹣t=﹣m﹣3，即t=m+3，∴m2﹣2m﹣3=m+3，解得：m=；


7．已知二次函数 y＝mx2﹣2mx+n 的图象经过（0，﹣3）．
（1）n＝ _____________；
（2） 若二次函数 y＝mx2﹣2mx+n 的图象与 x 轴有且只有一个交点，求 m 值；
（3） 若二次函数 y＝mx2﹣2mx+n 的图象与平行于 x 轴的直线 y＝5 的一个交点的横坐标为4，则另一个交点的坐标为 ；
（4） 如图，二次函数 y＝mx2﹣2mx+n 的图象经过点 A（3，0），连接 AC，点 P 是抛物线位于线段 AC 下方图象上的任意一点，求△PAC 面积的最大值．

【答案】（1）－3；（2）m=﹣3；（3）（﹣2，5）；（4）当a=时，△PAC的面积取最大值，最大值为
【解析】
【分析】
（1）将（0，-3）代入二次函数解析式中即可求出n值；
（2）由二次函数图象与x轴只有一个交点，利用根的判别式△=0，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论；
（3）根据二次函数的解析式利用二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，利用二次函数图象的对称性即可找出另一个交点的坐标；
（4）将点A的坐标代入二次函数解析式中可求出m值，由此可得出二次函数解析式，由点A、C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点Q，设点P的坐标为（a，a2-2a-3），则点Q的坐标为（a，a-3），点D的坐标为（a，0），根据三角形的面积公式可找出S△ACP关于a的函数关系式，配方后即可得出△PAC面积的最大值．
【详解】

（3）∵二次函数解析式为y=mx2﹣2mx﹣3，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=﹣=1．
∵该二次函数图象与平行于x轴的直线y=5的一个交点的横坐标为4，
∴另一交点的横坐标为1×2﹣4=﹣2，
∴另一个交点的坐标为（﹣2，5）．
故答案为：（﹣2，5）．


设点P的坐标为（a，a2﹣2a﹣3），则点Q的坐标为（a，a﹣3），点D的坐标为（a，0），
∴PQ=a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）=3a﹣a2，
∴S△ACP=S△APQ+S△CPQ=PQ•OD+PQ•AD=﹣a2+a=﹣（a﹣）2+，
∴当a=时，△PAC的面积取最大值，最大值为 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．
（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；
（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；
（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．

【答案】
（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q（，4）；（3）M（1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．
【解析】
【分析】
(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；
(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；
(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.
【详解】

（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．
把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，
得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，
∴m=或（舍弃），
∴Q（，）．
（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．


10．如图抛物线y=ax2+bx，过点A（4，0）和点B（6，2），四边形OCBA是平行四边形，点M（t，0）为x轴正半轴上的点，点N为射线AB上的点，且AN=OM，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；
（2）当△AMN的周长最小时，求t的值；
（3）如图②，过点M作ME⊥x轴，交抛物线y=ax2+bx于点E，连接EM，AE，当△AME与△DOC相似时．请直接写出所有符合条件的点M坐标．

【答案】（1）y=x2﹣x，点D的坐标为（2，﹣）；（2）t=2；（3）M点的坐标为（2，0）或（6，0）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求抛物线解析式；利用配方法把一般式化为顶点式得到点D的坐标；
（2）连接AC，如图①，先计算出AB=4，则判断平行四边形OCBA为菱形，再证明△AOC和△ACB都是等边三角形，接着证明△OCM≌△ACN得到CM=CN，∠OCM=∠ACN，则判断△CMN为等边三角形得到MN=CM，于是△AMN的周长=OA+CM，由于CM⊥OA时，CM的值最小，△AMN的周长最小，从而得到t的值；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明△OCD为直角三角形，∠COD=90°，设M（t，0），则E（t，t2-t），根据相似三角形的判定方法，当时，△AME∽△COD，即|t-4|：4=|t2-t |：，当时，△AME∽△DOC，即|t-4|：=|t2-t |：4，然后分别解绝对值方程可得到对应的M点的坐标．
【详解】

（2）连接AC，如图①，

AB==4，
而OA=4，

∴CM=CN，∠OCM=∠ACN，
∵∠OCM+∠ACM=60°，
∴∠ACN+∠ACM=60°，
∴△CMN为等边三角形，
∴MN=CM，
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=OM+AM+MN=OA+CM=4+CM，
当CM⊥OA时，CM的值最小，△AMN的周长最小，此时OM=2，
∴t=2；
（3）∵C（2，2），D（2，-），
∴CD=，
∵OD=，OC=4，
∴OD2+OC2=CD2，
∴△OCD为直角三角形，∠COD=90°，
设M（t，0），则E（t，t2-t），

