2020-2021学年2.5 逆命题和逆定理课后测评

浙教版2021年八年级上册数学同步练习卷

2.5 逆命题与逆定理

一、选择题

1．下列真命题中，它的逆命题也是真命题的是(   )

A．若a＝b，则|a|＝|b|

B．两个图形成轴对称，则这两个图形是全等图形

C．等边三角形是锐角三角形

D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

2．下列定理中，不存在逆定理的是(   )

A．等边三角形的三个内角都等于60°

B．在同一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等

C．同位角相等，两直线平行

D．全等三角形的对应角相等

3．下列命题的逆命题是真命题的是（  ）

A．若a=b，则a2=b2 B．全等三角形的周长相等

C．若a=0，则ab=0 D．有两边相等的三角形是等腰三角形

4．下列各命题的逆命题不成立的是（  ）

A．两直线平行,同旁内角互补

B．若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等

C．对顶角相等

D．如果那么

5．下列命题中，其逆命题成立的是（　　）

A．两条直线平行，内错角相等

B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等

C．全等三角形的对应角相等

D．如果a=b，那么a2=b2

6．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（　　）

A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1

C．全等三角形的对应角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my

7．命题“2的平方等于4”的逆命题的是（    ）．

A．的平方等于4 B．平方等于4的数是

C．平方等于4的数是 D．平方等于4的数是2

8．下列命题的逆命题错误的是（    ）.

A．对顶角相等

B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等

C．在一个三角形中，等边对等角

D．在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

9．把命题“如果x=y，那么=”作为原命题，对原命题和它的逆命题的真假性的判断，下列说法正确的是（　　）

A．原命题和逆命题都是真命题 B．原命题和逆命题都是假命题

C．原命题是真命题，逆命题是假命题 D．原命题是假命题，逆命题是真命题

10．下列定理中，有逆定理的个数是（    ）

①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形;③全等三角形的对应角相等;④若a=b，则a2 =b2.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（  ）

A．假设三个外角都是锐角    B．假设至少有一个钝角

C．假设三个外角都是钝角    D．假设三个外角中只有一个钝角

12．要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（  ）

A．a=1，b=﹣2    B．a=0，b=﹣1    C．a=﹣1，b=﹣2    D．a=2，b=﹣1

二、填空题

13．把命题“如果a>b，那么ac>bc(c≠0)”的逆命题改写为“如果……，那么……”的形式:_________

14．下列命题，其中真命题的是______．（填序号）

①同旁内角互补，两直线平行；

②如果两个角都是直角，那么它们相等；

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④相等的角是对顶角．

15．如果，那么的逆命题是_______．

16．已知命题“全等三角形的面积相等．”写出它的逆命题：______，该逆命题是_____命题（填“真”或“假”)．

17．命题“如果|a|＝|b|，那么a2＝b2”的逆命题是_____，此命题是_____（选填“真“或“假”）命题．

18．下列命题中，其逆命题成立的是__．（只填写序号）

①同旁内角互补，两直线平行；

②如果两个角是直角，那么它们相等；

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

三、解答题

19．写出下列命题的逆命题，并判断这对命题的真假．

(1)三边对应相等的两个三角形全等；

(2)若a＝b，则a2＝b2；

(3)若∠α＋∠β＝180°，则∠α与∠β至少有一个是钝角．

20．下列命题的条件是什么？结论是什么？并指出真假．

（1）两条直线相交，只有一个交点；

（2）相等的角是对顶角；

（3）直角三角形的两个锐角互余．

21．如图，现有以下3个论断：；；．

（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？

（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．

22. 已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．

23．如图所示，相交于点，连接，①，②，③．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①．

（1）在构成的三个命题中，真命题有________个；

（2）请选择其中一个真命题加以证明．

参考答案

1．D

A. 逆命题为：若|a|＝|b|，则a＝b，错误，是假命题；

B. 逆命题为：两个图形是全等图形，则这两个图形成轴对称，错误，是假命题；

C、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，错误，是假命题；

D、逆命题为：直角三角形中,如果一个锐角它所对的直角边等于斜边的一半,那么这个角是30∘，此逆命题是真命题.

2．D

A的逆命题：三个内角都是60°，那么这个三角形是等边三角形，正确；

B的逆命题：在同一个三角形中，如果两角相等，那么它们所对的边也相等，正确；

C的逆命题：两直线平行，同位角相等，正确；

D的逆命题：对应角相等，两个三角形全等，错，是相似；

故答案为：D

3．D

A的逆命题是若a2=b2，则a=b，显然是错误的；B的逆命题是周长相等的三角形是全等三角形，错误；C的逆命题是若ab=0，则a=0，显然有可能，错误；D的逆命题是等腰三角形的两边相等，正确．故选D

4．C

A、逆命题是同旁内角互补，两直线平行，成立；

B、逆命题是如果两个数也相等，那么这两个数的绝对值相等，成立；

C、逆命题是相等的角是对顶角，不成立；

D、逆命题是如果，那么，成立，

5．A

A、两条直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立；

B、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，不一定相等也可能是相反，不成立；

C、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，不一定全等，不成立；

D、如果a=b，那么a2=b2的逆命题是如果a2=b2，那么a=b，也可能是a=﹣b，不成立；

6．C

解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；

B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a＝1，那么|a|＝1，正确，是真命题，不符合题意；

C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；

D、当m＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，

7．D

解：命题“2的平方等于4”的逆命题的是“平方等于4的数是2”.

