初中数学人教版七年级上册1.2.2 数轴导学案

第三讲1.2.2数轴

【学习目标】

1.能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素；

2.能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数；

3.会用数轴比较两个数的大小；初步感受数形结合的思想．

【基础知识】

一、数轴的概念

在数学中,可以用一条直线上的点表示数,这直线叫做数轴(number axis).

它满足以下要求:

(1)    在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点(origin);

(2)    通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向;

(3)选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1, 2, 3，···；从原点向左,用类似方法依次表示-1,-2,-3,···.

注意：

1.数轴是一条直线，画数轴的时候要有体现；

2.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度；

3.数轴上的点与实数一一对应；

二、用数轴上的点表示有理数

直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1, 2, 3，···；从原点向左,用类似方法依次表示-1,-2,-3,···.分数或小数也可以用数轴上的点表示,例如从原点向右6.5个单位长度的点表示小数6.5,从原点向左个单位长度的点表示分数.

注意：

1.原点是数轴的“基准点”.

2.归纳：一般地,设是一个正数,则数轴上表示数的点在原点的右边,与原点的距离是个单位长度;表示数的点在原点的左边,与原点的距离是个单位长度.

3.用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用,以它作基础,可以借助图直观地表示很多与数相关的问题.

三、利用数轴比较有理数的大小

数轴上左边的数小于右边的数，原点左边的数为负数，原点右边的数为正数.我们在比较数的大小的时候可以把数放在数轴上去比较。

注意：

1. 利用数轴比较大小的步骤：

①画数轴；②将点在数轴上表示出来；③按次序从左到右即使按从小到大的顺序排列.

【考点剖析】

考点一：数轴的三要素及其画法

例1.如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

由数轴有三要素：原点，正方向，单位长度，及单位长度的一致性，原点往右为正数，原点往左为负数，逐一判断各选项即可得到答案．

【详解】

解：数轴有三要素：原点，正方向，单位长度，

选项的数轴没有原点，故不符合题意；

选项的数轴的单位长度不一致，故不符合题意；

选项的数轴原点左边的数标注的不对，故不符合题意；

选项的数轴符合要求，故符合题意；

故选：

【点睛】

本题考查的是数轴的含义，掌握数轴的含义是解题的关键．

考点二：用数轴上的点表示有理数

例2.如图，在数轴上点P表示的数可能是（    ）

A．-2.3 B．-1.7 C．-0.3 D．0.3

【答案】B

【分析】

根据图示的内容求出P表示的数的值，即可解答．

【详解】

由题意可知P在－1到－2之间，只有－1.7符合题意，所以P＝−1.7，

故选B．

【点睛】

此题考查了数轴，解题关键在于结合数轴进行解答．

考点三 ：利用数轴比较有理数的大小

例3.有理数、在数轴上的位置如图所示，则、大小是：______．

【答案】

【分析】

数轴上原点右边的数都大于0，原点左边的数都小于0，数轴右边的数始终大于数轴左边的数．

【详解】

都在数轴原点的左边

观察数轴得，在左边，

故答案为：<．

【点睛】

本题考查数轴、利用数轴比较有理数的大小等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

考点四 ：数轴上两点之间的距离

例4.在数轴上，与表示数﹣5的点的距离是2的点表示的数是（　　）

A．﹣3 B．﹣7 C．±3 D．﹣3或﹣7

【答案】D

【解析】

试题分析：与表示数－5的点的距离是2的点有两个，

在－5的左边与－5的距离是2的点表示的数是－7；

在－5的右边与－5的距离是2的点表示的数是－3，

所以与表示数－5的点的距离是2的点表示的数是－3或－7.

故应选D.

考点：数轴

点评：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数.

