数学必修5第二章 数列综合与测试课后测评

这是一份数学必修5第二章 数列综合与测试课后测评，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等比数列{an}的公比q＝－eq \f(1,4)，a1＝eq \r(2)，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数数列 D．摆动数列
解析：选D 因为等比数列{an}的公比为q＝－eq \f(1,4)，a1＝eq \r(2)，故a20，…，所以数列{an}是摆动数列．
2．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．－3 D．－4
解析：选D 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2b＝a＋c，,a2＝bc，,a＋3b＋c＝10，))
解得a＝－4，b＝2，c＝8.
3．等差数列{an}中，a3＝2，a5＝7，则a7＝( )
A．10 B．20
C．16 D．12
解析：选D ∵{an}是等差数列，
∴d＝eq \f(a5－a3,5－3)＝eq \f(5,2)，∴a7＝2＋4×eq \f(5,2)＝12.
4．在数列{an}中，a1＝eq \f(1,3)，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于( )
A．－eq \f(16,3) B.eq \f(16,3)
C．－eq \f(8,3) D.eq \f(8,3)
解析：选B ∵a1＝eq \f(1,3)，an＝(－1)n·2an－1，
∴a2＝(－1)2×2×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，a3＝(－1)3×2×eq \f(2,3)＝－eq \f(4,3)，
a4＝(－1)4×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝－eq \f(8,3)，
a5＝(－1)5×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,3)))＝eq \f(16,3).
5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
解析：选A 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝eq \f(3,4)S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.
6．在等比数列{an}中，已知前n项和Sn＝5n＋1＋a，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．5 D．－5
解析：选D 因为Sn＝5n＋1＋a＝5×5n＋a，由等比数列的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1,1－q)－eq \f(a1,1－q)·qn，可知其常数项与qn的系数互为相反数，所以a＝－5.
7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2an，n为正奇数，,an＋1，n为正偶数，))则254是该数列的( )
A．第8项 B．第10项
C．第12项 D．第14项
解析：选D 当n为正奇数时，an＋1＝2an，则a2＝2a1＝2，当n为正偶数时，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次类推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，归纳可得数列{an}的通项公式an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2\f(n＋1,2)－1，n为正奇数，,2\f(n,2)＋1－2，n为正偶数，))则2eq \f(n,2)＋1－2＝254，n＝14，故选D.
8．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且eq \f(3,S1S3)＋eq \f(15,S3S5)＋eq \f(5,S5S1)＝eq \f(3,5)，则a2＝( )
A．2 B.eq \f(1,2)
C．3 D.eq \f(1,3)
解析：选C ∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴eq \f(1,a1a2)＋eq \f(1,a2a3)＋eq \f(1,a1a3)＝eq \f(3,5)，∵a1a2a3＝15，∴eq \f(3,5)＝eq \f(a3,15)＋eq \f(a1,15)＋eq \f(a2,15)＝eq \f(a2,5)，∴a2＝3.故选C.
9．如果数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1、公比为eq \f(1,3)的等比数列，那么an＝( )
A.eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n))) B.eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n－1)))
C.eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n))) D.eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n－1)))
解析：选A 由题知a1＝1，q＝eq \f(1,3)，
则an－an－1＝1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n－1.
设数列a1，a2－a1，…，an－an－1的前n项和为Sn，
∴Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an.
又∵Sn＝eq \f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n))),1－\f(1,3))＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n)))，
∴an＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n))).
10．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为( )
A．－24 B．－3
C．3 D．8
解析：选A 设等差数列{an}的公差为d，
因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6＝aeq \\al(2,3)，
即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2.
又a1＝1，所以d2＋2d＝0.
又d≠0，则d＝－2，
所以{an}前6项的和S6＝6×1＋eq \f(6×5,2)×(－2)＝－24.
11．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A.eq \f(15,2) B.eq \f(31,4)
C.eq \f(33,4) D.eq \f(17,2)
解析：选B 设{an}的公比为q，q>0，且aeq \\al(2,3)＝1，
∴a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝eq \f(1,q2)＋eq \f(1,q)＋1＝7，
即6q2－q－1＝0，
解得q＝eq \f(1,2)或q＝－eq \f(1,3)(舍去)，a1＝eq \f(1,q2)＝4.
∴S5＝eq \f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,25)))＝eq \f(31,4).
12．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－2 016，eq \f(S2 007,2 007)－eq \f(S2 005,2 005)＝2，则S2 018的值为( )
A．－2 018 B．2 018
C．2 017 D．－2 017
解析：选B 因为Sn为等差数列{an}的前n项和，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是等差数列．设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))的公差为d′，则由eq \f(S2 007,2 007)－eq \f(S2 005,2 005)＝2，得2d′＝2，解得d′＝1，所以eq \f(S2 018,2 018)＝eq \f(S1,1)＋2 017d′＝a1＋2 017d′＝－2 016＋2 017＝1，所以S2 018＝2 018.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
解析：设{an}的首项，公差分别是a1，d，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝16，,20a1＋\f(20×20－1,2)×d＝20，))解得a1＝20，d＝－2，
∴S10＝10×20＋eq \f(10×9,2)×(－2)＝110.
答案：110
14．已知数列{an}的通项公式为an＝2 018－3n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
解析：由an＝2 018－3n>0，得nm≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，请说明理由．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
由已知，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10a1＋\f(10×9,2)d＝55，,20a1＋\f(20×19,2)d＝210，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a1＋9d＝11，,2a1＋19d＝21，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝1.))
所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N*)．
(2)假设存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比数列，则beq \\al(2,m)＝b1bk.
因为bn＝eq \f(an,an＋1)＝eq \f(n,n＋1)，
所以b1＝eq \f(1,2)，bm＝eq \f(m,m＋1)，bk＝eq \f(k,k＋1)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,m＋1)))2＝eq \f(1,2)×eq \f(k,k＋1).
整理，得k＝eq \f(2m2,－m2＋2m＋1).
以下给出求m，k的方法：
因为k>0，所以－m2＋2m＋1>0，
解得1－eq \r(2)