11．抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）点D是抛物线上的一动点，是否存在点D，使得tan∠DCB=tan∠ACO．若存在，请求出点D的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】（1）y=﹣2x2+x+3；（2）∠ACB=45°；（3）D点坐标为（1，2）或（4，﹣25）．
【解析】
【分析】
（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣），展开得到﹣a=3，然后求出a即可得到抛物线解析式；
（2）作AE⊥BC于E，如图1，先确定C（0，3），再分别计算出AC=，BC=，接着利用面积法计算出AE=，然后根据三角函数的定义求出∠ACE即可；
（3）作BH⊥CD于H，如图2，设H（m，n），证明Rt△BCH∽Rt△ACO，利用相似计算出BH=，CH=，再根据两点间的距离公式得到（m﹣）2+n2=（）2，m2+（n﹣3）2=（）2，接着通过解方程组得到H（，﹣）或（），然后求出直线CD的解析式，与二次函数联立成方程组，解方程组即可．
【详解】

（2）作AE⊥BC于E，如图1，当x=0时，y=﹣2x2+x+3=3，则C（0，3），而A（﹣1，0），B（，0），∴AC==，BC==
AE•BC=OC•AB，∴AE==．
在Rt△ACE中，sin∠ACE===，∴∠ACE=45°，即∠ACB=45°；

12．已知抛物线C：y=x2﹣2x+1的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1，）．
（1）求tan∠OPQ的值；
（2）将抛物线C向上平移得到抛物线C′，点Q平移后的对应点为Q′，且FQ′=OQ′．
①求抛物线C′的解析式；
②若点P关于直线Q′F的对称点为K，射线FK与抛物线C′相交于点A，求点A的坐标．
【答案】（1）1；（2）①y=x2﹣2x+，；②A（，）．．
【解析】
试题分析：（1）求出于y轴交点，然后求tan∠OPQ的值.(2) ①先设出函数方程，再利用FQ′=OQ′，求出函数解析式.②把每一个点都用坐标表示出来，先求出FQ' 解析式，利用FQ'⊥PK，求出PK解析式，求交点，再求出FK的解析式，与二次函数联立，得到A点坐标.
试题解析：

（2）①设抛物线C′的解析式为y=x2﹣2x+m，
∴Q′（0，m）其中m＞1，
∴OQ′=m，
∵F（1，），
过F作FH⊥OQ′，如图：

∴FH=1，Q′H=m﹣，

②方法一：设点A（x0，y0），则y0=x02﹣2x0+①，
过点A作x轴的垂线，与直线Q′F相交于点N，则可设N（x0，n），

∴AN=y0﹣n，其中y0＞n，
连接FP，
∵F（1，），P（1，0），
∴FP⊥x轴，
∴FP∥AN，
∴∠ANF=∠PFN，

将①右边整体代换②得，AF2=（x02﹣2x0+）+y02﹣y0=y0+y02﹣y0=y02，
∵y0＞0，
∴AF=y0，
∴y0=y0﹣n，
∴n=0，
∴N（x0，0），
设直线Q′F的解析式为y=kx+b，
,
解,
∴y=x+，
由点N在直线Q′F上，得，0=x+,
∴x0=,
将x0=代入y0=x2﹣2x0+，
∴y0=，
∴A（，）．

∵F（1，），
∴直线FK的解析式为 y=x+③，
∵射线FK与抛物线C′：y=x2﹣2x+④相交于点A，
∴联立③④得，，,或（舍）,
∴A（，）．
点睛：
1.求二次函数的解析式
（1）已知二次函数过三个点，利用一般式，y＝ax2＋bx＋c（）.列方程组求二次函数解析式.
(2)已知二次函数与x轴的两个交点(，利用双根式，y=（）求二次函数解析式,而且此时对称轴方程过交点的中点,.
(3)已知二次函数的顶点坐标，利用顶点式,（）求二次函数解析式.
（4）已知条件中a，b，c，给定了一个值，则需要列两个方程求解.
(5)已知条件有对称轴，对称轴也可以作为一个方程；如果给定的两个点纵坐标相同(，则可以得到对称轴方程.
2.处理直角坐标系下，二次函数与一次函数图象问题：第一步要写出每个点的坐标（不能写出来的，可以用字母表示），写已知点坐标的过程中，经常要做坐标轴的垂线，第二步，利用特殊图形的性质和函数的性质，找出不同点间的关系.如果需要得到一次函数的解析式，依然利用待定系数法求解析式.
3.函数的交点问题，可以转化为方程组的解的问题，求一次函数与二次函数交点，或者一次函数与一次函数交点，只需要联立方程组，方程组的解就是图象的交点坐标.
13．如图1，抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A、B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣5）．
（1）求抛物线l2的函数表达式；
（2）P为直线x=1上一动点，连接PA、PC，当PA=PC时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴（如图2所示），交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

