2021年浙江省绍兴市中考数学真题

浙江省2021年初中毕业生学业考试绍兴市试卷

数学试题卷

考生须知：

1.本试题卷共6页，有三个大题，24个小题。全卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效。

3.答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题。本次考试不能使用计算器。

参考公式：抛物线的顶点坐标是.

卷I（选择题）

一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）

1.实数，，，中，最小的数是

A.     B.     C.     D.

2.第七次全国人口普查数据显示，绍兴市常住人口约为5 270 000人，这个数字5270 000用科学记数法可表示为

A.   B.    C.    D.

3.如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是

A.              B.           C.            D.

4.在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球.从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为

A.     B.     C.     D.

5.如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为

A.     B.     C.     D.

6.关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是

A.有最大值4   B.有最小值4   C.有最大值6   D.有最小值6

7.如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是

A.     B.     C.      D.

8.如图，菱形ABCD中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止.在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是

A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形

B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形

C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

9.如图，中，，，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使，连结CE，则的值为

A.     B.     C.      D.

10.数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形.如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形.下面说法正确的是

图1           图2

A.用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形

B.用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形

C.用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形

D.用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形

卷II（非选择题）

二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）

11.分解因式：   ▲   .

12.我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，银子共有   ▲   两.

13.图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若，则BC长为   ▲   cm（结果保留根号）.

14.如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是   ▲   .

15.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标. 反比例函数（常数，）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是   ▲   .

16.已知与在同一平面内，点C，D不重合，，，，则CD长为   ▲   .

三、解答题（本大题有8小题，第17~20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题12分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

17.（1）计算：.

（2）解不等式：.

18.绍兴莲花落，又称“莲花乐”，“莲花闹”，是绍兴一带的曲艺.为了解学生对该曲种的熟悉度，某校设置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四个选项，随机抽查了部分学生进行问卷调查，要求每名学生只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如下不完整的统计图.

某校部分学生对“莲花落”了解程度               某校部分学生对“莲花落”了解程度

                     图1                                 图2

根据图中信息，解答下列问题：

（1）本次接受问卷调查的学生有多少人？并求图2中“了解”的扇形圆心角的度数.

（2）全校共有1200名学生，请你估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有多少人.

19. I号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，II号无人机从海拔30m处同时出发，以a（m/min）的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度b（m）.无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系如图.两架无人机都上升了15min.

（1）求b的值及II号无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系式.

（2）问无人机上升了多少时间，I号无人机比II号无人机高28米.

20.拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm.点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，

                 图1                             图2

（1）转动连杆BC，手臂CD，使，，如图2，求手臂端点D离操作台的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：，）.

（2）物品在操作台上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由.

21.如图，在中，，点D，E分別在边AB，AC上，，连结CD，BE.

（1）若，求，的度数.

（2）写出与之间的关系，并说明理由.

22.小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径，且点A，B关于y轴对称，杯脚高，杯高，杯底MN在x轴上.

             图1                       图2

（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）.

（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高CO不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长.

23.问题：如图，在中，，，，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长.

答案：.

探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变.

①当点E与点F重合时，求AB的长；

②当点E与点C重合时，求EF的长.

（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值.

24.如图，矩形ABCD中，，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，.连结EF，作点D关于直线EF的对称点P.

（1）若，求DF的长.

（2）若，求DF的长.

（3）直线PE交BD于点Q，若是锐角三角形，求DF长的取值范围.

浙江省2021年初中毕业生学业考试绍兴市试卷

数学参考答案及评分标准

一、选择题（本大题有10小题，共40分）

1.C      2. B      3.D      4. A      5. B

6. D     7. A      8. C      9.D      10.B

二、填空题（本大题有6小题，共30分）

11.           12. 46             13.

14. 或       15. 5或22.5         16. ，，

三、解答题（本大题有8小题，第17~20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题12分，第24小题14分，共80分）

17.（本题满分8分）

解：（1）原式

.

（2），

，

，

.

18.（本题满分8分）

解：（1），

本次接受问卷调查的学生有200人.

，

“了解”的扇形圆心角的度数是.

（2）“非常了解”与“了解”的百分比和为，

，

估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有600人.

19.（本题满分8分）

解：（1）.

设，将，代入得：.

（2），

，

无人机上升12min，I号无人机比II号无人机高28米.

20.（本题满分8分）

解：（1）过点C作于点P，

过点B作于点Q，如图1，

，

，

              图1

在中，.

，

.

（2）当点B，C，D共线时，如图2，

             图2

，，

在中，，

.

手臂端点D能碰到点M.

21.（本题满分10分）

（1），，

.

在中，，

，

，

，

.

.

（2），的关系：.

理由如下：设，.

在中，，

，

.

，

在中，，

.

.

.

.

22.（本题满分12分）

解：（1）设，

将，代入，得，

.

（2），

，

，，

当时，，

或，

，

即杯口直径的长为.

23.（本题满分12分）

（1）①如图1，四边形ABCD是平行四边形，

，

.

平分，

.

.

.

同理可得：.

点E与点F重合，

.

②如图2，点E与点C重合，

，

，

点F与点D重合，

.

（2）情况1，如图3，

，

.

                  图3

情况2，如图4，

，

又，

.

            图4

情况3，如图5，

，

又，

.

           图5

综上：的值可以是，，.

24.（本题满分14分）

解：（1）如图1，矩形ABCD中，

，

，，

，

点E是AD中点，

，

，

.

（2）第一种情况，如图2，

，

由对称性可得，EF平分，

，

是等腰三角形，

可求得.

第二种情况，如图3，

，

由对称性可得

，

是等腰三角形，

可求得.

综上：DF的长为2或6.

（3）由（2）可得当时，

（如图2）或6（如图3）.

当时，

第一种情况，如图4，

EF平分，，

过点F作于点M，

设，则，，

，

，，

.

第二种情况，如图5，

EF平分，，

过点F作于点M，

设，则，，

，

，，

，DF最大值为8，

.

综上：或.