2020-2021学年北京市丰台区七下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市丰台区七下期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 数轴上表示的不等式的解集正确的是
A. x≥2B. x>2C. x≤2D. x<2

2. 9 的平方根是
A. 3B. ±3C. 3D. ±3

3. 如图，直线 l 与直线 a，b 分别相交，且 a∥b，∠1=110∘，则 ∠2 的度数是
A. 20∘B. 70∘C. 90∘D. 110∘

4. 空气是由多种气体混合而成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是
A. 扇形图B. 直方图C. 条形图D. 折线图

5. 如图，四边形 ABCD 中，AC，BD 交于点 O，如果 ∠BAC=∠DCA，那么以下四个结论中错误的是
A. AD∥BCB. AB∥CD
C. ∠ABD=∠CDBD. ∠BAD＋∠ADC=180∘

6. 已知 x，y 满足方程组 x+y=−1,2x−y=7, 那么 x−2y 的值是
A. −4B. 2C. 6D. 8

7. 2021 年是中国共产党建党 100 周年暨红军长征胜利 85 周年．长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点．如图是红一方面军长征路线图，如果表示瑞金的点的坐标为 4,−3，表示遵义会议的点的坐标为 12,−2，那么表示吴起镇会师的点的坐标为
A. 3,0B. 0,3C. 3,1D. 1,3

8. 明代数学家程大位的著作《算法统综》中有一个“绳索量竿”问题：“一只竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，问索长几尺?”译文为：“现有一根竹竿和一条绳索，用绳索去量竹竿，绳索比竹竿长 5 尺，如果将绳索对折后再去量竹竿，就比竹竿短 5 尺，问绳索长几尺?”（注：一托 =5 尺）设绳索长 x 尺，竹竿长 y 尺，根据题意列方程组正确的是
A. x−y=5,y−12x=5B. x−y=5,y−2x=5C. y−x=5,x−12y=5D. y−x=5,y−2x=5

9. 如图，用边长为 3 的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是
A. 3B. 4C. 5D. 6

10. 已知关于 x 的不等式组 x−1<0,x−a≥0, 有以下说法：
①如果 a=−2，那么不等式组的解集是 −2≤x<1，
②如果不等式组的解集是 −3≤x<1，那么 a=−3，
③如果不等式组的整数解只有 −2，−1，0，那么 a=−2，
④如果不等式组无解，那么 a≥1，
其中所有正确说法的序号是
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如果 ∠A=135∘，那么 ∠A 的邻补角的度数为 ∘．

12. 如图，利用直尺和三角板，过直线 AB 外一点 P 画直线 CD，使 CD∥AB，画图的依据是 ．

13. 如果点 P−1,m−3 到 x 轴的距离等于 2，那么 m 的值为 ．

14. 写出一个 c 的值，说明命题“如果 a>b，那么 ac>bc”是假命题，这个值可以是 ．

15. 某日小王驾驶一辆小型车到某地办事，上午 9:00 达，在路边的电子收费停车区域内停车．收费标准如图：
（1）如果他 9:50 离开，那么应缴费 元；
（2）如果他离开时缴费 15 元，那么停车的时长可能是 分钟．（写出一个即可）

16. 在平面直角坐标系 xOy 中，对点 P 进行如下操作：把点 P 的横、纵坐标乘以同一个实数 a，将得到的点先向左平移 m 个单位长度，再向上平移 n 个单位长度，得到点 P 的对应点 Pʹ．如图，点 A，B 经过上述操作后得到的对应点分别是点 Aʹ，Bʹ．
（1）如果点 C6,−2 经过上述操作后得到的对应点是点 Cʹ，那么点 Cʹ 的坐标为 ．
（2）如果点 D 经过上述操作后得到的对应点 Dʹ 与点 D 重合，那么点 D 的坐标为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
17. 计算：−12+3−8+4−−12．

18. 解方程组：x+3y=2,3x−y=−4.

19. 解不等式组：x+12>−1,2x≥5x−6.

20. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A−1,−1，B0,1．
（1）将线段 AB 向右平移 2 个单位长度，向下平移 1 个单位长度，平移后得到对应线段 A1B1，请画出线段 A1B1，并写出点 A1，B1 的坐标；
（2）平移线段 AB 得到线段 B1B2，使得点 A 与点 B1 重合，写出一种由线段 AB 得到线段 B1B2 的运动过程．

21. 为贯彻落实教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》通知要求，培养学生劳动习惯与劳动能力，某校学生发展中心在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从校七至九年级各随机抽取 30 名学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述，下面是其中的部分信息：
a. 90 名学生每日平均家务劳动时长的频数分布表：
分组频数20≤x<25925≤x<30m30≤x<351535≤x<402440≤x<45n45≤x<509合计90
b. 90 名学生每日平均家务劳动时长频数分布直方图：
c.每日平均家务劳动时长在 35≤x<40 这一组的是：
353535353636363636373737383838383838383939393939
d.小东每日平均家务劳动时长为 37 min．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出频数分布表中的数值 m= ，n= ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小东每日平均家务劳动时长 样本中一半学生的每日平均家务劳动时长；（填“超过”或“没超过”）
（4）学生发展中心准备将每日平均家务劳动时长达到 40 min 及以上的学生评为“家务小能手”，如果该校七至九年级共有 420 名学生，请估计获奖的学生人数．

22. 如图，点 P 为 ∠AOB 的角平分线 OC 上的一点，过点 P 作 PM∥OB 交 OA 于点 M，过点 P 作 PN⊥OB 于点 N．当 ∠AOB＝60∘ 时，求 ∠OPN 的度数．
（1）依题意，补全图形；
（2）完成下面的解题过程．
解：∵PN⊥OB 于点 N，
∴∠PNB= ∘（ ）（填推理的依据）
∵PM∥OB，
∴∠MPN=∠PNB=90∘，
∠POB= （ ）（填推理的依据）
∵OP 平分 ∠AOB，且 ∠AOB=60∘，
∴∠POB=12∠AOB=30∘（角的平分线的定义）
∴∠MPO= ∘．
∵∠MPO+∠OPN=∠MPN，
∴∠OPN= ∘．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示，以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，例如 x=3,y=2 是方程 x−y=1 的一个解，用一个点 3,2 来表示，以方程 x−y=1 的解为坐标的点的全体叫做方程 x−y=1 的图象，方程 x−y=1 的图象是图中的直线 l1．
（1）二元一次方程 x+y=3 的图象是直线 l2，在同一坐标系中画出这个方程的图象；
（2）写出直线 l1 与直线 l2 的交点 M 的坐标；
（3）过点 P−1,0 且垂直于 x 轴的直线与 l1，l2 的交点分别为 A，B，直接写出三角形 MAB 的面积．

24. 课上教师呈现一个问题：
如图，AB∥CD，点 E 是线段 AB，CD 所在直线外的一点，连接 BE，DE，探究 ∠BED，∠ABE，∠CDE 之间的数量关系．
小凯画出了图 1，图 2，分析思路及结论如下：
分析思路：
要寻求三个角之间的数量关系，根据图中角的位置特征，可以借助平行线进行角的位置的转换．
如图 1，过点 E 作 MN∥AB．
（1）由 MN∥AB 可知 ∠BEN=∠ABE；
（2）由 MN∥AB，AB∥CD 得到 MN∥CD，可知 ∠NED=∠CDE；
（3）由 ∠BED=∠BEN+∠NED，
得到结论：∠BED=∠ABE+∠CDE
如图 2，类似图 1 的分析 ⋯
得到结论：∠BED+∠ABE+∠CDE=360∘．
小明认为小凯只考虑了点 E 在直线 AB，CD 之间的情况，点 E 的位置应该还有其他情况．
根据以上材料，解答问题：画出一种点 E 不在直线 AB，CD 之间的图形，写出探究 ∠BED，∠ABE，∠CDE 之间的数量关系的分析思路及结论．