8．A

A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误；

B、线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到这条线段两个端点的距离相等的任意一点在线段垂直平分线上，逆命题正确；

C、在一个三角形中，等边对等角的逆命题是在一个三角形中，等角对等边，逆命题正确；
D、在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等的逆命题是到一个角的两边的距离相等的点在这个角平分线上，逆命题正确；
9．D

解：∵命题“如果，则”在“是负数时，不成立”，

∴原命题是假命题；

∵命题“如果，则”的逆命题“若，则”是真命题，

∴该题中，原命题的逆命题是真命题.

即在该题中，“原命题”是假命题，“逆命题”是 真命题.

故选D.

10．B

试题解析：①“有两边相等的三角形是等腰三角形”的逆命题为“等腰三角形有两边相等”，此逆命题为真命题；

②“若三角形三边a，b，c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形”的逆命题为“若一个三角形是直角三角形，则此三角形三边a，b，c（c为斜边）满足a2+b2=c2”，此逆命题为真命题；

③“全等三角形对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，此逆命题为假命题；

④“若a=b，则a2=b2”的逆命题为“若a2=b2，则a=b”，此逆命题为假命题．

故选B．

11．D

【解析】

试题分析：“至少有两个”的反面为“至多有一个”，据此直接写出逆命题即可．

解：∵至少有两个”的反面为“至多有一个”，而反证法的假设即原命题的逆命题正确；

∴应假设：三角形三个外角中至多有一个钝角，也可以假设：假设三个外角中只有一个钝角．

12．D

【解析】

试题分析：根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，分别代入数据算出即可．

解：∵a=1，b=﹣2时，a=0，b=﹣1时，a=﹣1，b=﹣2时，a＞b，则a2＜b2，

∴说明A，B，C都能证明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故A，B，C不符合题意，

只有a=2，b=﹣1时，“若a＞b，则a2＞b2”是真命题，故此时a，b的值不能作为反例．

13．如果ac＞bc（c≠0），那么a＞b

解：命题“如果a＞b，那么ac＞bc（c≠0）”的逆命题是“如果ac＞bc（c≠0），那么a＞b”．

故答案为如果ac＞bc（c≠0），那么a＞b．

14．①②③

解：同旁内角互补，两直线平行，①是真命题；

如果两个角都是直角，那么它们相等，②是真命题；

如果两个实数相等，那么它们的平方相等，③是真命题；

相等的角指的是大小相等的角；对顶角是如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角就是对顶角；可见，对顶角一定是相等的角，而相等的角未必是对顶角，故④是假命题．

15．如果，那么

依题意可得逆命题是：如果，那么；

故答案为：如果，那么．

16．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等    假.   

解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，，该逆命题是假命题，
故答案为如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假．

17．如果a2＝b2，那么|a|＝|b|    真   

解：根据题意得：命题“如果|a|＝|b|，那么a2＝b2”的条件是如果|a|＝|b|，结论是a2＝b2”，故逆命题是如果a2＝b2，那么|a|＝|b|，该命题是真命题．

故答案为：如果a2＝b2，那么|a|＝|b|；真．

18．①④

把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

①两直线平行，同旁内角互补，正确；

②如果两个角相等，那么它们是直角，错误；

③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，错误；

④如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，正确．

故答案为①④．

19．(1)逆命题：全等三角形的对应边相等；原命题和逆命题都是真命题；(2)逆命题：若a2＝b2，则a＝b；原命题是真命题，逆命题是假命题；(3)逆命题：若∠α与∠ β中至少有一个是钝角，则∠α＋∠ β＝180°；原命题和逆命题都是假命题．

(1)逆命题：全等三角形的对应边相等；原命题和逆命题都是真命题；

(2)逆命题：若a2＝b2，则a＝b；原命题是真命题，逆命题是假命题，如=，

-11；

(3) 逆命题：若∠α与∠ β中至少有一个是钝角，则∠α＋∠ β＝180°；原命题是假命题，因为当∠α=∠ β=90°，∠α与∠ β都是直角时，∠α＋∠β＝180°；逆命题是假命题，如110°+80°=190°．

20．（1）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点，

条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点

这是真命题．

（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，

条件：两个角相等，结论：这两个角是对顶角，

这是假命题．

（3）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余，

条件：一个三角形是直角三角形，结论：它的两个锐角互余，

这是真命题．

21．解：（1）由，，得到；

由，，得到；

由，，得到；

故能组成3个命题．

（2）由，，得到，是真命题．理由如下：

，．

，∴，

，．

由，，得到，是真命题．理由如下：

，．

，，

．

由，，得到，是真命题．理由如下：

∵，，．

，，

．

22．

逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形，是真命题．

已知：如图，在△ABC中，BD＝CD，AD平分∠BAC.

求证：△ABC是等腰三角形．

证明：延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE，CE.

∵BD＝CD，DE＝DA，∠BDE＝∠CDA，

∴△BDE≌△CDA(SAS)．

∴BE＝CA，∠BED＝∠CAD.

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠BAD.

∴∠BAD＝∠BED.

∴AB＝BE.

∴AB＝AC.

∴△ABC是等腰三角形．

23．解：（1）①②③，满足全等三角形判定定理AAS，是真命题；

①③②，满足全等三角形判定定理ASA，是真命题；

②③①，是SSA，不能证明三角形全等，故不能得到①成立，是假命题；

故答案为：2；

（2）选择①②③．

证明：在和中，

∴．

∴（全等三角形的对应边相等）．