江苏省宿迁市沭阳县2020-2021学年八年级（上）期末数学试卷(解析版)

这是一份江苏省宿迁市沭阳县2020-2021学年八年级（上）期末数学试卷(解析版)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．为了解我县2020年中考数学成绩分布情况，从中随机抽取了200名考生的成绩通行统计分析，在这个问题中，样本是指（ ）
A．200
B．被抽取的200名考生的中考数学成绩
C．被抽取的200名考生
D．我县2020年中考数学成绩
4．已知点A（﹣2，m）和点B（3，n）都在直线的图象上，则m与n的大小关系为（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m≤nD．无法判断
5．下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②0的算术平方根是0；③不带根号的数一定是有理数；④近似数6.0×105精确到万位；⑤无理数是无限小数．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（ ）
A．9mB．14mC．11mD．10m
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上的点（不与点B重合），若将△ABM沿直线AM翻折，点B恰好落在x轴正半轴上，则点M的坐标为（ ）
A．（0，﹣5）B．（0，﹣6）C．（0，﹣7）D．（0，﹣8）
二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.）
9．函数y＝﹣的自变量x的取值范围是 ．
10．下列实数：12，，|﹣1|，，0.1010010001…，，（）0中，有理数有 个．
11．已知一等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
12．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是 ．
13．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为 ．
14．已知直线y＝x﹣2与y＝mx﹣n相交于点M（3，b），则关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D，E，若AB＝5cm，AC＝12cm，则△ABD的周长为 cm．
16．一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝kx在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b≥kx的解集为 ．
17．在一次函数y＝2x﹣3的图象上，和x轴的距离等于1的点的坐标是 ．
18．在平面直角坐标系中，坐标原点O到一次函数y＝kx﹣3k+1图象的距离的最大值为 ．
三.解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（8分）计算：
（1）++（）2；
（2）﹣|2﹣|﹣+（﹣）0．
20．（8分）解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣18＝0．
（2）8（x+1）3＝27．
21．（8分）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F．求证：BC＝DF．
22．（8分）已知一次函数y＝kx+b的图象过A（1，1）和B（2，﹣1）．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）求直线y＝kx+b与坐标轴围成的三角形的面积；
（3）将一次函数y＝kx+b的图象沿y轴向下平移3个单位，则平移后的函数表达式为 ．
23．（10分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了n名学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了不完整的统计表和条形统计图．
n名学生掌握垃圾分类知识统计表：
根据上面的统计图表回答下列问题：
（1）n的值为 ，a的值为 ，b的值为 ．
（2）补全条形统计图；
（3）若全校有1500名学生，请估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2；
（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 ；
（4）在y轴上找一点P，使△PAB的周长最小，点P的坐标为 ．
25．（10分）如图，长方形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6．在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B'点．
（1）B'点的坐标是 ．
（2）求折痕CM所在直线的解析式．
（3）在x轴上是否能找到一点P，使△B'CP的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标？若不存在，请说明理由．
26．（10分）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象信息，当t＝ 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 米/分钟；
（2）求出线段AB所表示的函数表达式．
（3）当t为何值时，甲、乙两人相距2000米？
27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．
例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20．
（1）已知点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．
①若A、B、P三点的“矩面积”为16，求点P的坐标；
②A、B、P三点的“矩面积”的最小值为 ．
（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，3m），其中m＞0．若E、F、M三点的“矩面积”的为8，求m的取值范围．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x与一次函数y＝﹣x+7的图象交于点A，x轴上有一动点P（a，0）．
（1）求点A的坐标；
（2）若△OAP为等腰三角形，请直接写出P点坐标；