25. “冰墩”和“雪容融”分别是北京 2022 年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自 2019 年正式亮相后，相关特许商品投放市场，持续热销，某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：
第1个月1004014800第2个月1606023380
（1）求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格；
（2）某单位欲购买这两款玩具作为冬奥知识竞赛活动的奖品，要求“雪容融”的数量恰好等于“冰墩墩”的数量的 2 倍，且购买总资金不得超过 9000 元，请根据要求确定该单位购买“冰墩墩”玩具的最大数量．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 Ma,b．如果存在点 Naʹ,bʹ，满足 aʹ=∣a+b∣，bʹ=∣a−b∣，则称点 N 为点 M 的“控变点”．
（1）点 A−1,2 的“控变点”B 的坐标为 ；
（2）已知点 Cm,−1 的“控变点”D 的坐标为 4,n，求 m，n 的值；
（3）长方形 EFGH 的顶点坐标分别为 1,1，5,1，5,4，1,4．如果点 Px,−2x 的“控变点”Q 在长方形 EFGH 的内部，直接写出 x 的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】由数轴图得：x≤2．
2. D【解析】∵9=3，
∴9 的平方根是 ±3．
故选D．
3. B【解析】∵a∥b，
∴∠3=180∘−∠1=180∘−110∘=70∘，
∴∠2=∠3=70∘．
故选：B．
4. A【解析】根据题意得：要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．
故选：A．
5. A
【解析】∵∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，选项B正确；
∴∠ABD=∠CDB，∠BAD+∠ADC=180∘，选项C，D均正确；
根据已知条件无法证出 AD∥BC，选项A错误；
故选：A．
6. D【解析】x+y=−1, ⋯⋯①2x−y=7, ⋯⋯②
由② − ①得：2x−x−y−y=7−−1，
即 x−2y=8，
故选：D．
7. D【解析】由题意，建立平面直角坐标系如下（每个方格的长度即为单位长度 1）；
则表示吴起镇会师的点的坐标为 1,3．
8. A【解析】由题意，列方程组为 x−y=5,y−12x=5.
9. B【解析】大正方形的边长为 2×3×3=18，
∵16<18<25，
∴16<18<25，即 4<18<5，
又
∵5−18−18−4=5−18−18+4,=9−218,=2×4.5−18,=2×20.25−18>0,
∴5−18>18−4，
∴ 与 18 最接近的整数是 4，
即大正方形的边长最接近的整数是 4．
10. B
【解析】解不等式 x−1<0 得：x<1，
解不等式 x−a≥0 得：x≥a，
如果 a=−2，那么不等式组的解集是 −2≤x<1，即说法①正确；
如果不等式组的解集是 −3≤x<1，那么 a=−3，即说法②正确；
如果不等式组的整数解只有 −2，−1，0，那么 −3如果不等式组无解，那么 a≥1，即说法④正确；
综上，所有正确说法的序号是①②④．
第二部分
11. 45
【解析】∵∠A=135∘，
∴∠A 的邻补角的度数为 180∘−∠A=45∘．
12. 同位角相等，两直线平行
【解析】由图可知，画图的依据是同位角相等，两直线平行．
13. 1 或 5
【解析】由题意得：∣m−3∣=2，
即 m−3=2 或 m−3=−2，
解得 m=5 或 m=1．
14. −1（答案不唯一）
【解析】要使得命题“如果 a>b，那么 ac>bc”是假命题，
则由不等式的性质得：只需 c 不是正数即可，
因此，这个值可以是 −1．
15. 4.5，130（答案不唯一，在大于等于 120 且小于 135 内的数值均可）
【解析】（1）如果他 9:50 离开，那么收费标准以白天的首小时内为准，且为 3 个计时单位，
因此，应缴费为 1.5×3=4.5（元）．
（2）如果他在 10:00 离开，则应缴费为 1.5×4=6<15，
如果他在 19:00 离开，则应缴费为 1.5×4+2.25×4×9=87>15，
因此，他是在 10:00∼19:00 之间某个时间点离开的，
因为 15−1.5×4÷2.25=4，
所以在以白天的首小时后为收费标准内，他停留了 4 个计时单位，即 4×15=60（分钟），
设停车的时长为 x 分钟，
因为不足一个计时单位不收取费用，
所以 60+60≤x<60+75，即 120≤x<135，
则停车的时长可能是 130 分钟．
16. 1,0，−4,2
