课时过关检测（二十四） 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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A级——基础达标
1．(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝7，则tan θ＝( )
A．－2 B．－1
C．1D．2
解析：选D 由已知得2tan θ－eq \f(tan θ＋1,1－tan θ)＝7，得tan θ＝2.
2．tan 18°＋tan 12°＋eq \f(\r(3),3)tan 18°tan 12°＝( )
A．eq \r(3)B．eq \r(2)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),3)
解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝eq \f(tan 18°＋tan 12°,1－tan 18°tan 12°)＝eq \f(\r(3),3)，∴tan 18°＋tan 12°＝eq \f(\r(3),3)(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝eq \f(\r(3),3).
3．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝－2，则eq \f(1－sin 2α,cs 2α)＝( )
A．2B．eq \f(1,2)
C．－2D．－eq \f(1,2)
解析：选D 由题意得taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝－2，
所以eq \f(1－sin 2α,cs 2α)＝eq \f(sin α－cs α2,cs2α－sin2α)＝eq \f(cs α－sin α,cs α＋sin α)＝eq \f(1－tan α,1＋tan α)＝－eq \f(1,2).
4．(2021·湖南岳阳一中月考)黄金三角形就是一个等腰三角形，其顶角为36°，底角为72°，底与腰的长度比值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2cs 72°.若n＝cs 36°cs 72°cs 144°，则mn＝( )
A．－1B．eq \f(1,8)
C．－eq \f(1,8)D．1
解析：选C ∵m＝2cs 72°，n＝cs 36°cs 72°cs 144°，
∴mn＝2cs 72°cs 36°cs 72°cs 144°
＝2sin 18°cs 36°·cs 72°cs 144°
＝eq \f(sin 36°cs 36°cs 72°cs 144°,cs 18°)
＝eq \f(sin 72°cs 72° cs 144°,2cs 18°)＝eq \f(sin 144°cs 144°,4cs 18°)
＝eq \f(sin 288°,8cs 18°)＝eq \f(sin18°＋270°,8cs 18°)＝eq \f(－cs 18°,8cs 18°)＝－eq \f(1,8)，
即mn＝－eq \f(1,8).故选C．
5．(多选)下列各式中，值为eq \f(1,2)的是( )
A．cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)B．eq \f(tan 22.5°,1－tan222.5°)
C．2sin 195°cs 195°D． eq \r(\f(1＋cs \f(π,6),2))
解析：选BC 选项A，cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)))＝cs eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，错误；
选项B，eq \f(tan 22.5°,1－tan222.5°)＝eq \f(1,2)·eq \f(2tan 22.5°,1－tan222.5°)＝eq \f(1,2)tan 45°＝eq \f(1,2)，正确；
选项C,2sin 195°cs 195°＝2sin(180°＋15°)cs(180°＋15°)＝2sin 15°cs 15°＝sin 30°＝eq \f(1,2)，正确；
选项D, eq \r(\f(1＋cs \f(π,6),2))＝ eq \r(\f(1＋\f(\r(3),2),2))＝eq \f(\r(2＋\r(3)),2)，错误．故选B、C．
6．(多选)(2021·山东泰安一模)已知sin θ＝－eq \f(2,3)，且cs θ>0，则( )
A．tan θ<0B．tan2θ>eq \f(4,9)
C．sin2 θ>cs2θD．sin 2θ>0
解析：选AB 因为sin θ＝－eq \f(2,3)且cs θ>0，所以cs θ＝eq \r(1－\f(4,9))＝eq \f(\r(5),3)，所以tan θ＝－eq \f(2\r(5),5)，故A项正确；tan2θ＝eq \f(4,5)>eq \f(4,9)，故B项正确；sin2θ＝eq \f(4,9)，cs2θ＝eq \f(5,9)，所以sin2θ7．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(1,2)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))的值为 ．
解析：由已知得cs α＝eq \f(1,2)，sin α＝－eq \f(\r(3),2)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
8.eq \f(1,1－tan 15°)－eq \f(1,1＋tan 15°)＝ .