（3）过点P作x轴的垂线，分别交y＝x和y＝﹣x+7的图象于点B，C，若BC＝OA，求C点坐标．
2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，请柜正确选项的字母流在管题卡相应的位置，每个小题只有一个选项廉正确的）
1．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用轴对称图形的概念可得答案．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据立方根和算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：A、没有意义，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、＝＝3，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、＝2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、＝﹣，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了立方根，算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义正确进行计算．
3．为了解我县2020年中考数学成绩分布情况，从中随机抽取了200名考生的成绩通行统计分析，在这个问题中，样本是指（ ）
A．200
B．被抽取的200名考生的中考数学成绩
C．被抽取的200名考生
D．我县2020年中考数学成绩
【分析】样本是从总体中抽查的所有个体．
【解答】解：总体是：我县2020年中考数学成绩，样本是：200名考生的数学成绩，
故选：B．
【点评】本题考查数据的收集，主要是要掌握样本的定义．
4．已知点A（﹣2，m）和点B（3，n）都在直线的图象上，则m与n的大小关系为（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m≤nD．无法判断
【分析】由k＝﹣＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜3，即可得出m＞n．
【解答】解：∵k＝﹣＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵﹣2＜3，
∴m＞n．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
5．下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②0的算术平方根是0；③不带根号的数一定是有理数；④近似数6.0×105精确到万位；⑤无理数是无限小数．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①根据实数和数轴上点的对应关系即可进行判断；
②根据算术平方根的定义可进行判断；
③根据有理数的定义可进行判断；
④根据近似数的定义可进行判断；
⑤根据无理数的定义可进行判断．
【解答】解：①因为实数与数轴上的点一一对应，不符合题意；
②0的算术平方根是它本身，符合题意；
③不带根号的数也有无理数，如π，不符合题意；
④6.0×105精确到0，6.0×105＝600000，精确到万位，符合题意；
⑤无理数是无限不循环小数，不符合题意；
综上所述，正确的个数是2个．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数、无理数、近似数的概念，能够准确把握实数的相关概念是正确解答问题的关键．
6．已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的性质得到k＜0，而kb＜0，则b＞0，所以一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限；
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
7．如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（ ）
A．9mB．14mC．11mD．10m
【分析】作BD⊥OC于点D，首先由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，然后根据OC＝6米，得到DC＝4米，最后利用勾股定理得BC的长度即可．
【解答】解：如图，作BD⊥OC于点D，
由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，
∵OC＝6m，
∴DC＝4m，
∴由勾股定理得：BC＝＝＝5（m），
∴大树的高度为5+5＝10（m），
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确的构造直角三角形是解答本题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上的点（不与点B重合），若将△ABM沿直线AM翻折，点B恰好落在x轴正半轴上，则点M的坐标为（ ）
A．（0，﹣5）B．（0，﹣6）C．（0，﹣7）D．（0，﹣8）
【分析】设沿直线AM将△ABM折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有AB＝AC，而AB的长度根据已知可以求出，所以C点的坐标由此求出；又由于折叠得到CM＝BM，在直角△CMO中根据勾股定理可以求出OM，也就求出M的坐标．
【解答】解：直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（3，0），B（0，4），
∴AB＝＝＝5，
设OM＝m，
由折叠知，AC＝AB＝5，CM＝BM，BM＝OB+OM＝4+m，
∴OC＝8，CM＝4+m
根据勾股定理得，64+m2＝（4+m）2，
∴m＝6，
∴M（0，﹣6），
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换，题中利用折叠知识与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键
二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.）
9．函数y＝﹣的自变量x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【分析】负数没有平方根，故x+1不能为负数．
【解答】解：∵y＝﹣有意义，
∴x+1≥0，
