优化提升专题训练（新高考） 数列综合问题的探究（含答案解析）学案

  数列综合问题的探究

【知识框图】

【自主热身，归纳总结】

1、【2020年高考北京】在等差数列中，，．记，则数列A．有最大项，有最小项       B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

【答案】B

【解析】由题意可知，等差数列的公差，

则其通项公式为：，

注意到，

且由可知，

由可知数列不存在最小项，

由于，

故数列中的正项只有有限项：，.

故数列中存在最大项，且最大项为.

故选：B．

2、设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则

A． 当 B． 当

C． 当 D． 当

【答案】A

【解析】①当b=0时，取a=0，则.

②当时，令，即.

则该方程，即必存在，使得，

则一定存在，使得对任意成立，

解方程，得，

当时，即时，总存在，使得，

故C、D两项均不正确.

③当时，，

则，

.

（ⅰ）当时，，

则，

，

，

则，

，

故A项正确.

（ⅱ）当时，令，则，

所以，以此类推，

所以，

故B项不正确.

故本题正确答案为A.

3、【2020年高考江苏】设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是   ▲    ．

【答案】

【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.

等差数列的前项和公式为，

等比数列的前项和公式为，

依题意，即，

通过对比系数可知，故.

故答案为：.

4、【2018年高考江苏卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为___________．

【答案】27

【解析】所有的正奇数和按照从小到大的顺序排列构成，在数列|中，25前面有16个正奇数，即.当n=1时，，不符合题意；当n=2时，，不符合题意；当n=3时，，不符合题意；当n=4时，，不符合题意；……；当n=26时，，不符合题意；当n=27时，,符合题意.故使得成立的n的最小值为27.

5、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）数列的前项和为，，，则__________；若时，的最大值为__________.

【答案】26    807   

【解析】

∵，，

∴，，，，，……

∴；

由可知，，

故时，的最大值为807；

故答案为：26；807．

6、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

【解析】（1）设的公比为，由题设得 即.

所以 解得（舍去），.

故的公比为.

（2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以

，

.

可得

所以.

【问题探究，变式训练】

题型一、错位相减法求和

例1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设等差数列的前项和为，且，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，

解得.

所以.

（Ⅱ）因此.

所以，

，

相减得

.

故：.

变式1、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，．

（1）求和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【解析】（1）当时，，

当时，

=

=，

所以．

所以，

于是，解得或（舍）

所以=．

（2）由以上结论可得，

所以其前n项和

=    

=     

-得，=

=

所以=．

变式2、【2018年高考浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．

（1）求q的值；

（2）求数列{bn}的通项公式．

【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.

（1）由是的等差中项得，

所以，

解得.

由得，

因为，所以.

（2）设，数列前n项和为.

由解得.

由（1）可知，

所以，

故，

.

设，

所以，

因此，

又，所以.

题型二、裂项相消法法求和

例2、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列是等比数列，且，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【解析】（1）设数列的公比为，∵，

∴，∴，

∵，

∴，

∴，

即：，

解得：.

∴，

∴.

（2），

∴

.

变式1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知数列的前n项和满足，且.

（1）求数列的前n项和，及通项公式；

（2）记，为的前n项和，求.

【解析】（I）由已知有，

∴数列为等差数列，

且，

∴，即，

当时，，

又也满足上式，∴；

（II）由（1）知，，

∴，

变式2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知等差数列满足,前7项和.

(1)求数列的通项公式;

(2)设,求数列的前项和.

【解析】 (1)设等差数列的公差为d,由可知,前7项和.

,解得..

(2)

前项和

.

题型三、数列中的参数问题

例3、（2020届山东实验中学高三上期中）设正项数列的前n项和为，已知

(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式

(2)设数列的前n项和为，且，若对任意都成立，求实数的取值范围.

【解析】（1）证明:∵，且，

当时，，解得．

当时，有即，即．于是，

即．

∵，∴为常数

∴数列是为首项，为公差的等差数列，∴．

（2）由（1）可得： ，

∴

，即对任意都成立，

①当为偶数时，恒成立，

令，

，

在上为增函数，

②当为奇数时，恒成立，又，在为增函数，

∴由①②可知：

综上所述的取值范围为:

变式1、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知数列满足，，正项数列满足，且是公比为3的等比数列.