【真题演练】

1．如图，若将四个数1.3，0.5，2.4，表示在数轴上，其中一个数被一只美丽的蝴蝶遮住了，则被这只蝴蝶遮住的点所表示的数有可能是（　　　）

A．1.3 B．0.5 C．2.4 D．

【答案】A

【分析】

根据数轴上点的位置得出它表示的数．

【详解】

解：∵被遮住的数在1和2之间，

∴可能是1.3．

故选：A．

【点睛】

本题考查数轴，解题的关键是掌握数轴的性质．

2．四位同学画数轴如下图所示，你认为正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，即可解答．

【详解】

解：A、缺少原点，故选项错误；
B、数轴没有正方向，故选项错误；
C、数轴的点右边的数总比左边的数大，故选项错误；
D、正确．
故选：D．

【点睛】

本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记数轴的三要素．

3．在数轴上表示﹣2.1和3.3两点之间的整数有（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

【答案】C

【分析】

在数轴上找出点-2.1和3.3，找出两点之间的整数即可得出结论．

【详解】

解：依照题意，画出图形，如图所示．

在﹣2.1和3.3两点之间的整数有：﹣2，﹣1，0，1，2，3，共6个，

故选：C．

【点睛】

本题考查了数轴，解题的关键是画出数轴，利用数形结合的方法解答．

4．在原点左侧与原点距离3个单位长度的点所表示的数为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据数轴的特点，可知在原点左侧距离原点三个单位长度的点是，从而可以解答本题．

【详解】

解：在原点左侧与原点距离3个单位长度的点所表示的数为，

故选：．

【点睛】

本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点．

5.已知点O，A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，O为原点，，，点B所对应的数为m，则下列结论错误的是（    ）

A．点A所对应的数为 B．点C所对应的数为

C．点D所对应的数为 D．点A与点D间的距离为

【答案】D

【分析】

根据，点B所对应的数为m，先得到点A所表示的数，进而求出B，C，D表示的数，进而即可判断．

【详解】

∵，点B所对应的数为m，

∴点A所对应的数为，

∵，

∴点C所对应的数为，

∴点D所对应的数为，点A与点D间的距离为，

∴D选项错误，

故选D．

【点睛】

本题主要考查数轴上点表示的数，两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．

6.在数轴上表示与的两个点之间的距离是__________________．

【答案】

【分析】

数轴上两点间的距离为:这两个点表示的数的差的绝对值.

【详解】

解：数轴上表示与的两个点之间的距离是，

故答案为：7.

【点睛】

本题考查数轴上两点间的距离，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

7.数轴上点A表示的数为5，则距离A点3个单位长度的点表示的数为_____．

【答案】2或8

【分析】

直接利用数轴距离点A的距离为3的有2个，分别得出答案．

【详解】

解：∵数轴上点A表示的数为5，

∴距离A点3个单位长度的点表示的数为：5﹣3＝2或5+3＝8，即2或8．

故答案为：2或8．

【点睛】

此题主要考查了数轴，正确分类讨论是解题关键．

8.小明写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中数值，请你确定墨迹盖住部分的整数共有_____个．

【答案】3

【分析】

根据实数与数轴的对应关系，先确定被污染部分的取值范围，继而求出整数解．

【详解】

设被污染的部分为，由题意得，在数轴上这一部分的整数有：0，1，2，

被污染的部分共有3个整数，

故答案为：3．

【点睛】

本题考查数轴，是重要考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．

9.点A、B在同一数轴上，若点A表示的数是﹣2，且AB＝4，则点B表示的数是___．

【答案】2或﹣6

【分析】

根据数轴可知，点B可能在点A的左边，也可能在点A的右边，即可解答．

【详解】

解：点B表示的数是﹣2+4＝2或﹣2﹣4＝﹣6．

故答案为：2或﹣6．

【点睛】

本题考查了数轴，解决本题的关键是注意分类讨论，不要漏解．

10.如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”、“8cm”的点分别对应数轴上的﹣2和x，那么x的值为_____．

【答案】6

【分析】

根据直尺的长度知x为﹣2右边8个单位的点所表示的数，据此可得．

【详解】

解：由题意知，x的值为﹣2+（8﹣0）＝6，

故答案为6．

【点睛】

本题主要考查了数轴，解题的关键是确定x与表示﹣2的点之间的距离．

11.在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来．

，1，0，，3，2.5

【答案】见解析，

【分析】

首先在数轴上表示出各数，然后根据在数轴上，右边的数总比左边的数大即可得到答案．

【详解】

解：如图所示：

由数轴可知，这些数从小到大的顺序为：．

【点睛】

本题考查有理数的比较大小、数轴，解题的关键是掌握在数轴上，右边的数总比左边的数大．

12.已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数，4．

（Ⅰ）数轴上点A到点B的距离为______；

数轴上到点A，B的距离相等的点的位置表示的有理数为______；

（Ⅱ）若有动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒．用含t的式子分别表示P点到点A和点B的距离．