【解析】（1）由题意得：−m=−2,4a+n=3,−6a−m=−5,−2a+n=0, 解得 a=12,m=2,n=1,
∵C6,−2，
∴Cʹ6×12−2,−2×12+1，即 Cʹ1,0，
故答案为：1,0；
（2）设点 D 的坐标为 Db,c，则点 Dʹb,c，
由题意得：12b−2=b，12c+1=c，
解得 b=−4，c=2，
则 D−4,2，
故答案为：−4,2．
第三部分
17. 原式=1+−2+2−12=12．
18.
x+3y=2, ⋯⋯①3x−y=−4, ⋯⋯②
由①得
x=2−3y. ⋯⋯③
将③代入②，得
32−3y−y=−4,6−9y−y=−4,−10y=−10,∴y=1.
将 y=1 代入③，得
x=−1.∴
原方程组的解为
x=−1,y=1.
19.
x+12>−1, ⋯⋯①2x≥5x−6. ⋯⋯②
解不等式①得：
x>−3,
解不等式②得：
x≤2,
则不等式组的解集为
−320. （1） 如图，线段 A1B1 即为所求．
则 A11,−2，B12,0．
（2） 因为 A−1,−1，B12,0，
所以将点 A 向右平移 3 个单位长度，向上平移 1 个单位长度可得到点 B1，
则将线段 AB 向右平移 3 个单位长度，向上平移 1 个单位长度得到线段 B1B2．
21. （1） 12；21
【解析】由频数分布直方图得：m=12，
n=90−9−12−15−24−9=21，
故答案为：12，21．
（2） 根据 n=21 补全频数分布直方图如下：
（3） 超过
【解析】在 35≤x<40 这一组内，每日平均家务劳动时长达到 37 min 及以上的学生人数为 15 人，则在样本中，每日平均家务劳动时长达到 37 min 及以上的学生人数为 15+21+9=45（人），因此，每日平均家务劳动时长低于 37 min 的人数为 45 人，故小东每日平均家务劳动时长超过了样本中一半学生的每日平均家务劳动时长，故答案为：超过．
（4） 420×21+990×100%=140（名）．
答：估计获奖的学生人数为 140 名．
22. （1） 依题意，补全图形如下：
（2） 90；垂直的定义；∠MPO；两直线平行，内错角相等；30；60
23. （1） 对于二元一次方程 x+y=3，
当 x=0 时，y=3，
当 y=0 时，x=3，
则点 0,3，3,0 在直线 l2 上，
先描点，再连接两点，画出直线 l2 如图所示：
（2） x−y=1, ⋯⋯①x+y=3. ⋯⋯②
由① + ②得：2x=4，解得 x=2，
由② − ①得：2y=2，解得 y=1，
则方程组的解为 x=2,y=1.
因此，直线 l1 与直线 l2 的交点 M 的坐标 2,1．
（3） 9
【解析】由题意，画出图形如下：
对于 l1:x−y=1，
当 x=−1 时，−1−y=1，解得 y=−2，即 A−1,−2，
对于 l2:x+y=3，
当 x=−1 时，−1+y=3，解得 y=4，即 B−1,4，
所以 AB=4−−2=6，
因为 M2,1，
所以三角形 MAB 的 AB 边上的高为 2−−1=3，
则三角形 MAB 的面积为 12×6×3=9．
24. ①如图，当点 E 在直线 AB 的上方时，
过点 E 作 MN∥AB，
∴∠BEN=∠ABE，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠DEN=∠CDE，
又 ∵∠BED=∠DEN−∠BEN，
∴∠BED=∠CDE−∠ABE；
②如图，当点 E 在直线 CD 的下方时，
同理可得：∠BEN=∠ABE，∠DEN=∠CDE，
∵∠BED=∠BEN−∠DEN，
∴∠BED=∠ABE−∠CDE．
25. （1） 设此款“冰墩墩”的零售价格为 x 元/件，“雪容融”玩具的零售价格 y 元/件，
由题意得：
100x+40y=14800,160x+60y=23380,
解得
x=118,y=75,
符合题意，
答：此款“冰墩墩”的零售价格为 118 元/件，“雪容融”玩具的零售价格 75 元/件；
（2） 设购买“冰墩墩”的数量为 aa>0 件，则购买“雪容融“的数量为 2a 件，
由题意得：
118a+75×2a≤9000,
解得 a≤333967，
因为 a 为正整数，
所以该单位购买“冰墩墩”玩具的最大数量为 33 件．
26. （1） 1,3
【解析】∵∣−1+2∣=1，∣−1−2∣=3，
∴A−1,2 的“控变点”的坐标为 1,3，
故答案为：1,3．
（2） 由题意得：∣m−1∣=4,∣m+1∣=n,
解得 m=5,n=6 或 m=−3,n=2,
即 m=5，n=6 或 m=−3，n=2．
（3） −43【解析】在平面直角坐标系中，画出长方形 EFGH 如下所示：
由题意得：Q∣x−2x∣,∣x+2x∣，即 Q∣x∣,3∣x∣，
要使 Q 在长方形 EFGH 的内部，则 1<∣x∣<5,1<3∣x∣<4,
解得 1<∣x∣<43，
即 −43