解得x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查函数自变量范围，关键是要掌握负数没有平方根．
10．下列实数：12，，|﹣1|，，0.1010010001…，，（）0中，有理数有 4 个．
【分析】先对于算式进行计算，然后根据实数的分类确定答案即可．
【解答】解：12是整数，属于有理数；
是无限不循环小数，属于无理数；
|﹣1|＝1是整数，属于有理数；
＝3是整数，属于有理数；
0.1010010001…是无限不循环小数，属于无理数；
是无限不循环小数，属于无理数；
（）0＝1是整数，属于有理数；
综上所述，有理数有4个．
故答案为：4．
【点评】本题考查了实数的分类，特别指出，无理数是包括：无限不循环小数、含π的代数式、开方开不尽的数．
11．已知一等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为 20°或80° ．
【分析】已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论．
【解答】解：（1）若等腰三角形一个底角为80°，顶角为180°﹣80°﹣80°＝20°；
（2）等腰三角形的顶角为80°．
因此这个等腰三角形的顶角的度数为20°或80°．
故答案为：20°或80°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．解答此类题目的关键是要注意分类讨论，不要漏解．
12．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是 1 ．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m＝3、1﹣n＝2，
解得：m＝2、n＝﹣1，
所以m+n＝2﹣1＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查关于x、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．
13．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为 8 ．
【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．
【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，
∴S正方形B+4＝18﹣6，
∴S正方形B＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
14．已知直线y＝x﹣2与y＝mx﹣n相交于点M（3，b），则关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
【分析】首先利用待定系数法求出b的值，进而得到M点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数的解析式组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝x﹣2经过点M（3，b），
∴b＝3﹣2，
解得b＝1，
∴M（3，1），
∴关于x，y的二元一次方程组的解为，
故答案为．
【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数解析式组成的二元一次方程组的解．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D，E，若AB＝5cm，AC＝12cm，则△ABD的周长为 18 cm．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：由勾股定理得，BC＝＝＝13，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝18（cm），
故答案为：18．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝kx在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b≥kx的解集为 x≥﹣1 ．
【分析】当x≥﹣1时，y＝kx的函数图象在y＝ax+b的下方，从而可得到不等式的解集．
【解答】解：从图象可看出当x≥﹣1，直线l2的图象在直线l1的上方，不等式ax+b＞kx．
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，通过图象求解，当图象在上方时大于，在下方时小于．
17．在一次函数y＝2x﹣3的图象上，和x轴的距离等于1的点的坐标是 （2，1）或（1，﹣1） ．
【分析】直接把y＝±1代入一次函数y＝2x﹣3，求出x的值即可．
【解答】解：∵当y＝1时，2x﹣3＝1，解得x＝2；
当y＝﹣1时，2x﹣3＝﹣1，解得x＝1，
∴此时点的坐标为（2，1）或（1，﹣1）．
故答案为：（2，1）或（1，﹣1）．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
18．在平面直角坐标系中，坐标原点O到一次函数y＝kx﹣3k+1图象的距离的最大值为 ．
【分析】y＝kx﹣3k+1＝k（x﹣3）+1，即该一次函数经过定点（3，1），设该定点为P，则P（3，1），当直线OP与直线y＝kx﹣3k+1垂直时，坐标原点O到一次函数y＝kx﹣3k+1的距离最大，求出线段OP的距离，即可得到答案．
【解答】解：y＝kx﹣3k+1＝k（x﹣3）+1，
即该一次函数经过定点（3，1），
设该定点为P，则P（3，1），
当直线OP与直线y＝kx﹣3k+1垂直时，坐标原点O到一次函数y＝kx﹣3k+1的距离最大，如下图所示：
最大距离为：＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数的性质，正确掌握两点之间的距离公式是解题的关键．
三.解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（8分）计算：
（1）++（）2；
（2）﹣|2﹣|﹣+（﹣）0．
【分析】根据实数运算法则进行计算．
【解答】解：（1）++（）2＝﹣2++3＝，
（2）﹣|2﹣|﹣+（﹣）0＝5﹣（2﹣）﹣（﹣3）+1＝5﹣2++3+1＝7+．
【点评】本题考查实数的计算，主要是算术平方根和立方根的化简．
20．（8分）解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣18＝0．
（2）8（x+1）3＝27．