【答案】（1）抛物线l2的函数表达式；y=x2﹣4x﹣5；（2）P点坐标为（1，1）；（3）在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12.5．
【解析】
【分析】
（1）由抛物线l1的对称轴求出b的值，即可得出抛物线l1的解析式，从而得出点A、点B的坐标，由点B、点E、点D的坐标求出抛物线l2的解析式即可；（2）作CH⊥PG交直线PG于点H，设点P的坐标为（1，y），求出点C的坐标，进而得出CH=1，PH=|3﹣y |，PG=|y |，AG=2，由PA=PC可得PA2=PC2，由勾股定理分别将PA2、PC2用CH、PH、PG、AG表示，列方程求出y的值即可；（3）设出点M的坐标，求出两个抛物线交点的横坐标分别为﹣1，4，①当﹣1＜x≤4时，点M位于点N的下方，表示出MN的长度为关于x的二次函数，在x的范围内求二次函数的最值；②当4＜x≤5时，点M位于点N的上方，同理求出此时MN的最大值，取二者较大值，即可得出MN的最大值.
【详解】

（2）作CH⊥PG交直线PG于点H，
设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3），
∴CH=1，PH=|3﹣y |，PG=|y |，AG=2，
∴PC2=12+（3﹣y）2=y2﹣6y+10，PA2= =y2+4，
∵PC=PA，
∴PA2=PC2，
∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1，
∴P点坐标为（1，1）；

14．如图，抛物线y=﹣+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C（0，3），点D是x轴上一动点，连接CD，将线段CD绕点D旋转得到DE，过点E作直线l⊥x轴，垂足为H，过点C作CF⊥l于F，连接DF．
（1）求抛物线解析式；
（2）若线段DE是CD绕点D顺时针旋转90°得到，求线段DF的长；
（3）若线段DE是CD绕点D旋转90°得到，且点E恰好在抛物线上，请求出点E的坐标．

【答案】(1) 抛物线解析式为y=﹣；(2) DF=3；(3) 点E的坐标为E1（4，1）或E2（﹣ ，﹣）或E3（ ，﹣）或E4（，﹣）．
【解析】
【分析】
（1）将点A、C坐标代入抛物线解析式求解可得；
（2）证△COD≌△DHE得DH=OC，由CF⊥FH知四边形OHFC是矩形，据此可得FH=OC=DH=3，利用勾股定理即可得出答案；
（3）设点D的坐标为（t，0），由（1）知△COD≌△DHE得DH=OC、EH=OD，再分CD绕点D顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，表示出点E的坐标，代入抛物线求得t的值，从而得出答案．
【详解】

（2）如图1．
∵∠CDE=90°，∠COD=∠DHE=90°，∴∠OCD+∠ODC=∠HDE+∠ODC，∴∠OCD=∠HDE．
又∵DC=DE，∴△COD≌△DHE，∴DH=OC．
又∵CF⊥FH，∴四边形OHFC是矩形，∴FH=OC=DH=3，∴DF=3；



综上所述：点E的坐标为E1（4，1）或E2（﹣，﹣）或E3（，﹣）或E4（，﹣）．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交AC于点D，动点P在抛物线对称轴上，动点Q在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当PO+PC的值最小时，求点P的坐标；
（3）是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2+3x；（2）当PO+PC的值最小时，点P的坐标为（2，）；（3）存在，具体见解析.
【解析】
试题分析：(1)由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
(2) 连接PA，D与P重合时有最不值，求出点D的坐标即可；
(3)存在，分别以PA，PC、PC，PQ、PA，PQ为一组邻边时，写出坐标即可；

（2）连接PA，
∵点P在抛物线对称轴上，∴PA=PO，∴PO+PC= PA+PC．
当点P与点D重合时，PA+PC= AC；
当点P不与点D重合时，PA+PC> AC；
∴当点P与点D重合时，PO+PC的值最小，