解析：eq \f(1,1－tan 15°)－eq \f(1,1＋tan 15°)
＝eq \f(1＋tan 15°－1－tan 15°,1－tan 15°1＋tan 15°)＝eq \f(2tan 15°,1－tan215°)
＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3).
答案：eq \f(\r(3),3)
9．已知sin 10°－mcs 10°＝2cs 140°，则m＝ .
解析：由题意得
m＝eq \f(sin 10°－2cs 140°,cs 10°)＝eq \f(sin 10°＋2cs 40°,cs 10°)
＝eq \f(sin 10°＋2cs30°＋10°,cs 10°)
＝eq \f(sin 10°＋2×\f(\r(3),2)cs 10°－2×\f(1,2)sin 10°,cs 10°)
＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
10．已知sin β＝eq \f(3,5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sin(α＋β)＝cs α，则tan(α＋β)＝ .
解析：因为sin β＝eq \f(3,5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs β＝－eq \f(4,5).
由sin(α＋β)＝cs α＝cs[(α＋β)－β]＝cs(α＋β)cs β＋sin(α＋β)sin β＝－eq \f(4,5)cs(α＋β)＋eq \f(3,5)sin(α＋β)，
得eq \f(2,5)sin(α＋β)＝－eq \f(4,5)cs(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.
答案：－2
11．已知tan α＝2.
(1)求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值；
(2)求eq \f(sin 2α,sin2α＋sin αcs α－cs 2α－1)的值．
解：(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan\f(π,4),1－tan αtan\f(π,4))＝eq \f(2＋1,1－2)＝－3.
(2)eq \f(sin 2α,sin2α＋sin αcs α－cs 2α－1)
＝eq \f(2sin αcs α,sin2α＋sin αcs α－2cs2α－1－1)
＝eq \f(2sin αcs α,sin2α＋sin αcs α－2cs2α)
＝eq \f(2tan α,tan2α＋tan α－2)＝eq \f(2×2,22＋2－2)＝1.
12．已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解：(1)因为tan α ＝eq \f(4,3)，tan α ＝eq \f(sin α ,cs α )，
所以sin α ＝eq \f(4,3)cs α.
因为sin2α＋cs2α ＝1，
所以cs2α＝eq \f(9,25)，
所以cs 2α ＝2cs2α－1＝－eq \f(7,25).
(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cs(α＋β )＝－eq \f(\r(5),5)，
所以sin(α＋β )＝eq \r(1－cs2α＋β )＝eq \f(2\r(5),5)，
所以tan(α＋β )＝－2.
因为tan α＝eq \f(4,3)，
所以 tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－eq \f(24,7).
所以tan(α－β )＝tan[2α－(α＋β)]
＝eq \f(tan 2α－tanα＋β ,1＋tan 2αtanα＋β )＝－eq \f(2,11).
B级——综合应用
13．若α为第一象限角，且sin 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))cs(π＋α)，则 eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))的值为( )
A．－eq \f(7,5)B．eq \f(7,5)
C．eq \f(1,3)D．－eq \f(7,3)
解析：选B 由sin 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))cs(π＋α)，
得2sin αcs α＝cs2 α.
∵α为第一象限角，∴cs α≠0，∴tan α＝eq \f(1,2)，
∴eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 2αcs\f(π,4)＋sin 2αsin \f(π,4)))
＝cs 2α＋sin 2α＝cs2α－sin2α＋2sin αcs α
＝eq \f(1－tan2α＋2tan α,1＋tan2α)
＝eq \f(1－\f(1,4)＋2×\f(1,2),1＋\f(1,4))＝eq \f(7,5).故选B.
14．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcs β－cs αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．
解析：由sin αcs β－cs αsin β＝1，
得sin(α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，
∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝eq \f(π,2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤α≤π，,0≤β＝α－\f(π,2)≤π，))即eq \f(π,2)≤α≤π，
∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sin(2α－α＋eq \f(π,2))＋sin(α－2α＋π)
＝cs α＋sin α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))).