【分析】（1）先变形得到（x﹣1）2＝9，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先变形得到（x+1）3＝，根据立方根的定义得到x+1＝，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
所以x1＝4，x2＝﹣1；
（2）（x+1）3＝，
x+1＝，
所以x＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．也考查了立方根．
21．（8分）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F．求证：BC＝DF．
【分析】由已知得出AB＝ED，由平行线的性质得出∠A＝∠E，由AAS证明△ABC≌△EDF，即可得出结论．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD﹣BD＝BE﹣BD，
∴AB＝ED，
∵AC∥EF，
∴∠A＝∠E，
在△ABC和△EDF中，，
∴△ABC≌△EDF（AAS），
∴BC＝DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（8分）已知一次函数y＝kx+b的图象过A（1，1）和B（2，﹣1）．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）求直线y＝kx+b与坐标轴围成的三角形的面积；
（3）将一次函数y＝kx+b的图象沿y轴向下平移3个单位，则平移后的函数表达式为 y＝﹣2x ．
【分析】（1）把A、B两点代入可求得k、b的值，可得到一次函数的表达式；
（2）分别令y＝0、x＝0可求得直线与两坐标轴的两交点坐标，可求得所围成的三角形的面积；
（3）根据上加下减的法则可得到平移后的函数表达式．
【解答】解：
（1）图象过A（1，1）、B（2，﹣1）两点，
代入一次函数表达式可得，解得，
∴一次函数为y＝﹣2x+3；
（2）在y＝﹣2x+3中，分别令x＝0、y＝0，
可求得一次函数与两坐标轴的交点坐标分别为（0，3）、（，0），
∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积为：S＝×3×＝；
（3）向下平移三个单位，则可得平移后的函数为y＝﹣2x，
故答案为：y＝﹣2x．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法的应用关键是点的坐标，即把点坐标代入得到关于系数的方程组，求解即可．
23．（10分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了n名学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了不完整的统计表和条形统计图．
n名学生掌握垃圾分类知识统计表：
根据上面的统计图表回答下列问题：
（1）n的值为 50 ，a的值为 15 ，b的值为 0.14 ．
（2）补全条形统计图；
（3）若全校有1500名学生，请估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解即可；
（2）根据以上所求数据即可补全条形图；
（3）用总人数乘以样本中优秀、良好的频率之和即可．
【解答】解：（1）n＝24÷0.48＝50，
a＝50×0.3＝15，b＝7÷50＝0.14，
故答案为：50，15，0.14；
（2）补全条形图如下：
（3）1500×（0.48+0.3）＝1170（人），
答：估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1170人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2；
（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 （a+4，﹣b） ；
（4）在y轴上找一点P，使△PAB的周长最小，点P的坐标为 P（0，） ．
【分析】（1）作出A1、B1、C1即可得到答案，
（2）作出A2、B2、C2即可得到答案，
（3）关于x轴的对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数，沿x轴向右平移4个单位长度则横坐标增加4，
（4）作A关于y轴对称点A′，连接A′B，与y轴交点即为所求的点P，可以求出A′B的解析式，再令x＝0即可得答案．
【解答】解：（1）△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1见下图；
（2）△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2见上图；
（3）关于x轴的对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数，沿x轴向右平移4个单位长度则横坐标增加4，
∴AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，对应A2C2上的点M2的坐标是（a+4，﹣b），
故答案为：（a+4，﹣b），
（4）如下图：
使△PAB的周长最小即是使PA+PB最小，作A关于y轴对称点A′，连接A′B，与y轴交点即为所求的点P，
∵A（﹣3，5），
∴A′（3，5），又B（﹣2，1），
∴A′B的解析式为：y＝x+，
令x＝0得y＝，
∴P（0，），
故答案为：P（0，）．
【点评】本题考查对称、平移的作图和坐标变化，关键是作出特殊点的对应点．
25．（10分）如图，长方形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6．在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B'点．
（1）B'点的坐标是 （8，0） ．
（2）求折痕CM所在直线的解析式．
（3）在x轴上是否能找到一点P，使△B'CP的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标？若不存在，请说明理由．
【分析】（1）Rt△B′OC中求出OB′即可得答案；
（2）Rt△AB′M中求出AM可得M坐标，从而可以求CM所在直线的解析式；
（3）由△B'CP的面积为12求出BP的长即可得到P的坐标．
【解答】解：（1）∵长方形OABC，
∴BC＝OA，
∵OA＝10，
∴BC＝10，
∵△CBM沿CM翻折，
∴B′C＝BC＝10，
在Rt△B′OC中，B′C＝10，OC＝6，
∴B′O＝＝8，
∴B′（8，0），