（1）求及的通项公式；

（2）设为的前项和，若恒成立，求正整数的最小值.

【解析】（1）正项数列满足，且是公比为3的等比数列，

可得，则，

，可得，

当时，又，

相除可得，即数列的奇数项、偶数项均为公比为3的等比数列，

可得.

（2）当为偶数时，

，

由，解得，

当为奇数，，

由，解得，

综上可得.

题型四、数列中的不等式证明

例4、【2020年高考天津】已知为等差数列，为等比数列，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记的前项和为，求证：；

（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由，，可得，从而的通项公式为．由，又，可得，解得，从而的通项公式为．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，故，，从而，所以．

（Ⅲ）解：当为奇数时，；当为偶数时，．

对任意的正整数，有，

和．        ①

由①得．        ②

由①②得，从而得．

因此，．

所以，数列的前项和为．

变式1、【2020年高考浙江】已知数列{an}，{bn}，{cn}满足．

（Ⅰ）若{bn}为等比数列，公比，且，求q的值及数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若{bn}为等差数列，公差，证明：．

【解析】（Ⅰ）由得，解得．

由得．

由得．

（Ⅱ）由得，

所以，

由，得，因此．

题型五、数列中的定义型问题

例5、【2020年高考北京】已知是无穷数列．给出两个性质：

①对于中任意两项，在中都存在一项，使；

②对于中任意项，在中都存在两项．使得．

(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.

【解析】

(Ⅰ)不具有性质①；

(Ⅱ)具有性质①；

具有性质②；

(Ⅲ)【解法一】

首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：

显然，假设数列中存在负项，设，

第一种情况：若，即，

由①可知：存在，满足，存在，满足，

由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立.

第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：，

另一方面，，由数列单调性可知：，

这与的定义矛盾，假设不成立.

同理可证得数列中的项数恒为负数.

综上可得，数列中的项数同号.

其次，证明：

利用性质②：取，此时，

由数列的单调性可知，

而，故，

此时必有，即，

最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：

假设数列的前项成等比数列，不妨设，

其中，（情况类似）

由①可得：存在整数，满足，且    （*）

由②得：存在，满足：，由数列的单调性可知：，

由可得：    （**）

由（**）和（*）式可得：，

结合数列的单调性有：，

注意到均为整数，故，

代入（**）式，从而.

总上可得，数列的通项公式为：.

即数列为等比数列.

【解法二】假设数列中的项数均为正数：

首先利用性质②：取，此时，

由数列的单调性可知，

而，故，

此时必有，即，

即成等比数列，不妨设，

然后利用性质①：取，则，

即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明，

否则，由数列的单调性可知，

在性质②中，取，则，从而，

与前面类似的可知则存在，满足，

若，则：，与假设矛盾；

若，则：，与假设矛盾；

若，则：，与数列的单调性矛盾；

即不存在满足题意的正整数，可见不成立，从而，

同理可得：，从而数列为等比数列，

同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.

由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.

从而题中的结论得证，数列为等比数列.

变式、【2020年高考江苏】已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ～k”数列．

（1）若等差数列是“λ～1”数列，求λ的值；

（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；

（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ～3”数列，且？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

【解析】（1）因为等差数列是“λ～1”数列，则，即，

也即，此式对一切正整数n均成立．

若，则恒成立，故，而，

这与是等差数列矛盾．

所以．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）

（2）因为数列是“”数列，

所以，即．

因为，所以，则．

令，则，即．

解得，即，也即，

所以数列是公比为4的等比数列．

因为，所以．则

（3）设各项非负的数列为“”数列，

则，即．

因为，而，所以，则．

令，则，即．（*）

①若或，则（*）只有一解为，即符合条件的数列只有一个．

（此数列为1，0，0，0，…）

②若，则（*）化为，

因为，所以，则（*）只有一解为，

即符合条件的数列只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）

③若，则的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内，

则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t）．

所以或．

由于数列从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列有无数多个，则对应的有无数多个．

综上所述，能存在三个各项非负的数列为“”数列，的取值范围是．