∵eq \f(π,2)≤α≤π，∴eq \f(3π,4)≤α＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
∴－eq \f(\r(2),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))≤eq \f(\r(2),2)，
∴－1≤eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))≤1，
即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1,1]．
答案：[－1,1]
15．在钝角三角形ABC中，已知C为钝角，A，B都是锐角，试探究P＝sin(A＋B)，Q＝sin A＋sin B，R＝cs A＋cs B的大小，并把P，Q，R按从小到大的顺序排列起来．
(1)当A＝30°，B＝30°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小；
(2)当A＝30°，B＝45°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小；
(3)由(1)，(2)你能得到什么结论，并证明你的结论；
(4)若将钝角三角形改为锐角三角形，P，Q，R的大小又如何？
(5)已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan eq \f(A,2)＋eq \f(2cs \f(A,2),sin \f(A,2)＋cs \f(B－C,2))，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论．
解：(1)当A＝30°，B＝30°时，
P＝sin(30°＋30°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2)，
Q＝sin 30°＋sin 30°＝2sin 30°＝1，
R＝cs 30°＋cs 30°＝2cs 30°＝eq \r(3)，∴P(2)当A＝30°，B＝45°时，
P＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cs 45°＋cs 30°sin 45°
＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
Q＝sin 30°＋sin 45°＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1＋\r(2),2)，
R＝cs 30°＋cs 45°＝eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(3)＋\r(2),2)，
∵P－Q＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)－eq \f(1＋\r(2),2)＝eq \f(\r(6)－\r(2)－2,4)<0，∴P∵Q－R＝eq \f(1＋\r(2),2)－eq \f(\r(3)＋\r(2),2)＝eq \f(1－\r(3),2)<0，∴Q∴P(3)由(1)，(2)猜想P∵C为钝角，∴0∴A∴cs A>cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))＝sin B，
cs B>cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝sin A，
∴R－Q＝cs A＋cs B－sin A－sin B>sin B＋sin A－sin A－sin B＝0，即R>Q.
∵P－Q＝sin(A＋B)－sin A－sin B
＝sin Acs B＋cs Asin B－sin A－sin B
＝sin A(cs B－1)＋sin B(cs A－1)<0，
∴P综上可得P(4)由(3)知P∵P－R＝sin(A＋B)－cs A－cs B
＝sin Acs B＋cs Asin B－cs A－cs B
＝(sin A－1)cs B＋(sin B－1)cs A<0，
∴P∵△ABC为锐角三角形，
∴0eq \f(π,2)，
∴eq \f(π,2)－B∴R－Q＝cs A＋cs B－sin A－sin B＝cs A＋cs B－cs B－cs A＝0，
∴R综上，P(5)任意交换两个角的位置，y的值不变．证明如下：
∵A，B，C是△ABC的三个内角，A＋B＋C＝π，
∴eq \f(A,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(B＋C,2).
y＝tan eq \f(A,2)＋eq \f(2cs \f(A,2),sin \f(A,2)＋cs \f(B－C,2))
＝tan eq \f(A,2)＋eq \f(2sin\f(B＋C,2),cs \f(B＋C,2)＋cs \f(B－C,2))
＝tan eq \f(A,2)＋eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(B,2)cs \f(C,2)＋cs \f(B,2)sin \f(C,2))),2cs \f(B,2)cs \f(C,2))
＝tan eq \f(A,2)＋tan eq \f(B,2)＋tan eq \f(C,2)，
因此任意交换两个角的位置，y的值不变．
C级——迁移创新
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝eq \f(\r(5),5)，点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10)，则cs(α－β)＝ ，2α－β＝ .
解析：由题意，OA＝OM＝1，
因为S△OAM＝eq \f(\r(5),5)和α为锐角，所以sin α＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(\r(5),5).
又点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10)，且β为钝角，所以sin β＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝－eq \f(7\r(2),10)，
所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7\r(2),10)))＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(2),10)＝－eq \f(\r(10),10).
因为cs 2α＝2cs2α－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq \f(3,5)，
sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(4,5)，
所以2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).
因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以2α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
因为sin(2α－β)＝sin 2αcs β－cs 2αsin β＝－eq \f(\r(2),2)，
所以2α－β＝－eq \f(π,4).
答案：－eq \f(\r(10),10) －eq \f(π,4)