【答案】（Ⅰ）10；；（Ⅱ）当时，，；当时，，．

【分析】

（Ⅰ）数轴上两点间的距离为数字大的减去数字小的差，数轴上到两点间的距离相等的点是这两个点的中点，根据中点坐标解题；

（Ⅱ）根据题意，点P在点A的右侧，据此可解得AP的长，分两种情况讨论，当点P在点B的左侧，或当点P在点B的右侧时，分别根据数轴上两点间的距离解题即可．

【详解】

（Ⅰ）数轴上点A到点B的距离为：；

数轴上到点A，B的距离相等的点的位置表示的有理数为：，

故答案为：10；-1；

（Ⅱ）根据题意，点P表示的数是：,因为点P在点A的右侧，故点P到点A的距离为：，

当点P在点B的左侧，即时，P点到点B的距离为：；

当点P在点B的右侧，即时，P点到点B的距离为：；

综上所述，当时，，；当时，，．

【点睛】

本题考查数轴上两点间的距离，数轴上的动点等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

【真题演练】

1.点A、B、C、D在数轴上的位置如图所示，表示的数是负数的点是（    ）

A．A B．B C．C D．D

【答案】A

【分析】

根据正数在原点的右边，负数在原点的左边解题即可．

【详解】

解：根据题意，

点A在原点的左边，比0小，是负数；

点B在原点，等于0；

点C、D在原点的右边，比0大，是正数，

故选：A．

【点睛】

本题考查数轴，涉及正、负数，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

2.下列说法中，错误的是（　　　）

A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示

B．数轴上的原点表示0

C．在数轴上表示的点与表示的点的距离是

D．数轴上表示的点在原点左边3个单位

【答案】C

【分析】

根据数轴上的点与有理数的关系，数轴上两点间的距离解答即可．

【详解】

A. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示，正确；

B. 数轴上的原点表示0，正确；

C. 在数轴上表示的点与表示的点的距离是2，错误；

D. 数轴上表示的点在原点左边3个单位，正确；

故选C．

【点睛】

本题考查了数轴的知识，熟练掌握数轴上的点与有理数的关系，数轴上两点间的距离是解答本题的关键．

3.把数轴上表示4的点移动2个单位后表示的数为（    ）

A．3 B．2 C．3或5 D．2或6

【答案】D

【分析】

根据数轴上的点左移即在原数上减，右移即在原数上加计算即可．

【详解】

解：两种情况，即：4＋2＝6或4﹣2＝2，

故选：D．

【点睛】

本题考查了数轴上点的移动问题，熟记变化规律是“左减右加”是解题关键．

4.数轴上，两点对应的有理数分别是和，则，之间的整数有（    ）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

【答案】C

【分析】

利用数轴上点的位置在大于，小于之间找到所有整数即可．

【详解】

解：∵大于，小于之间的整数有：－1，0，1，2，3，4，

∴一共有6个，

故选C．

【点睛】

本题主要考查用数轴上的点表示有理数，以及数轴上两点间的距离．数轴上任意不同的两点，则这两点间的距离＝右边的数－左边的数．掌握两数间的取整范围是本题的解题关键．

5.如图，数轴上两点所对应的实数分别为，则的结果可能是（  ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】

根据数轴确定和的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择．

【详解】

解：根据数轴可得＜＜1，＜＜，则1＜＜3

故选：C

【点睛】

本题考查的知识点为数轴，解决本题的关键是要根据数轴明确和的范围，然后再确定的范围即可．

6.数轴上点表示的数是2，点从点开始以每秒2个单位的速度在数轴上运动了3秒，这时点表示的数是_______

【答案】-4或8

【分析】

点P运动的路程用速度2乘以时间3求得，点P可以从点A向左或向右运动，由此得解．

【详解】

根据题意得：当点P从点A向左运动，点表示的数是2+23=8，

当点P从点A向左运动，点P表示的数是2-23=-4，

故答案为：-4或8．

【点睛】

此题考查数轴上点的移动规律：点向右移动，用点表示的数加上移动的距离表示移动后点所表示的数；点向左移动，用点表示的数减去移动的距离表示移动后点所表示的数．

7．已知B是数轴上的点，如果点B表示数3，将B向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是_______

【答案】1

【分析】

根据数轴可以得到向右移动几个单位长度，就是原数的基础上加上这个数，向左移动就是减去这个数．

【详解】

解：根据题意，则

那么终点表示的数是：；

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了数轴上表示的点，正确理解向右或向左移动的含义，是解决本题的关键．