（3）存在．当以PA，PC为一组邻边时，P(2，0)，Q(2，3)； [来源:+网Z+X+X+K]
当以PC，PQ为一组邻边时，P(2，－6)，Q(6，－9)；
当以PA，PQ为一组邻边时，P(2，－12)，Q(－2，－9).
16．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点M是二次函数图象上一点，过点M作轴，如果二次函数的图象与关于l成轴对称，则称是关于点M的伴随函数如图2，在平面直角坐标系中，二次函数的函数表达式是，点M是二次函数图象上一点，且点M的横坐标为m，二次函数是关于点M的伴随函数．

若，
求的函数表达式．
点，在二次函数的图象上，若，a的取值范围为______．
过点M作轴，
如果，线段MN与的图象交于点P，且MP：：3，求m的值．
如图3，二次函数的图象在MN上方的部分记为，剩余的部分沿MN翻折得到，由和所组成的图象记为.以、为顶点在x轴上方作正方形直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围．
【答案】 的函数表达式为， ；
或， 当或时，G与正方形ABCD有三个公共点．
【解析】
【分析】
根据题意，当时，可得到抛物线的顶点为，再用顶点式写出函数表达式即可；
由点，在二次函数的图象上，得到，再根据，可得a的取值范围；
由轴，MP：：3，得到，然后根据当m＞0和m＜0时，分情况讨论即可得到答案；
通过分别分析当m=,1，，2值，得到正方形与G的公共点数，从而得到正方形与G有三个公共点时m的取值范围.
【详解】

点，在二次函数的图象上，
∴，
当时，，
解得：，
故答案为：；

分析图象可知：
当时，可知C1和G的对称轴关于直线对称，的顶点恰在AD上，此时G与正方形有2个公共点，
当时，G与正方形ABCD有三个公共点，
当时，直线MN与x轴重合，G与正方形有三个公共点，
当1＜m＜时，G与正方形ABCD有五个公共点，
当m＝时，G的顶点与点C(3,2)重合，且G对称轴左侧部分与正方形有三个公共点，
当＜m＜2时，G与正方形ABCD有四个个公共点，
当时，G过点且G对称轴左侧部分与正方形有两个公共点，
故当或时，G与正方形ABCD有三个公共点．
17．平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．
（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．
①当a=1、d=﹣1时，求k的值；
②若y随x的增大而减小，求d的取值范围；
（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）①k的值为﹣3，②d的取值范围为d＞﹣4；（2）AB∥x轴．理由见解析；（3）线段CD的长度不变，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）①当a=1、d=-1时，m=2a-d=3，于是得到抛物线的解析式，然后求得点A和点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入直线AB的解析式求得k的值即可；
②将x=a，x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标，然后依据y1随着x的增大而减小，可得到-（a-m）（a+2）>-（a+2-m）（a+4），结合已知条件2a-m=d，可求得d的取值范围；
（2）由d=-4可得到m=2a+4，则抛物线的解析式为y=-x2+（2a+2）x+4a+8，然后将x=a、x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标，最后依据点A和点B的纵坐标可判断出AB与x轴的位置关系；
（3）先求得点A和点B的坐标，于是得到点A和点B运动的路线与字母a的函数关系式，则点C（0，2m），D（0，4m-8），于是可得到CD与m的关系式．
【详解】
（1）①当时，
所以二次函数的表达式是
∵a=1，
∴点A的横坐标为1，点B的横坐标为3，
把x=1代入抛物线的解析式得：y=6，把x=3代入抛物线的解析式得：y=0，
∴A（1，6），B（3，0）．
将点A和点B的坐标代入直线的解析式得：解得：
所以k的值为﹣3．

（2）∵且
∴m=2a+4．
∴二次函数的关系式为
把x=a代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8．
把x=a+2代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8．
∴A（a，a2+6a+8）、B（a+2，a2+6a+8）．
∵点A、点B的纵坐标相同，
∴AB∥x轴．
（3）线段CD的长度不变．
∵过点A、点B，，
∴
∴
∵把a=0代入，得：
∴

18．如图1，已知抛物线L1：y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在L1上任取一点P，过点P作直线l⊥x轴，垂足为D，将L1沿直线l翻折得到抛物线L2，交x轴于点M，N（点M在点N的左侧）．
（1）当L1与L2重合时，求点P的坐标；
（2）当点P与点B重合时，求此时L2的解析式；并直接写出L1与L2中，y均随x的增大而减小时的x的取值范围；
（3）连接PM，PB，设点P（m，n），当n= m时，求△PMB的面积．

