2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：9.4　双曲线及其性质 【KS5U 高考】

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双曲线的焦点在y轴上,则双曲线方程为②     - =1(a>0,b>0)    .
2.双曲线的标准方程若双曲线的焦点在x轴上,则双曲线方程为①     -   =1(a>0,b>0)    ;若
考点二  双曲线的几何性质
知识拓展(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,双曲线为等轴双曲线⇔ 双曲线的离心率e= ⇔两条渐近线互相垂直.(2)过焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成的 △ABF2的周长为4a+2|AB|. (3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 .
(4)P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=θ,则△F1PF2 的面积为 . (5)焦点到渐近线的距离为b.(6)设A,B分别为双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右顶点,P为双曲线上不同于A,B的任意一点,则kPA·kPB= .
方法1  求双曲线的标准方程的方法1.定义法:根据题目的条件,若满足定义,求出相应的a,b的值即可求得方程.2.待定系数法:(1)利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤:①定位:确定焦点位置;② 定型:由焦点位置设方程;③定值:根据条件确定相关参数的值.(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法:①与双曲线 - =1共渐近线的方程可设为 - =λ(λ≠0);
②若双曲线的渐近线方程为y=± x,则双曲线的方程可设为 - =λ(λ≠0;③若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为 + =1(mn0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原 点),则双曲线的方程为 (　　)A. - =1　    B. - =1　    C. -y2=1　    D.x2- =1(2)设双曲线与椭圆 + =1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交点的坐标为( ,4),则此双曲线的标准方程是　　　　　　    .
解析　(1)不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1, ),所以 = ,又c2=a2+b2,所以a2=1,b2=3,故所求双曲线的方程为x2- =1,故选D.(2)解法一:椭圆 + =1的焦点坐标是(0,±3),设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),根据双曲线的定义知2a=| - |=4,故a=2.又b2=32-a2=5,故所求双曲线的标准方程为 - =1.解法二:椭圆 + =1的焦点坐标是(0,±3).设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),则a2+b2=9①,又点( ,4)在双曲线上,所以 - =1②,联立①②
解得a2=4,b2=5.故所求双曲线的标准方程为 - =1.解法三:设双曲线的方程为 + =1(270)的渐近线方程的方法是令 - =0,即得两渐近线方程为 ± =0 .
双曲线的离心率e= = ,求双曲线的离心率只需根据一个条件得到关于a,b,c的齐次方程,结合c2=a2+b2即可求出.
2.双曲线的离心率的求法