8．数轴上有三点，两点所表示的数如图所示，若，则的中点所表示的数是__________

【答案】2或4

【分析】

分两种情况：①C在点B左侧②C在点B右侧，根据中点的性质求解即可．

【详解】

C在点B左侧

∵

∴C表示的数是3

∴的中点所表示的数是2

②C在点B左侧

∵

∴C表示的数是7

∴的中点所表示的数是4

故答案为：2或4．

【点睛】

本题考查了数轴的点的问题，掌握中点的性质是解题的关键．

9.如图,在数轴上有A,B,C,D四个点,且2AB=BC=3CD,若A,D两点表示的数分别为-5,6,点E为BD的中点,则该数轴上点E表示的数是____. 

【答案】2

【分析】

由A与D表示的数求出AD的长，再根据已知等式用AB，CD表示出BC，根据AB+BC+CD=AD求出BC的长，进而求出AB与CD的长，即可得出该数轴上点E表示的数．

【详解】

解：∵A、D两点表示的数分别为-5和6，

∴AD=11，

∵BC=2AB=3CD，

∴AB=BC，CD=BC，

∴AD=AB+BC+CD=11，即BC+BC+BC=11，

∴BC=6，AB=3，CD=2，

则B、D两点所表示的数分别为-2和6，

该数轴上点E表示的数是（-2+6）÷2=2．

故答案为2．

【点睛】

此题考查了数轴，两点间的距离，弄清题意是解本题的关键．

10.动点分别从数轴上表示和的两点同时出发，以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度沿数轴向负方向匀速运动，__________秒后，点间的距离为个单位长度.

【答案】或

【分析】

设经过t秒时间A、B间的距离为个单位长度，分两种情况：①B在A的右边；②B在A的左边．由BA=3分别列出方程，解方程即可；

【详解】

解：设经过t秒时间A、B间的距离为个单位长度，此时点A表示的数是：10-7t，点B表示的数是：-2-4t.

①当B在A的右边时：（10-7t）-（-2-4t.）=3，解得：t=3；

②当B在A的左边时： （-2-4t.）-（10-7t）=3，解得：t=5；

故答案为：或

【点睛】

本题考查一元一次方程的应用和数轴，解题关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出等量关系列出方程，再求解．

11.（1）将下列各数表示在数轴上．﹣1，0，﹣，3，0.5．

（2）观察（1）中的数轴，写出大于﹣并且小于0.5的所有整数　   　．

【答案】（1）见解析；（2）﹣3，﹣2，﹣1，0．

【分析】

（1）先将所有数大小排列起来，再根据数轴上右边的数大于左边的数描点即可；

（2）根据（1）所描再数轴上的点，选取在﹣到0.5之间的整数即可．

【详解】

解：（1）如图所示：

从小到大排列为：，

描点为：

（2）大于并且小于0.5的所有整数有﹣3，﹣2，﹣1，0．

故答案为：﹣3，﹣2，﹣1，0．

【点睛】

本题考查了有理数的大小比较、数轴上数的特点；能正确在数轴上表示数是本题的关键．

12.点、、、是数轴上的四个点，它们分别表示数、、3、0．

（1）在数轴上表示这四个数，并求的长；

（2）若，点是的中点，试求点表示的数．

【答案】（1）数轴见解析，BC=4；（2）﹣4.5或3.5

【分析】

（1）利用数轴上的点的表示方法表示各有理数，再根据数轴上两点间的距离公式求解BC即可；

（2）可求得AD=8，分D在A的左边和D在A的右边两种情况讨论求得D表示的数，进而可求得点P表示的数．

【详解】

解：（1）在数轴上表示这四个数，如图所示：

BC=3﹣（﹣1）=4，

故BC的长为4；

（2）AD=2BC=8，

当点D在A的左边时，D表示的数为：﹣4﹣8=﹣12，

∵点P为DC的中点，

∴点P表示的数为：（﹣12+3）÷2=﹣4.5；

当点D在A的右边时，点D表示的数为：﹣4+8=4，

∴点P表示的数为：（4+3）÷2=3.5，

综上，点表示的数为﹣4.5或3.5．

【点睛】

本题考查了数轴，会用数轴上的点表示有理数，掌握数轴上两点间的距离公式解答的关键．