【答案】（1）P（1，4）；（2）x≥5 ；（3）△PMB的面积为或3
【解析】
【分析】
（1）由配方法可得顶点坐标；
（2）由对称性求出抛物线L2的顶点，进而得到解析式，由图象可得；
（3）利用点P在抛物线上和n=m构造方程求出m、n，分类讨论求△PMB的面积．
【详解】
（1）由抛物线对称性，当点P为抛物线L1的顶点时，抛物线L1与L2重合
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4
∴点P（1，4）

（3）当n=m时，-m2+2m+3=m，解得m1=-，m2=2
∴点P坐标为（-，-）或（2，3）
①如图1，

当点P坐标为（-，-）时，点D的坐标为坐标为（-，0）
∴DB=3-（-）=
∴MB=2BD=2×=9
∴S△PMB=•MB•PD＝×9×＝
②如图2，


19．如图，平面直角坐标系中，直线l：y=x+m交x轴于点A，二次函数y=ax2﹣3ax+c（a≠0，且a、c是常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，与直线l交于点D，已知CD与x轴平行，且S△ACD：S△ABD=3：5．
（1）求点A的坐标；
（2）求此二次函数的解析式；
（3）点P为直线l上一动点，将线段AC绕点P顺时针旋转α°（0°＜α°＜360°）得到线段A'C'（点A，A'是对应点，点C，C'是对应点）．请问：是否存在这样的点P，使得旋转后点A'和点C'分别落在直线l和抛物线y=ax2﹣3ax+c的图象上？若存在，请直接写出点A'的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) A（﹣1，0）;(2) y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2;(3)见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得C（0，c），且CD∥x轴，可得D（3，c），根据面积比可得AB=5．由对称性可得点A（-2m，0）到对称轴的距离2倍是5，可求m，即可求A点坐标．[来源:+网]
（2）由直线l过D点可求D（3，2），由A，B关于对称轴对称可求B（4，0），则可用交点式求二次函数的解析式．
（3）由点A是直线l上一点，绕直线l上点P旋转，且落在直线l上，因此可得点A与点A'重合，或点A绕点P旋转180°得到A'．设C'（a，-a2+a+2）根据中点坐标公式可求A'点坐标．
【详解】
解：（1）

∵二次函数y=ax2﹣3ax+c（a≠0，且a、c是常数）的图象与x轴交于A、B两点
∴C（0，c，），对称轴是直线x==.
∵CD∥x轴.
∴C，D关于对称轴直线x=对称.
∴D（3，c）.

∴m=.
∴A（﹣1，0），且AB=5.
∴B（4，0）.
（2）设抛物线解析式y=a（x+1）（x﹣4）.
∵m=.
∴直线AD解析式y=x+.
∵D（3，c）在直线AD上.
∴c=+=2.
∴D（3，2）且在抛物线上.
∴2=a（3+1）（3﹣4）.
∴a=﹣.
∴抛物线解析式y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2.

如图2:

设C'（a，﹣a2+a+2）.
∵C（ 0，2），CP=CP'.
∴P（a，﹣a2+a+2）.
∵点P在直线l上，
∴﹣a2+a+2=a+.
即 a2﹣2a﹣6=0.
解得：a1=1+，a2=1﹣.

20．在平面直角坐标系中，已知二次函数y=k（x﹣ax﹣b），其中a≠b．
（1）若此二次函数图象经过点（0，k），试求a，b满足的关系式．
（2）若此二次函数和函数y=x2﹣2x的图象关于直线x=2对称，求该函数的表达式．
（3）若a+b=4，且当0≤x≤3时，有1≤y≤4，求a的值．
【答案】（1）ab=1；（2）y=x2﹣6x+8；（3）a=．
【解析】
【分析】
（1）将（0，k）代入y=k（x﹣ax﹣b），整理后即可得；
（2）由（1）知，k=1，易得函数y=x2﹣2x与x轴交点的坐标为（0，0）、（2，0），由对称性可知此二次函数与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0），由此即可求得解析式；
（3）根据a+b=4，可得函数表达式变形为y=k（x﹣a）（x+a﹣4），然后分k＞0、k＜0两种情况分别讨论即可得.
【详解】
（1）将（0，k）代入y=k（x﹣ax﹣b），得kab=k，∵k≠0，∴ab=1；

（3）∵a+b=4，
∴函数表达式变形为y=k（x﹣a）（x+a﹣4）．
①当k＞0时，则根据题意可得：当x=2，y=1；
当x=0时，y=4，
∴，
消去k，整理，得3a2﹣12a+16=0，
∵△=﹣48＜0，
∴此方程无解；
②当k＜0时，则根据题意可得：当x=2，y=4，
当x=0时，y=1，
∴，
消去k，整理，得，3a2﹣12a﹣4=0，
解得a=．