故答案为：（8，0）；
（2）设AM＝x，则BM＝AB﹣AM＝6﹣x，
∵OA＝10，B′O＝8，
∴B′A＝2，
∵△CBM沿CM翻折，
∴B′M＝BM＝6﹣x，
在Rt△AB′M中，B′A2+AM2＝B′M2，
∴22+x2＝（6﹣x）2，解得x＝，
∴M（10，），
设CM所在直线的解析式为y＝kx+b，将C（0，6）、M（10，）代入得：
，解得k＝﹣，b＝6，
∴CM所在直线的解析式为y＝﹣x+6；
（3）∵△B'CP的面积为12，
∴B′P•OC＝12，
∴B′P×6＝12，
∴B′P＝4，
∵B′（8，0），
∴P（12，0）或P（4，0）．
【点评】本题考查一次函数、翻折、面积等，解题的关键是求出相关点坐标，从而得到线段长，通过列方程得到答案．
26．（10分）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象信息，当t＝ 24 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 40 米/分钟；
（2）求出线段AB所表示的函数表达式．
（3）当t为何值时，甲、乙两人相距2000米？
【分析】（1）y＝0时横坐标即为相遇时间，甲走的路程除以时间是甲的速度，
（2）求出A点坐标即可达到线段AB所表示的函数表达式，
（3）分相遇前和相遇后两种情况．
【解答】解：（1）甲乙两人相遇即是两人之间的距离y＝0，从图中可知此时x＝24（分钟），
图中可知甲用60分钟走完2400米，速度为2400÷60＝40（米/分钟），
故答案为：24，40；
（2）甲、乙速度和为2400÷24＝100（米/分钟），而甲速度为40米/分钟，
∴乙速度是60米/分钟，
∴乙达到目的地所用时间是2400÷60＝40（分钟），即A横坐标为40，
此时两人相距（40﹣24）×100＝1600（米），即A纵坐标为1600，
∴A（40，1600），
设线段AB所表示的函数表达式为y＝kx+b，将A（40，1600）、B（60，2400）代入得：
，解得k＝40，b＝0，
∴线段AB所表示的函数表达式为y＝40k（40≤k≤60），
（3）甲、乙两人相距2000米分两种情况：
①二人相遇前，两人路程和为2400﹣2000＝400（米），甲、乙两人相距2000米，此时t＝400÷100＝4（分钟），
②二人相遇后，乙达到目的地时二人相距1600米，甲再走400米两人就相距2000米，此时t＝40+400÷40＝50（分钟），
综上所述，二人相距2000时，t＝4或t＝50．
【点评】本题考查一次函数图象的应用，解题的关键是理解图中特殊点的意义，求出甲、乙的速度．
27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．
例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20．
（1）已知点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．
①若A、B、P三点的“矩面积”为16，求点P的坐标；
②A、B、P三点的“矩面积”的最小值为 4 ．
（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，3m），其中m＞0．若E、F、M三点的“矩面积”的为8，求m的取值范围．
【分析】（1）①首先由题意可得：a＝4，然后分别从：当t＞2时，h＝t﹣1，当t＜1时，h＝2﹣t，去分析求解即可求得答案；
②首先根据题意得：h的最小值为：1，继而求得A，B，P三点的“矩面积”的最小值．
（2）由E，F，M三点的“矩面积”的最小值为8，可得a＝4，h＝2，即可得．继而求得m的取值范围．
【解答】解：（1）①由题意：a＝4．
当t＞2时，h＝t﹣1，
则4（t﹣1）＝16，可得t＝6，故点P的坐标为（0，5）．
当t＜1时，h＝2﹣t，
则4（2﹣t）＝16，可得t＝﹣2，故点P 的坐标为（0，﹣2）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，5）或（0，﹣2）．
②∵根据题意得：h的最小值为：1，
∴A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4；
故答案为：4．
（2）∵E，F，M三点的“矩面积”为8，
∴a＝4，h＝2，
∴，
∴0≤m≤，
∵m＞0，
∴0＜m≤．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了反比例函数的性质以及不等式组的解法．此题属于新定义题，难度较大，解题的关键是理解a与h的含义，注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x与一次函数y＝﹣x+7的图象交于点A，x轴上有一动点P（a，0）．
（1）求点A的坐标；
（2）若△OAP为等腰三角形，请直接写出P点坐标；
（3）过点P作x轴的垂线，分别交y＝x和y＝﹣x+7的图象于点B，C，若BC＝OA，求C点坐标．
【分析】（1）由正比例函数y＝x与一次函数y＝﹣x+7的组成方程组，求解即得A的坐标；
（2）分三种情况：AP、OA、OP为底分别求出P点左边；
（3）P横坐标为a，用a的代数式表示BC的长列方程，从而求得a即可得答案．
【解答】解：（1）由得，
∴A（4，3）；
（2）∵A（4，3），
∴OA＝＝5，
△OAP为等腰三角形，分三种情况：
①OA、OP为腰，即OA＝OP＝5，
∴P（5，0）或P（﹣5，0），
②OA、AP为腰，即OA＝AP，如答图1：
过A作AD⊥x轴于D，
∵OA＝AP，AD⊥x轴，
∴OD＝DP，
∵A（4，3），
∴D（4，0），
∴P（8，0），
③AP、OP为腰，即AP＝OP，如答图2：
作OA的垂直平分线交x轴于P，交OA于E，
∵A（4，3），
∴E（2，），
设直线PE解析式为y＝﹣x+b，将E（2，）代入得：
＝﹣×2+b，解得b＝，
∴直线PE为y＝﹣x+，
令y＝0得x＝，
∴P（，0），
综上所述，△OAP为等腰三角形，P坐标为：（5，0）或（﹣5，0）或（8，0）或（，0）．
（3）∵P（a，0），过点P作x轴的垂线，分别交y＝x和y＝﹣x+7的图象于点B，C，
∴B（a，a），C（a，﹣a+7），
∴BC＝|a﹣（﹣a+7）|＝|a﹣7|，
∵BC＝OA，
∴|a﹣7|＝，解得a＝10或a＝﹣2，
∴C（10，﹣3）或C（﹣2，9）．
【点评】本题考查一次函数、等腰三角形等综合知识，根据已知画出图形，表示相关点坐标是关键．
等级
频数
频率
优秀
24
0.48
良好
a
0.3
合格
7
b
待合格
4
0.08
等级
频数
频率
优秀
24
0.48
良好
a
0.3
合格
7
b
待合格
4
0.08